高中數(shù)學(xué)復(fù)數(shù)的三角表示式+教案-2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊

第七章復(fù)數(shù)7.3.1復(fù)數(shù)的三角表示式

一、教學(xué)目標(biāo)

一、教學(xué)目標(biāo)1.知道復(fù)數(shù)的三角表示式的含義;2.了解復(fù)數(shù)的代數(shù)式與三角表示式之間的關(guān)系，會進行復(fù)數(shù)三角形式與代數(shù)形式之間的轉(zhuǎn)化;3.了解兩個用三角形式表示的復(fù)數(shù)相等的條件;4.培養(yǎng)轉(zhuǎn)化、邏輯推理及數(shù)學(xué)運算能力

二、教學(xué)重難點重點：復(fù)數(shù)三角表示以及三角表示式與代數(shù)表示式之間的轉(zhuǎn)化難點：復(fù)數(shù)的三角表示式的理解

三、教學(xué)過程（一）創(chuàng)設(shè)情境回顧：復(fù)數(shù)的幾何意義借助復(fù)數(shù)的幾何意義，復(fù)數(shù)能不能用其他形式來表示呢？設(shè)計意圖：復(fù)數(shù)的幾何意義是得出復(fù)數(shù)三角表示式的基礎(chǔ)，溫故知新，激活學(xué)生已有的知識儲備.為本課時從復(fù)數(shù)的向量表示出發(fā)探究復(fù)數(shù)的三角表示奠定基礎(chǔ).（二）探究新知任務(wù)1：探索復(fù)數(shù)的三角表示式探究：如圖，復(fù)數(shù)z=a+bi與向量OZ=(a,b)一一對應(yīng)，復(fù)數(shù)z由向量OZ我們知道向量也可以由它的大小和方向唯一確定，那么能否借助向量的大小和方向這兩個要素來表示復(fù)數(shù)呢？如何表示？向量的大小可以用模來刻畫，那么向量的方向如何刻畫呢？由圖容易想到，可以借助以x軸的非負半軸為始邊，以向量OZ所在射線（射線OZ）為終邊的角θ來刻畫OZ的方向．思考：你能用向量OZ的模和角θ來表示復(fù)數(shù)z嗎？記向量的模|OZa=rcosθ所以，a+bi=rcosθ+irsinθ=r(cosθ+isininθ)其中r=師生活動：OZ的大小可以由復(fù)數(shù)的模來表示，OZ的方向用哪個量來表示？向量的方向可以選擇坐標(biāo)軸為“基準(zhǔn)”，聯(lián)系三角函數(shù)中的象限角的概念，OZ所在的射線（射線OZ）為終邊的角θ來刻畫平面向量的方向.設(shè)計意圖：借助復(fù)數(shù)的幾何意義，通過數(shù)形結(jié)合，聯(lián)系象限角概念，引導(dǎo)學(xué)生嘗試刻畫向量的大小和方向，為得出復(fù)數(shù)的三角形式作鋪墊.思考：剛才我們畫的圖角θ的終邊落在第一象限，那么當(dāng)角θ的終邊落在第二，三，四象限或者落在在實軸、虛軸上這個式子也成立嗎？師生活動：教師利用幾何畫板，改變平面向量OZ的位置，讓學(xué)生觀察分析，得出結(jié)論：不管角θ的終邊落在什么位置，都有a+bi=r(cosθ設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生思考問題要全面，培養(yǎng)學(xué)生全面思考的能力以及嚴謹?shù)倪壿嬐评砟芰?，培養(yǎng)學(xué)生抽象概括的能力.復(fù)數(shù)的三角表示式一般地，任何一個復(fù)數(shù)z＝a＋bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)，θ是以x軸的非負半軸為始邊，向量OZ所在射線為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)a＋說明：1.任何一個不為零的復(fù)數(shù)的輻角有無限多個值，且這些值相差2π例如，復(fù)數(shù)i的輻角是π2+2kπ，其中2.對于復(fù)數(shù)0，因為它對應(yīng)著零向量，而零向量的方向是任意的，所以復(fù)數(shù)0的輻角也是任意的．3.在0?θ<2π范圍內(nèi)的輻角θ例如，arg1=0,

argi=π師生活動：教師PPT展示題目讓學(xué)生回答，加強對輻角的主值的理解.設(shè)計意圖：讓學(xué)生利用終邊相同的角的特點得出復(fù)數(shù)輻角的多值性，并通過建立輻角主值區(qū)間的必要性和以[0,2π思考：復(fù)數(shù)三角形式z=r（①r是復(fù)數(shù)的模，r=a②式中的三角函數(shù)是同一個輻角值θ的余弦和正弦；③cosθ在前，sinθ在后；④cosθ和sinθ之間用“+”連接.設(shè)計意圖：通過提出問題，明確復(fù)數(shù)的三角形式及相關(guān)概念.復(fù)數(shù)的代數(shù)形式可以轉(zhuǎn)化為三角形式，三角形式也可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式．我們可以根據(jù)運算的需要，將復(fù)數(shù)的三角形式和代數(shù)形式進行互化．思考：兩個用代數(shù)形式表示的非零復(fù)數(shù)相等的條件是什么？兩個用三角形式表示的非零復(fù)數(shù)在什么條件下相等呢？師生活動：引導(dǎo)學(xué)生利用類比方法思考、回答.可以引導(dǎo)學(xué)生按照下面的思路進行探究：兩個復(fù)數(shù)相等?兩個復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量相同?兩個向量的長度相等且方向相同?兩個復(fù)數(shù)的模相等且輻角主值相等，通過推理，順理成章地得出結(jié)論.設(shè)計意圖:讓學(xué)生運用類比的研究方法，得出兩個三角形式的非零復(fù)數(shù)相等的充要條件，體會推理的嚴謹性.兩個復(fù)數(shù)相等兩個復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量相等兩個向量的長度相等且方向相同兩個復(fù)數(shù)的模相等且輻角主值相等（三）應(yīng)用舉例例1（多選題）下列不是復(fù)數(shù)三角形式的有（）解：AB選項模為負，不是復(fù)數(shù)三角形式；C選項用負號相連，不是復(fù)數(shù)三角形式；D選項，故選BCD總結(jié)：復(fù)數(shù)的三角形式的特點“模非負，角相同，余弦前，加號連”師生活動：學(xué)生獨立完成，口答結(jié)果，教師進行評價反饋.教師進一步指出復(fù)數(shù)的三角表示式的特點.設(shè)計意圖：及時鞏固新知，檢查學(xué)生對復(fù)數(shù)的三角表示式的特點的掌握程度，培養(yǎng)學(xué)生運用所學(xué)知識解決數(shù)學(xué)問題的能力.例2畫出下列復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量，并把這些復(fù)數(shù)表示成三角形式:(1)12+3解：（1）復(fù)數(shù)12則r=因為與12所以arg(12+于是12+32i（2）復(fù)數(shù)1-i對應(yīng)的向量如圖所示，則因為與1-i對應(yīng)的點在第四象限，所以arg(1?i)=7π4，于是1?i=提示：在化代數(shù)形式為三角形式時，不一定要求輻角取主值，如本例（2）也可以表示成1?i=2[師生活動：先由學(xué)生思考發(fā)言，師生共同分析解題的基本思路，教師板書第（1）題，學(xué)生書寫第（2）小題的完整的解題步驟，展示學(xué)生作品師生共同點評并總結(jié)：復(fù)數(shù)的幾何意義是解決此類問題的關(guān)鍵，要借助數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想解決問題.只要確定復(fù)數(shù)的模和一個輻角，就能將復(fù)數(shù)的代數(shù)形式轉(zhuǎn)化為三角形式.設(shè)計意圖：幫助學(xué)生進一步體會復(fù)數(shù)的幾何意義，感受復(fù)數(shù)與平面向量一一對應(yīng)的關(guān)系；借助與復(fù)數(shù)對應(yīng)點的坐標(biāo)，判斷角θ的終邊所在的象限，并結(jié)合三角函數(shù)的知識掌握將復(fù)數(shù)代數(shù)形式化為三角形式的基本方法，體會復(fù)數(shù)、平面向量與三角函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系.總結(jié)：把復(fù)數(shù)z＝a＋(1)求復(fù)數(shù)的模r:r=a(2)求復(fù)數(shù)的輻角的主值θ:cosθ=(3)寫出復(fù)數(shù)的三角形式:r(cosθ+isinθ)例3分別指出下列復(fù)數(shù)的模和一個輻角，畫出它們對應(yīng)向量的，并把這些復(fù)數(shù)表示成代數(shù)形式.(1)cosπ+isinπ；(2)6(cos解：（1）復(fù)數(shù)cosπ+isinπ的模所以，cosπ+isinπ（2）復(fù)數(shù)6(cos11π6+isin11所以，6(cos11π師生活動：學(xué)生獨立完成，教師巡視并給予個別指導(dǎo)，學(xué)生完成后進行展示交流.設(shè)計意圖:本例有兩個用意，一是通過幾何直觀，幫助學(xué)生進一步認識復(fù)數(shù)三角形式中r,θ的含義，進而認識到復(fù)數(shù)實質(zhì)上是可以用有序?qū)崝?shù)對(r,θ)總結(jié)：把復(fù)數(shù)的三角形式轉(zhuǎn)化成代數(shù)形式的基本步驟：(1)確定復(fù)數(shù)的模和輻角(2)直接展開得到復(fù)數(shù)的代數(shù)表示z=a+bi例4設(shè)復(fù)數(shù)z，z＋2的輻角主值為π3

，z－2的輻角主值為5π6解：設(shè)z+2＝∴r易得r∴r2＝r1，代入①得設(shè)計意圖：通過例題，掌握在復(fù)數(shù)相等的充要條件，并能熟練運用.（四）課堂練習(xí)1.設(shè)復(fù)數(shù)2?i和復(fù)數(shù)3?i的輻角主值分別為α、β，則α+β等于(

)A.135° B.315° C.675° D.585°解：復(fù)數(shù)2?i和3?i的輻角主值分別是α，β，

所以tanα=?12，tanβ=?13，且α∈(270°,360°)，β∈(270°,360°);

所以tan(α+β)=tan?α+tan?β1?tan?αtan?β=?1，

因為α+β∈(540°，2.復(fù)數(shù)z=3+3i化為三角形式正確的是

(

)A.z=23(cosπ6+isinπ6)解：z=3+3i=233.已知復(fù)數(shù)z滿足z2+2z+4=0，且argz∈(π2,π)，則z的三角形式為解：由z2+2z+4=0，

得z=12(?2±23i)=?1±3i，

4.畫出下列復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量，并把這些復(fù)數(shù)表示成三角形式：(1)6；

(2)1+i；(3)1?3i；解：(1)∵6cos0=6，6sin0=0，

∴6=6cos0+isin0；

(2)∵2cosπ4=2sinπ4=1，

∴1+i=2cosπ4+isinπ4；

(3)∵2cos5.已知復(fù)數(shù)z滿足z+|z|=8+4i，其中i為虛數(shù)單位．

(1)求復(fù)數(shù)z;

(2)求復(fù)數(shù)解：(1)設(shè)z=a