材料力學(xué) 課件 第5章 彎曲應(yīng)力

第5章彎曲應(yīng)力主要內(nèi)容1、純彎曲的正應(yīng)力和正應(yīng)力強(qiáng)度條件2、橫力彎曲的正應(yīng)力3、彎曲切應(yīng)力和切應(yīng)力強(qiáng)度條件4、提高彎曲強(qiáng)度的措施5.1概述縱向?qū)ΨQ(chēng)面FF純彎曲

————剪力為零 彎矩為常量，

橫力彎曲

——既有彎矩， 又有剪力

FFFFBCAD對(duì)稱(chēng)彎曲純彎曲+外力作用在縱向?qū)ΨQ(chēng)面上橫截面上只有彎矩FSFF-+MFa＋伽利略：《關(guān)于力學(xué)和局部運(yùn)動(dòng)的兩門(mén)新科學(xué)的對(duì)話(huà)和數(shù)學(xué)證明》，1638.歷史回顧FBCA1)開(kāi)創(chuàng)性建立了“實(shí)驗(yàn)觀測(cè)——假設(shè)——分析與推導(dǎo)”的現(xiàn)代科學(xué)研究方法2)局限性

靜力不平衡無(wú)中性軸概念

相關(guān)梁應(yīng)力研究歷史1620荷蘭I.Beeckman：梁一側(cè)纖維伸長(zhǎng)，一側(cè)縮短1678Hooke:梁凸面纖維伸長(zhǎng)，凹面縮短1702P.Varignon:纖維拉力沿截面高度發(fā)生變化1654-1705Bernoulli:中性軸位置無(wú)關(guān)緊要1713Parent.A:指出應(yīng)靜力平衡，學(xué)說(shuō)長(zhǎng)期埋沒(méi)……1813Navier:中性軸位置無(wú)關(guān)緊要1826Navier:正確應(yīng)用靜力平衡方程，中性軸過(guò)形心研究思路：

物理關(guān)系靜力學(xué)關(guān)系幾何關(guān)系變形

應(yīng)變分布

應(yīng)力分布

應(yīng)力公式

從幾何關(guān)系、物理關(guān)系和靜力學(xué)關(guān)系這三方面著手，研究等直梁純彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力。5.2純彎曲變形特征1.變形幾何關(guān)系基本假設(shè)變形后仍為平面

縱向纖維之間無(wú)正應(yīng)力

平面假設(shè)(a)

變形前為平面的橫截面，

縱向纖維無(wú)擠壓(b)

仍垂直于變形后梁的軸線(xiàn)

橫截面上只有軸向正應(yīng)力1.變形幾何關(guān)系1.變形幾何關(guān)系yxz

中性層中性軸b1b2O1O2dx縱向纖維的線(xiàn)應(yīng)變與它到中性層的距離成正比yMMd

O1'O2'yb1'b2'1.變形幾何關(guān)系2.物理關(guān)系等直梁純彎曲時(shí)橫截面上任意一點(diǎn)的彎曲正應(yīng)力，與它到中性層的距離成正比。即沿截面高度，彎曲正應(yīng)力呈線(xiàn)性分布。中性軸線(xiàn)彈性變形時(shí):MyzOx應(yīng)力分布：能否直接用來(lái)計(jì)算應(yīng)力？3.靜力關(guān)系

橫截面上內(nèi)力系為垂直于橫截面的空間平行力系。

力系向坐標(biāo)原點(diǎn)O簡(jiǎn)化，得到三個(gè)內(nèi)力分量。MyzOxyzdA上式表明中性軸通過(guò)橫截面形心將應(yīng)力表達(dá)式代入第一式，得

將應(yīng)力表達(dá)式代入第二式，得自動(dòng)滿(mǎn)足MyzOx將應(yīng)力表達(dá)式代入第三式，得——純彎曲時(shí)橫截面上彎曲正應(yīng)力的計(jì)算公式公式應(yīng)用條件：等直梁純彎曲線(xiàn)彈性MyzOxEIz——抗彎剛度——彎曲截面系數(shù)矩形截面實(shí)心圓截面空心圓截面zdyzDdyhzby思考

試用彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件證明：從圓木鋸出的矩形截面梁，高:寬=3:2的尺寸比例接近最佳比值。dhb“凡梁之大小，各隨其廣分為三分，以二分為厚?！薄钫]《營(yíng)造法式》北宋元符三年（1100年）如何使Wz最大?解:設(shè)圓木直徑為ddhb在一般載荷作用下：（橫截面上既有彎矩又有剪力）平面假設(shè)不成立，橫截面發(fā)生翹曲；縱向線(xiàn)段之間有擠壓，單向應(yīng)力狀態(tài)不成立；5.3橫力彎曲時(shí)的正應(yīng)力跨長(zhǎng)與截面高度比大于5，應(yīng)力公式近似成立；例1：T形截面外伸梁的尺寸如圖所示，試求梁內(nèi)的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力。2020801202.2m1mq=10kN/m解：①確定中性軸設(shè)截面形心到頂邊的距離為y，坐標(biāo)軸如圖所示：②求慣性矩，由平行移軸公式：52z140z1yzyC88z2z3③作彎矩圖截面D(x=0.87m)有最大正彎矩，MD=3.8kN·m截面B有最大負(fù)彎矩，MB=-5kN·m；最大正應(yīng)力:截面B：截面D：最大拉應(yīng)力：D截面下邊緣，43.8MPa；最大壓應(yīng)力：B截面下邊緣，57.6MPa。52z1402.2m1mq=10kN/mADBC3.8kN·m5kN·m-+z壓拉z拉壓88正應(yīng)力強(qiáng)度條件等直梁強(qiáng)度條件

對(duì)于鑄鐵等脆性材料，抗拉和抗壓能力不同，所以有許用彎曲拉應(yīng)力和許用彎曲壓應(yīng)力兩個(gè)數(shù)值。強(qiáng)度條件為：

請(qǐng)注意：梁的最大工作拉應(yīng)力和最大工作壓應(yīng)力有時(shí)并不發(fā)生在同一截面上。III.梁的彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度設(shè)計(jì)

一般情況下，許用彎曲正應(yīng)力比許用拉(壓)應(yīng)力略高。強(qiáng)度計(jì)算的三類(lèi)問(wèn)題強(qiáng)度校核截面設(shè)計(jì)許可載荷因?yàn)閺澢鷷r(shí)除截面外邊緣達(dá)到最大正應(yīng)力外，其余各處應(yīng)力較小。而軸向拉(壓)時(shí)，截面上的應(yīng)力是均勻分布的。例2：圖示鑄鐵梁，許用拉應(yīng)力[σ+]=30MPa，許用壓應(yīng)力[σ-]=60MPa,試校核此梁的強(qiáng)度。2020801202.2m1mq=10kN/m解：①確定中性軸②求慣性矩，由平行移軸公式52z140z1yzyC③作彎矩圖④求最大正應(yīng)力最大拉應(yīng)力：D截面下邊緣，43.8MPaADBC3.8kN·m5kN·m-+最大壓應(yīng)力：B截面下邊緣，57.6MPa不滿(mǎn)足強(qiáng)度要求例3：在強(qiáng)度相同的條件下，用高寬比為2的矩形截面梁取代實(shí)心圓截面梁，求矩形梁和圓截面梁的重量比解：dhzby比較兩種情況下的重量比：?zyP1PP2hzbbzh(b)(a)例4：

兩矩形截面梁，尺寸b、h和材料的許用應(yīng)力均相等，但放置如圖(a)、(b)。按彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件確定兩者許用載荷之比P1／P2＝？解：hzbbzhP?az1aaz2aP2P1y1y2例5：兩個(gè)尺寸完全相同的矩形截面梁疊在一起承受荷載如圖所示。梁長(zhǎng)為l。若材料許用應(yīng)力為[]，其許可載荷[P]為多少？如將兩個(gè)梁用一根螺栓聯(lián)成一體，則其許可荷載[P]為多少？PbPbPl解：1、兩梁疊放承載時(shí)，每梁將各自彎曲，兩梁都有各自的中性層，各梁承擔(dān)一半彎矩。2、當(dāng)兩梁用螺栓聯(lián)為一體時(shí)，中性軸只有一個(gè)?？梢?jiàn)，兩梁結(jié)為一體后，承載能力提高一倍。bPz練習(xí)：

簡(jiǎn)支梁AB，在C截面下邊緣貼一應(yīng)變片，測(cè)得其應(yīng)變?chǔ)?6×10-4，材料的彈性模量E=200GPa，求載荷P的大小。單位：mm解：C截面下邊緣的應(yīng)力C截面的彎矩由得單位：mm引言：?jiǎn)栴}的提出19世紀(jì)，鐵路開(kāi)始發(fā)展，人們很不理解，枕木為什么沿縱向中截面開(kāi)裂？5.4彎曲切應(yīng)力qFFbhFSyz一、矩形截面梁基本假設(shè):yτ’MPq(x)nmmndxττ

(2)切應(yīng)力沿截面寬度均勻分布。m-mτndxnmm

(1)橫截面上各點(diǎn)的切應(yīng)力方向都平行于剪力Fs

；

彎曲切應(yīng)力公式y(tǒng)

—所求正應(yīng)力的點(diǎn)距中性軸的距離abymnσ'σ"mny’y’ndxnmmdxmnyzabmnabdxmnyzabmnFN1FN2dFSy'τ’mnσ'σ"mnFS

——橫截面上剪力Iz——整個(gè)橫截面對(duì)中性軸z的慣性矩b——橫截面寬度Sz*

——橫截面上距中性軸

y

處橫線(xiàn)一側(cè)截面

對(duì)中性軸的靜矩dxmnyzabFN1FN2dFSy'y切應(yīng)力沿矩形截面高度的分布ττmaxhzby＋－y二、工字形截面梁FS

——橫截面上剪力Iz——整個(gè)工字形截面對(duì)中性軸z的慣性矩d——腹板寬度Sz*——距z軸y處橫線(xiàn)一側(cè)陰影部分截面對(duì)z軸的靜矩y

zbhd

h1y翼緣腹板zdxbδhdxbFN1FN2dFτmax切應(yīng)力主要由腹板承受；腹板是一狹長(zhǎng)矩形，矩形截面上切應(yīng)力分布的假設(shè)仍然成立。三、薄壁環(huán)形截面梁(平均半徑r，壁厚δ)沿截面厚度均勻分布與圓周相切

四、圓形截面梁zydAkk’yτmax矩形截面實(shí)心圓截面工字形截面τmaxτmax薄壁環(huán)形截面橫截面上最大切應(yīng)力的一般公式●彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度條件例6:

圓形截面梁受力如圖所示。已知材料的許用應(yīng)力[σ]=160MPa，[τ]=100MPa，試求最小直徑dmin。解:作內(nèi)力圖解：由正應(yīng)力強(qiáng)度條件：由切應(yīng)力強(qiáng)度條件：例7:簡(jiǎn)易吊車(chē)梁，F(xiàn)=20kN，l=6m，[σ]=100MPa，[τ]=60MPa，選擇工字鋼型號(hào)關(guān)于危險(xiǎn)截面的討論關(guān)于[σ]與[τ]兩個(gè)強(qiáng)度條件的討論討論：如何確定可能危險(xiǎn)截面畫(huà)剪力圖、彎矩圖確定剪力、彎矩的最大截面結(jié)論：關(guān)于正應(yīng)力的危險(xiǎn)截面是梁跨中截面關(guān)于切應(yīng)力的危險(xiǎn)截面是梁端截面注意：正應(yīng)力與切應(yīng)力危險(xiǎn)截面不一定重合。討論：如何確定可能危險(xiǎn)點(diǎn)分析思路：確定截面的應(yīng)力分布可能正應(yīng)力危險(xiǎn)點(diǎn)：a,d；可能切應(yīng)力危險(xiǎn)點(diǎn)：c可能正應(yīng)力和切應(yīng)力聯(lián)合作用危險(xiǎn)點(diǎn)：b,b’（第7章討論）解：1.內(nèi)力分析

(確定危險(xiǎn)截面）2.危險(xiǎn)截面應(yīng)力分析

(確定危險(xiǎn)點(diǎn)）正應(yīng)力危險(xiǎn)點(diǎn)：跨中截面的a或d切應(yīng)力危險(xiǎn)點(diǎn)：端部截面的c正應(yīng)力的危險(xiǎn)截面是梁中截面切應(yīng)力的危險(xiǎn)截面是梁端截面3.設(shè)計(jì)截面通常按正應(yīng)力強(qiáng)度條件設(shè)計(jì)截面，由切應(yīng)力強(qiáng)度條件校核查附錄III型鋼表：4.校核梁的剪切強(qiáng)度№22a滿(mǎn)足要求選№22a,Wz=309cm3梁的強(qiáng)度條件彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件：彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度條件：smax：最大彎曲正應(yīng)力；[s]

：許用彎曲正應(yīng)力tmax

：最大彎曲切應(yīng)力；[t]：材料純剪切許用應(yīng)力小結(jié)：梁強(qiáng)度條件的選用F細(xì)長(zhǎng)非薄壁梁：F短粗梁、薄壁梁與M小FS大的梁：控制梁彎曲強(qiáng)度的主要因素是彎曲正應(yīng)力因此應(yīng)使

Mmax

盡可能地小5.5提高彎曲強(qiáng)度的措施應(yīng)使WZ

盡可能地大荷載約束截面形狀·合理安排加載方式一、梁的合理受力（降低彎矩）·盡量分散載荷一、梁的合理受力（降低彎矩）·合理安排約束Q

加配重例：兩人帶了一塊長(zhǎng)度超過(guò)溝寬的板，但一人在溝中點(diǎn)時(shí)的彎矩稍微超過(guò)板強(qiáng)度，這兩人能想出辦法過(guò)溝嗎？辦法：一人作配重MF1(l-2a)/4+MF2a-MF1(l-2a)/4-F2a/2F2a+