切線長定理課件北師大版九年級數學下冊

第三章圓3.7

切線長定理

理解、掌握切線長定理的概念.（重點、難點）學習目標新課導入前面我們已經學習了切線的判定和性質，已知⊙O和⊙O外一點P，你能夠過點P畫出⊙O的切線嗎？1.猜想：圖中的線段PA與PB有什么關系？2.圖中還有哪些量？猜想它們之間有什么關系？新課講解切線長：在經過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間的線段的長.PCO思考：切線長和切線的區(qū)別和聯(lián)系？新課講解切線是直線，不可以度量；切線長是指切線上的一條線段的長，可以度量.新課講解PABO切線長定理從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角.請你們結合圖形用數學語言表達定理PA、PB分別切⊙O于A、B,連結POPA=PB∠OPA=∠OPB新課講解練一練

1.已知⊙O的半徑為3cm，點P和圓心O的距離為6cm.過點P畫⊙O的兩條切線，求這兩條切線的切線長.如圖，PA，PB為⊙O的切線．由題意可知OA＝3cm，PO＝6cm，OA⊥PA，∴PA＝(cm)．又由切線長定理知PA＝PB，∴PB＝33cm.解：新課講解例典例分析如圖，PA，PB是⊙O的切線，切點分別為A，B，BC為⊙O的直徑，連接AB，AC，OP.求證：(1)∠APB＝2∠ABC；(2)AC∥OP.新課講解(1)由切線長定理知∠BPO＝∠APO＝∠APB，

而要證∠APB＝2∠ABC，即證明∠ABC＝

∠APB＝∠BPO，利用同角的余角相等可證；(2)證明AC∥OP，可用AC⊥AB，OP⊥AB，也

可用同位角相等來證．分析：新課講解(1)∵PA，PB分別切⊙O于點A，B，

∴由切線長定理知∠BPO＝∠APO＝∠APB，

PA＝PB，∴PO⊥AB，∴∠ABP＋∠BPO＝90°.又∵PB是⊙O的切線，∴OB⊥PB.∴∠ABP＋∠ABC＝90°.∴∠ABC＝∠BPO＝∠APB，即∠APB＝2∠ABC.證明：(2)∵BC是⊙O的直徑，∴∠BAC＝90°，即AC⊥AB.由(1)知OP⊥AB，∴AC∥OP.課堂小結切線長定理

從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角.當堂小練1.如圖，PA，PB是⊙O的切線，且∠APB＝50°，下列結論不正確的是(

)A．PA＝PB

B．∠APO＝25°C．∠OBP＝65°D．∠AOP＝65°C當堂小練2.如圖，AB為半圓O的直徑，AD，BC分別切⊙O于A，B兩點，CD切⊙O于點E，AD與CD相交于點D，BC與CD相交于點C，連接OD，OC，對于下列結論：①OD2＝DE·CD；②AD＋BC＝CD；③OD＝OC；④S梯形ABCD＝

CD·OA；⑤∠DOC＝90°.其中正確的結論是(

)A．①②⑤B．②③④C．③④⑤D．①④⑤A拓展與延伸既有外接圓，又有內切圓的平行四邊形是(

)A．矩形B．菱形C．正方形D．矩形或菱形C1.如圖，PA，PB是☉O的切線，切點分別是A，B.若∠APB＝60°，OA＝3，則OP＝

.

6

課后練習2.(北師9下P96)如圖，P為☉O外一點，PA，PB分別切☉O于點A，B，CD切☉O于點E且分別交PA，PB于點C，D，若PA＝4，則△PCD的周長為

.

8

A.32

B.34

C.36

D.383.(北師9下P95改編)如圖，四邊形ABCD的四條邊都與☉O相切，且BC＝10，AD＝7，則四邊形ABCD的周長為(

)B4.(北師9下P96、人教9上P100)(2023韶關期中)如圖，△ABC的內切圓☉O與BC，CA，AB分別相切于點D，E，F(xiàn)，且AB＝9，BC＝14，CA＝13，求AF，BD，CE的長.

方法2：設AF＝x，則AE＝x，CD＝CE＝AC－AE＝13－x，BD＝BF＝AB－AF＝9－x.由BD＋CD＝BC，可得(9－x)＋(13－x)＝14.解得x＝4.因此AF＝4，BD＝5，CE＝9.5.(人教9上P102改編)如圖，直線AB，BC，CD分別與☉O相切于E，F(xiàn)，G，且AB∥CD，OB＝6cm，OC＝8cm.(1)求∠BOC的度數；(2)求BE＋CG的長；(3)求☉O的半徑.解：(1)如圖，連接OF.根據切線長定理得BE＝BF，CF＝CG，∠OBF＝∠OBE，∠OCF＝∠OCG.∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠BCD＝180°，∴∠OBF＋∠OCF＝90°，∴∠BOC＝90°.(2)求BE＋CG的長；(3)求☉O的半徑.

6.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，☉O分別內切Rt△ABC的三邊AB，BC，CA于D，E，F(xiàn)，半徑r＝2，求△ABC的周長.解：根據切線長定理，得BD＝BE，CE＝CF，AD＝AF.如圖，連接OE，OF，則OE⊥BC，OF⊥AC，又∠C＝90°，∴四邊形OECF是矩形，又∵OE＝OF，∴矩形OECF是正方形，∴CE＝CF＝r＝2.又∵BC＝5，∴BE＝BD＝3.設AF＝AD＝x，∴AC＝x＋2，AB＝x＋3，在Rt△ABC中，根據勾股定理，得(x＋2)2＋25＝(x＋3)2，解得x＝10.則AC＝12，AB＝13.故△ABC的周長是5＋12＋13＝30.

(1)證明：作DF⊥BC于點F，∵DB＝DC，∴CF＝BF.由題意知AD，BC是☉O的切線，∴∠DAB＝∠ABF＝∠DFB＝