高中數(shù)學(xué)總體離散程度的估計(jì)課件-2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊(cè)

第九章

統(tǒng)計(jì)9.2用樣本估計(jì)總體9.2.4總體離散程度的估計(jì)復(fù)習(xí)回顧總體取值規(guī)律的估計(jì)總體百分位數(shù)的估計(jì)總體集中趨勢(shì)的估計(jì)頻率分布直方圖條形圖、扇形圖、折線圖等由樣本數(shù)據(jù)求第p百分位數(shù)由頻率分布直方圖估計(jì)第p百分位數(shù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)四圖四數(shù)概念公式總體均值(總體平均數(shù))樣本均值(樣本平均數(shù))

復(fù)習(xí)回顧問(wèn)題3

有兩位射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊測(cè)試中各射靶10次，每次命中的環(huán)數(shù)如下：

甲：7

8

7

9

5

4

9

10

7

4

乙：9

5

7

8

7

6

8

6

7

7如果你是教練，你應(yīng)當(dāng)如何對(duì)這次射擊作出評(píng)價(jià)？如果這是一次選拔性考核，你應(yīng)當(dāng)如何作出選擇？追問(wèn)1

甲、乙兩人本次射擊成績(jī)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)分別為多少環(huán)？甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員射擊成績(jī)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都是7從這個(gè)角度看，兩名運(yùn)動(dòng)員之間沒(méi)有差別課堂探究追問(wèn)2

觀察下圖，你能說(shuō)明兩人水平差異在哪里嗎？甲成績(jī)比較分散乙成績(jī)相對(duì)集中環(huán)數(shù)頻率0.40.30.20.145678910O（甲）環(huán)數(shù)頻率0.40.30.20.14567

8910O（乙）甲44577789910乙5667777889甲78795491074乙9578768677課堂探究追問(wèn)3

如何度量成績(jī)的這種差異呢?

極差在一定程度上刻畫(huà)了數(shù)據(jù)的離散程度.但極差只使用了數(shù)據(jù)中最大、最小兩個(gè)值的信息，對(duì)其他數(shù)據(jù)的取值情況沒(méi)有涉及，所以極差所含的信息量很少.追問(wèn)4

極差在分析估計(jì)時(shí)有何優(yōu)缺點(diǎn)?課堂探究思考1你還能想出其他刻畫(huà)數(shù)據(jù)離散程度的辦法嗎?如果射擊的成績(jī)很穩(wěn)定，那么大多數(shù)的射擊成績(jī)離平均成績(jī)不會(huì)太遠(yuǎn)；如果射擊的成績(jī)波動(dòng)幅度很大，那么大多數(shù)的射擊成績(jī)離平均成績(jī)比較遠(yuǎn).因此，我們可以通過(guò)這兩組射擊成績(jī)與它們的平均成績(jī)的“平均距離”來(lái)度量成績(jī)的波動(dòng)幅度.課堂探究思考2

為什么用“平均距離”刻畫(huà)離散程度，用總距離可以嗎？總距離和樣本量有關(guān)例如，從一個(gè)總體中抽取兩組樣本，但兩組的樣本量不同，一個(gè)為100，另一個(gè)為1000，如果用總距離，兩者之間會(huì)相差很大，但“平均距離”相差不大！所以用“平均距離”刻畫(huà)離散程度比較合理.課堂探究思考3如何定義“平均距離”？

避免絕對(duì)值,改用平方代替

課堂探究有時(shí)為了計(jì)算方便，我們還把方差寫(xiě)成以下形式：方差

方差也可以寫(xiě)成加權(quán)的形式.若n個(gè)數(shù)據(jù)中，不同的值有k個(gè)，不妨記為x1，x2，…，xk，其中xi出現(xiàn)的頻數(shù)為fi（i=1，2，…，k），則這組數(shù)據(jù)的方差為：課堂探究？

課堂探究由于方差的單位是原始數(shù)據(jù)的單位的平方，與原始數(shù)據(jù)不一致.為了使二者單位一致，我們對(duì)方差開(kāi)方，取它的算數(shù)平方根，即我們稱(2)式為這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差.思考3

方差或標(biāo)準(zhǔn)差的取值范圍是什么？

方差或標(biāo)準(zhǔn)差為0的一組數(shù)據(jù)有什么特點(diǎn)？方差或標(biāo)準(zhǔn)差的取值范圍是[0,+∞)，方差或標(biāo)準(zhǔn)差為0的樣本所有數(shù)據(jù)都相等.標(biāo)準(zhǔn)差課堂探究這樣，我們從定義一組數(shù)據(jù)的“平均距離”出發(fā)，經(jīng)歷了兩次改進(jìn)的過(guò)程，獲得了刻畫(huà)一組數(shù)據(jù)離散程度的標(biāo)準(zhǔn)差，即

課堂探究總體方差、總體標(biāo)準(zhǔn)差如果總體中所有個(gè)體的變量值分別為Y1，Y2，…，YN，總體平均數(shù)為

，則稱

S2=_______________為總體方差，S=________為總體標(biāo)準(zhǔn)差

．如果總體的N個(gè)變量值中，不同的值共有k（k≤N）個(gè)，不妨記為Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出現(xiàn)的頻數(shù)為fi（i=1，2，…，k），則總體方差為：樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差如果一個(gè)樣本中個(gè)體的變量值分別為y1，y2，…，yn，樣本平均數(shù)為

，則稱

s2=_______________為樣本方差，s=________為樣本標(biāo)準(zhǔn)差

．課堂探究標(biāo)準(zhǔn)差和方差刻畫(huà)了數(shù)據(jù)的_______程度或波動(dòng)幅度．標(biāo)準(zhǔn)差（或方差）越大，數(shù)據(jù)的離散程度越____，越不穩(wěn)定；標(biāo)準(zhǔn)差（或方差）越小，數(shù)據(jù)的離散程度越____，越穩(wěn)定．離散大小

在實(shí)際問(wèn)題中，總體平均數(shù)和總體標(biāo)準(zhǔn)差都是未知的.就像用樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù)一樣，通常我們也用樣本標(biāo)準(zhǔn)差（或方差）去估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)差（或方差）.

在隨機(jī)抽樣中，樣本標(biāo)準(zhǔn)差依賴于樣本的選取，具有隨機(jī)性.課堂探究顯然，在刻畫(huà)數(shù)據(jù)的離散程度上，方差和標(biāo)準(zhǔn)差是一樣的.但在解決實(shí)際問(wèn)題中，一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差.單位一致追問(wèn)

如何對(duì)問(wèn)題3中，甲乙運(yùn)動(dòng)員做出選擇？

甲44577789910乙5667777889

甲的成績(jī)離散程度大，乙的成績(jī)離散程度小.說(shuō)明乙比甲的射擊成績(jī)穩(wěn)定.課堂探究如果這是一次選拔性考核，你應(yīng)當(dāng)如何做出選擇？

如果要從這兩名選手中選擇一名參賽，要看一下他們的平均成績(jī)?cè)谒袇①愡x手中的位置.

如果兩人都排在前面，就選成績(jī)穩(wěn)定的乙選手；如果兩人都排在后面，希望比賽時(shí)超常發(fā)揮的，建議選成績(jī)標(biāo)準(zhǔn)差大的甲.課堂探究例6

在對(duì)樹(shù)人中學(xué)高一年級(jí)學(xué)生身高的調(diào)查中，采用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣，如果不知道樣本數(shù)據(jù)，只知道抽取了男生23人，其平均數(shù)和方差分別為170.6和12.59，抽取了女生27人，其平均數(shù)和方差分別為160.6和38.62.你能由這些數(shù)據(jù)計(jì)算出總樣本的方差，并對(duì)高一年級(jí)全體學(xué)生的身高作出估計(jì)嗎？解：把男生樣本記為:x1，x2，…，x23，平均數(shù)記為x，方差記為sx2

;把女生樣本記為:y1，y2，…，y27，平均數(shù)記為y，方差記為sy2

;把總樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為z，方差記為s2

.則典例精研根據(jù)方差的定義，總樣本方差為典例精研典例精研典例精研

根據(jù)按比例分配分層隨機(jī)抽樣總樣本平均數(shù)與各層樣本平均數(shù)的關(guān)系，可得總樣本平均數(shù)為∴總樣本的方差為51.4682，估計(jì)高一年級(jí)全體學(xué)生的身高的方差為51.4862.男生樣本方差12.59，女生樣本方差38.62？說(shuō)明分層隨機(jī)抽樣的效果好分層抽樣總樣本方差的計(jì)算（以分兩層的樣本為例）把第一層樣本記為:

x1，x2，…，xm，平均數(shù)記為x，方差記為sx2;把第二層樣本記為:

y1，y2，…，

yn，平均數(shù)記為y，方差記為sy2

;把總樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為z，方差記為s2

.則總結(jié)提升

樣本標(biāo)準(zhǔn)差刻畫(huà)了數(shù)據(jù)離平均數(shù)波動(dòng)的幅度大小,平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差一起能反映數(shù)據(jù)取值的信息.

例如，根據(jù)9.2.1節(jié)中100戶居民用戶的月均用水量數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出樣本平均數(shù)和樣本標(biāo)準(zhǔn)差分別為

可以發(fā)現(xiàn)，這100個(gè)數(shù)據(jù)中大部分落在區(qū)間=[2.59，14.99]內(nèi)，在區(qū)間=[-3.61，21.19]外的只有7個(gè).也就是說(shuō)，絕大部分?jǐn)?shù)據(jù)落在

內(nèi).

課堂探究

鞏固訓(xùn)練

鞏固訓(xùn)練

2.甲、乙兩支田徑隊(duì)體檢結(jié)果為：甲隊(duì)的體重的平均數(shù)為60kg，方差為200，乙隊(duì)體重的平均數(shù)為70kg，方差為300，又已知甲、乙兩隊(duì)的隊(duì)員人數(shù)之比為1∶4，那么甲、乙兩隊(duì)全部隊(duì)員的平均體重和方差分別是什么？

鞏固訓(xùn)練3.將某班40名學(xué)生平均分成兩組，兩組學(xué)生

某次考試的成績(jī)情況如表所示：求該班學(xué)生這次考試成績(jī)的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差.組別平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差第一組904第二組806

鞏固訓(xùn)練4.(1)若樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的平均數(shù)為8，則2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的平均數(shù)為()A．8 B．15C．16 D．32B(2)若樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的方差為8，則2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的方差為()A．8 B．15C．16 D．32C(3)若樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的標(biāo)準(zhǔn)差為8，則2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的標(biāo)準(zhǔn)差為()A．8 B．15C．16 D．32D鞏固訓(xùn)練

數(shù)據(jù)平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差方差x1，…，xnax1+b，…，axn+b

鞏固訓(xùn)練鞏固訓(xùn)練5平均數(shù)、方差性質(zhì)總結(jié)提升6.在去年的足球聯(lián)賽上，一隊(duì)每場(chǎng)比賽平均失球數(shù)是1.5，全年比賽失球個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為1.1；二隊(duì)每場(chǎng)比賽平均失球數(shù)是2.1，