2025屆山東省臨沂市高三下學(xué)期5月第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省臨沂市2025屆高三下學(xué)期5月第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】所以，故選：A.2.若復(fù)數(shù)，則的虛部為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意.故選：A.3.已知實(shí)數(shù)滿足，則（）A.11 B.12 C.16 D.17【答案】D【解析】因?yàn)椋?故選：D.4.已知為正項(xiàng)等差數(shù)列，若，則的最大值為（）A.4 B.6 C.8 D.10【答案】C【解析】，解得，由于為正項(xiàng)等差數(shù)列，則，解得，，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，所以的最大值為8.故選：C.5.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度得到函數(shù)的圖象．若的圖象關(guān)于軸對稱，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意是偶函數(shù)，從而，解得.故選：B.6.已知隨機(jī)變量，為使在內(nèi)的概率不小于（若，則)，則的最小值為（）A.8 B.16 C.32 D.64【答案】C【解析】若隨機(jī)變量，則，，為使在內(nèi)的概率不小于，則，解得，即的最小值為32.故選：C.7.已知，若向量與向量互相垂直，則（）A. B. C.5 D.【答案】C【解析】因?yàn)?，，顯然、、、均不為，所以，即，所以，所以，因?yàn)橄蛄颗c向量互相垂直，所以則，又，解得.故選：C8.已知分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為左支上一點(diǎn)，滿足，與的右支交于點(diǎn)，若，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，，所以的三個(gè)內(nèi)角都是，從而，結(jié)合雙曲線定義得，故，又，故，結(jié)合，故由余弦定理得，化簡得，解得.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知，則下列不等式正確的是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】對于A，，因?yàn)椋?，即，所以，故A正確；對于B，取，此時(shí)，故B錯(cuò)誤；對于C，取，則，故C錯(cuò)誤，對于D，若，則顯然成立，若，則成立，若，則成立，綜上所述，只要，就一定有，故D正確.故選：AD.10設(shè)函數(shù)，則（）A.有3個(gè)零點(diǎn)B.過原點(diǎn)作曲線的切線，有且僅有一條C.與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為0D.在區(qū)間上的取值范圍是【答案】BC【解析】，00單調(diào)增單調(diào)減單調(diào)增，所以有2個(gè)零點(diǎn)，A不正確；對于選項(xiàng)B：設(shè)切點(diǎn)，則切線方程為，代入原點(diǎn)，得，故切線有且僅有一條，正確；對于選項(xiàng)C：或，若，根據(jù)對稱性知，根之和0，若，方程只有一個(gè)根為0，故正確；對于選項(xiàng)D：，又，故在區(qū)間上的取值范圍是，錯(cuò)誤.故選：BC.11.三棱錐中，，則（）A.三棱錐的體積為B.三棱錐外接球的表面積為C.過中點(diǎn)的平面截三棱錐外接球所得最小截面的半徑為1D.當(dāng)時(shí)，的最小值為【答案】ACD【解析】由題設(shè)給定的三棱錐，，所以，即，又平面，所以平面，故可將其補(bǔ)全為一個(gè)正方體，其中為三條棱，為體對角線，如下圖示，由，則，A對；由圖，易知三棱錐的外接球，即為正方體的外接球，且球心為的中點(diǎn)，所以外接球的半徑，故其表面積為，B錯(cuò)；要使過中點(diǎn)的平面截三棱錐外接球所得截面半徑最小，連接，只需截面與垂直即可，此時(shí)最小半徑為，而，所以，C對；構(gòu)建如圖示的空間直角坐標(biāo)系，又，設(shè)，則，所以，當(dāng)時(shí)，，D對.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若樣本數(shù)據(jù)的均值為10，則樣本數(shù)據(jù)的均值為__________．【答案】19【解析】若樣本數(shù)據(jù)的均值為10，則樣本數(shù)據(jù)的均值為.故答案為：19.13.已知分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，的離心率為，過與長軸垂直的直線交于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，若，則的周長為__________．【答案】【解析】因?yàn)殡x心率，且在橢圓中可得，，建立如何所示的平面直角坐標(biāo)系，，，因?yàn)榇怪庇谳S，垂足為，故，代入橢圓方程可得，，又為與軸交點(diǎn)，可得，因?yàn)椋蓛牲c(diǎn)之間的距離公式可得，又，，解得，，則則的周長為，故答案為：.14.已知正整數(shù)，歐拉函數(shù)表示、、、中與互質(zhì)的整數(shù)的個(gè)數(shù)，例如，，，且、互質(zhì)時(shí)，．若從、、、中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，則滿足的概率為__________．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，，此時(shí).所以，從、、、中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，則滿足的數(shù)的取值集合為，故所求概率為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，，為等邊三角形，．（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：因?yàn)榈酌鏋榫匦?，所以，又因?yàn)椋?，又因?yàn)槠矫?，，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平面；?）解：取中點(diǎn)連接，因?yàn)闉榈冗吶切?，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，如圖所示，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，所以，從而，設(shè)平面的法向量分別為，從而，，令，解得，故可取，設(shè)平面與平面夾角為，則，故所求為.16.體育是培養(yǎng)學(xué)生高尚人格的重要途徑之一．足球作為一項(xiàng)團(tuán)隊(duì)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，深受學(xué)生喜愛，為了解學(xué)生喜愛足球運(yùn)動(dòng)是否與性別有關(guān)，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生作為樣本，統(tǒng)計(jì)得到如下的列聯(lián)表：喜愛足球運(yùn)動(dòng)不喜愛足球運(yùn)動(dòng)合計(jì)男生40女生25合計(jì)100已知從這100名學(xué)生樣本中隨機(jī)抽取1個(gè)，抽到喜愛足球運(yùn)動(dòng)的學(xué)生的概率為．（1）求；（2）根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷學(xué)生喜愛足球運(yùn)動(dòng)是否與性別有關(guān)？（3）用樣本分布的頻率估計(jì)總體分布的概率，現(xiàn)在從喜愛足球運(yùn)動(dòng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取30名，記其中男生的人數(shù)為，求使事件“”概率最大的的值．附：，解：（1）因?yàn)閺倪@100名學(xué)生樣本中隨機(jī)抽取1個(gè)，抽到喜愛足球運(yùn)動(dòng)的學(xué)生的概率為，所以；（2）零假設(shè)：喜愛足球運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)．作出列聯(lián)表如下：喜愛足球運(yùn)動(dòng)不喜愛足球運(yùn)動(dòng)合計(jì)男生401555女生202545合計(jì)6040100由題，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷成立，也就是說沒有的把握認(rèn)為喜愛足球運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)．（3）現(xiàn)在從喜愛足球運(yùn)動(dòng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取1名學(xué)生，該學(xué)生是男生的概率是，從而從喜愛足球運(yùn)動(dòng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取30名時(shí)，記其中男生的人數(shù)為，則，所以，令，解得，故使事件“”概率最大的的值為20．17.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（2）設(shè)函數(shù)，已知有兩個(gè)極值點(diǎn)．①求的取值范圍；②求證：．解：（1）對函數(shù)求導(dǎo)得，，若，則，若，，此時(shí)在定義域上單調(diào)遞增，若，則，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，若，則，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上所述，若，則在定義域上單調(diào)遞增；若，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；若，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）①，求導(dǎo)得，因?yàn)橛袃蓚€(gè)極值點(diǎn)，所以有兩個(gè)“變號(hào)”零點(diǎn)，即有兩個(gè)零點(diǎn)，令，是一一對應(yīng)的，從而有兩個(gè)零點(diǎn)，設(shè)，該二次函數(shù)開口向下，對稱軸是，注意到，所以，即的取值范圍是；②由（2）①不妨設(shè)，即，等價(jià)于，由韋達(dá)定理有，，，令，，所以單調(diào)遞增，從而.18.對集合，定義集合，記為有限集合元素個(gè)數(shù)．（1）若，求；（2）給定集合的子集，求集合的元素個(gè)數(shù)；（3）設(shè)為有限集合，證明：．（1）解：因?yàn)橹械脑厥且粗粚儆?，要么只屬于，所以；?）解：設(shè)，則，因?yàn)?，故符合條件的的個(gè)數(shù)為.（3）證明：對任意元素，因?yàn)榍儆诩现?，不妨設(shè)且．若，則；若，則．故，從而．因此，結(jié)論成立．19.已知拋物線的焦點(diǎn)為，為圓上的動(dòng)點(diǎn)，的最大值為．（1）求的方程；（2）已知點(diǎn)，按照如下方式構(gòu)造點(diǎn)，設(shè)直線為在點(diǎn)處的切線，過點(diǎn)作的垂線交于另一點(diǎn)，記的坐標(biāo)為．①證明：當(dāng)時(shí)，；②設(shè)的面積為，證明：．解：（1）拋物線的準(zhǔn)線方程為，由題意可知，所以，解得，所以的方程為；（2）①設(shè)，因?yàn)?，所以點(diǎn)處的切線斜率為，所以直線斜率為，所以直線，與聯(lián)立可得，，可得，即橫坐標(biāo)為，所以，當(dāng)時(shí)，有，又，故，所以；②直線的方程為，點(diǎn)到直線的距離為，所以，所以，由（1）知，即，所以當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，.山東省臨沂市2025屆高三下學(xué)期5月第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】所以，故選：A.2.若復(fù)數(shù)，則的虛部為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意.故選：A.3.已知實(shí)數(shù)滿足，則（）A.11 B.12 C.16 D.17【答案】D【解析】因?yàn)?，所?故選：D.4.已知為正項(xiàng)等差數(shù)列，若，則的最大值為（）A.4 B.6 C.8 D.10【答案】C【解析】，解得，由于為正項(xiàng)等差數(shù)列，則，解得，，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，所以的最大值為8.故選：C.5.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度得到函數(shù)的圖象．若的圖象關(guān)于軸對稱，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意是偶函數(shù)，從而，解得.故選：B.6.已知隨機(jī)變量，為使在內(nèi)的概率不小于（若，則)，則的最小值為（）A.8 B.16 C.32 D.64【答案】C【解析】若隨機(jī)變量，則，，為使在內(nèi)的概率不小于，則，解得，即的最小值為32.故選：C.7.已知，若向量與向量互相垂直，則（）A. B. C.5 D.【答案】C【解析】因?yàn)?，，顯然、、、均不為，所以，即，所以，所以，因?yàn)橄蛄颗c向量互相垂直，所以則，又，解得.故選：C8.已知分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為左支上一點(diǎn)，滿足，與的右支交于點(diǎn)，若，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，，所以的三個(gè)內(nèi)角都是，從而，結(jié)合雙曲線定義得，故，又，故，結(jié)合，故由余弦定理得，化簡得，解得.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知，則下列不等式正確的是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】對于A，，因?yàn)椋?，即，所以，故A正確；對于B，取，此時(shí)，故B錯(cuò)誤；對于C，取，則，故C錯(cuò)誤，對于D，若，則顯然成立，若，則成立，若，則成立，綜上所述，只要，就一定有，故D正確.故選：AD.10設(shè)函數(shù)，則（）A.有3個(gè)零點(diǎn)B.過原點(diǎn)作曲線的切線，有且僅有一條C.與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為0D.在區(qū)間上的取值范圍是【答案】BC【解析】，00單調(diào)增單調(diào)減單調(diào)增，所以有2個(gè)零點(diǎn)，A不正確；對于選項(xiàng)B：設(shè)切點(diǎn)，則切線方程為，代入原點(diǎn)，得，故切線有且僅有一條，正確；對于選項(xiàng)C：或，若，根據(jù)對稱性知，根之和0，若，方程只有一個(gè)根為0，故正確；對于選項(xiàng)D：，又，故在區(qū)間上的取值范圍是，錯(cuò)誤.故選：BC.11.三棱錐中，，則（）A.三棱錐的體積為B.三棱錐外接球的表面積為C.過中點(diǎn)的平面截三棱錐外接球所得最小截面的半徑為1D.當(dāng)時(shí)，的最小值為【答案】ACD【解析】由題設(shè)給定的三棱錐，，所以，即，又平面，所以平面，故可將其補(bǔ)全為一個(gè)正方體，其中為三條棱，為體對角線，如下圖示，由，則，A對；由圖，易知三棱錐的外接球，即為正方體的外接球，且球心為的中點(diǎn)，所以外接球的半徑，故其表面積為，B錯(cuò)；要使過中點(diǎn)的平面截三棱錐外接球所得截面半徑最小，連接，只需截面與垂直即可，此時(shí)最小半徑為，而，所以，C對；構(gòu)建如圖示的空間直角坐標(biāo)系，又，設(shè)，則，所以，當(dāng)時(shí)，，D對.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若樣本數(shù)據(jù)的均值為10，則樣本數(shù)據(jù)的均值為__________．【答案】19【解析】若樣本數(shù)據(jù)的均值為10，則樣本數(shù)據(jù)的均值為.故答案為：19.13.已知分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，的離心率為，過與長軸垂直的直線交于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，若，則的周長為__________．【答案】【解析】因?yàn)殡x心率，且在橢圓中可得，，建立如何所示的平面直角坐標(biāo)系，，，因?yàn)榇怪庇谳S，垂足為，故，代入橢圓方程可得，，又為與軸交點(diǎn)，可得，因?yàn)?，由兩點(diǎn)之間的距離公式可得，又，，解得，，則則的周長為，故答案為：.14.已知正整數(shù)，歐拉函數(shù)表示、、、中與互質(zhì)的整數(shù)的個(gè)數(shù)，例如，，，且、互質(zhì)時(shí)，．若從、、、中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，則滿足的概率為__________．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，，此時(shí).所以，從、、、中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，則滿足的數(shù)的取值集合為，故所求概率為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，，為等邊三角形，．（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：因?yàn)榈酌鏋榫匦?，所以，又因?yàn)?，所以，又因?yàn)槠矫妫?，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平面；?）解：取中點(diǎn)連接，因?yàn)闉榈冗吶切危?，又因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以平面，如圖所示，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，所以，從而，設(shè)平面的法向量分別為，從而，，令，解得，故可取，設(shè)平面與平面夾角為，則，故所求為.16.體育是培養(yǎng)學(xué)生高尚人格的重要途徑之一．足球作為一項(xiàng)團(tuán)隊(duì)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，深受學(xué)生喜愛，為了解學(xué)生喜愛足球運(yùn)動(dòng)是否與性別有關(guān)，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生作為樣本，統(tǒng)計(jì)得到如下的列聯(lián)表：喜愛足球運(yùn)動(dòng)不喜愛足球運(yùn)動(dòng)合計(jì)男生40女生25合計(jì)100已知從這100名學(xué)生樣本中隨機(jī)抽取1個(gè)，抽到喜愛足球運(yùn)動(dòng)的學(xué)生的概率為．（1）求；（2）根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷學(xué)生喜愛足球運(yùn)動(dòng)是否與性別有關(guān)？（3）用樣本分布的頻率估計(jì)總體分布的概率，現(xiàn)在從喜愛足球運(yùn)動(dòng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取30名，記其中男生的人數(shù)為，求使事件“”概率最大的的值．附：，解：（1）因?yàn)閺倪@100名學(xué)生樣本中隨機(jī)抽取1個(gè)，抽到喜愛足球運(yùn)動(dòng)的學(xué)生的概率為，所以；（2）零假設(shè)：喜愛足球運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)．作出列聯(lián)表如下：喜愛足球運(yùn)動(dòng)不喜愛足球運(yùn)動(dòng)合計(jì)男生401555女生202545合計(jì)6040100由題，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷成立，也就是說沒有的把握認(rèn)為喜愛足球運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)．（3）現(xiàn)在從喜愛足球運(yùn)動(dòng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取1名學(xué)生，該學(xué)生是男生的概率是，從而從喜愛足球運(yùn)動(dòng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取30名時(shí)，記其中男生的人數(shù)為，則，所以，令，解得，故使事件“”概率最大的的值為20．17.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（2）設(shè)函數(shù)，已知有兩個(gè)極值點(diǎn)．①求的取值