2024北京八一學(xué)校高二9月月考數(shù)學(xué)試題及答案

試題試題2024北京八一學(xué)校高二9月月考數(shù)學(xué)2024.09本試卷共4頁(yè)，120分.考試時(shí)長(zhǎng)90分鐘考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效.考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是A. B. C. D.2.已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（）A. B. C. D.3.如圖，八面體的每個(gè)面都是正三角形，并且4個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，D在同一平面內(nèi)，若四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，則這個(gè)八面體的表面積為（）A.8 B.16 C. D.4.已知圓錐的母線長(zhǎng)為5，底面圓的半徑為3，則該圓錐的體積為（）A. B. C. D.5.在正方體中，直線與直線所成角的大小為（）A. B. C. D.6.已知，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（）A.若，，則 B.若，l//m，則C.若，，則 D.若，α//β，則7.已知空間中不過(guò)同一點(diǎn)的三條直線m，n，l，則“m，n，l在同一平面”是“m，n，l兩兩相交”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件8.在正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.平面B.平面C.A，E，B，F(xiàn)四點(diǎn)共面D.直線與底面所成角的正切值為9.四面體的一條棱長(zhǎng)為x，其余棱長(zhǎng)均為2，記四面體的表面積為，則函數(shù)的最大值為（）A. B. C. D.10.已知正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)，分別是棱，的中點(diǎn)，點(diǎn)在底面內(nèi)，點(diǎn)在線段上，若，則長(zhǎng)度的最小值為A. B. C. D.二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.11.已知長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為，，，則它的體對(duì)角線長(zhǎng)為_(kāi)__________．12.如圖，已知矩形中，，，平面，并且，則______．13.在正三棱柱中，，則直線與所成角的大小為_(kāi)_________；點(diǎn)A到平面的距離為_(kāi)_______.14.在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD內(nèi)剪去四個(gè)全等的等腰三角形(如圖1中陰影部分)，折疊成底面邊長(zhǎng)為的正四棱錐SEFGH(如圖2)，則正四棱錐SEFGH的體積為_(kāi)_______.15.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為4，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A，E，F(xiàn)的平面截該正方體所得截面記為S，當(dāng)時(shí)，截面S與，分別交于M，N，則_________.三、解答題：本大題共4小題，共45分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.16.已知正三棱錐，請(qǐng)從條件①，條件②，條件③中選擇兩個(gè)條件作為已知，使得三棱錐存在，并求出此正三棱錐的體積.①底面邊長(zhǎng)為2；②側(cè)棱長(zhǎng)為；③斜高為2.17.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱，的中點(diǎn).求證：（1）∥平面；（2）平面.18.如圖，四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，且，側(cè)面是正三角形，是上一動(dòng)點(diǎn)，N是的中點(diǎn).（1）若∥平面，求證：M是的中點(diǎn)；（2）若平面平面，求線段的長(zhǎng)；（3）是否存在點(diǎn)M、使得?若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.19.已知定義在上的函數(shù)，滿足以下三個(gè)條件：①；②；③存在集合.（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并說(shuō)明現(xiàn)由；（2）求，的值；（3）判斷命題p：“是周期函數(shù)”的真假，并說(shuō)明理由.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.【答案】D【詳解】試題分析：，所以對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為．考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的運(yùn)算．2.【答案】C【分析】根據(jù)條件，利用三角函數(shù)的定義，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，故選：C3.【答案】C【分析】先計(jì)算出每個(gè)面的面積，再乘以8即為表面積；【詳解】每個(gè)面的面積為，所以該圖形的表面積為.故選：C4.【答案】A【分析】根據(jù)題意畫(huà)出立體圖像,根據(jù)已知條件求得圓錐的高,即可求得答案.【詳解】設(shè)圓錐的高為,母線長(zhǎng)為,底面半徑為畫(huà)出立體圖像,如圖:根據(jù)立體圖形可得:根據(jù)圓錐的體積計(jì)算公式:故選:A.5.【答案】C【分析】作出輔助線，得到或其補(bǔ)角為直線與直線所成角，根據(jù)為等邊三角形，故，得到答案.【詳解】連接，因?yàn)?，，所以四邊形為平行四邊形，則，故或其補(bǔ)角為直線與直線所成角，連接，則，即為等邊三角形，故，直線與直線所成角大小為.故選：C6.【答案】D【分析】根據(jù)線線，線面及面面位置關(guān)系判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A:若,則可能，A錯(cuò)誤；對(duì)于B:若,則可能,B錯(cuò)誤；對(duì)于C:若則可能不垂直，C錯(cuò)誤；對(duì)于D:若,則,D正確.故選：D.7.【答案】B【分析】將兩個(gè)條件相互推導(dǎo)，根據(jù)能否推導(dǎo)的結(jié)果判斷充分必要條件.【詳解】依題意是空間不過(guò)同一點(diǎn)的三條直線，當(dāng)在同一平面時(shí)，可能，故不能得出兩兩相交.當(dāng)兩兩相交時(shí)，設(shè)，根據(jù)公理可知確定一個(gè)平面，而，根據(jù)公理可知，直線即，所以在同一平面.綜上所述，“在同一平面”是“兩兩相交”的必要不充分條件.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷，考查公理和公理的運(yùn)用，屬于中檔題.8.【答案】B【分析】以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出結(jié)果判斷A，B；利用異面直線的判斷方法判斷C；利用空間向量求線面夾角判斷D．【詳解】設(shè)正方體中棱長(zhǎng)為2，以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，對(duì)于A：，，設(shè)平面的一個(gè)法向量n=x,y,z，則，令，則，可得，且，則，所以不平行于面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：DA=2,0,0，，，則，，即，，且，平面ADF，所以平面ADF，故B正確；對(duì)于C：因?yàn)槊?，面，且，所以直線與BF為異面直線，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)?，且底面的法向量，則，設(shè)直線與底面所成角為，則，可得，，所以直線與底面所成角的正切值為，故D錯(cuò)誤．故選：B．9.【答案】B【分析】如圖，設(shè)AB為x，由題可得Fx表達(dá)式，即可得答案【詳解】如圖，設(shè)AB為x，因其他棱長(zhǎng)為2，則.取AB中點(diǎn)為E，則，又由題可得，結(jié)合，由勾股定理，，則則，則.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故選：B10.【答案】C【詳解】解：如圖，取B1C1中點(diǎn)O，則MO⊥面A1B1C1D1，即MO⊥OP，∵PM，則OP＝1，∴點(diǎn)P在以O(shè)為圓心，1以半徑的位于平面A1B1C1D1內(nèi)的半圓上．可得O到A1N的距離減去半徑即為PQ長(zhǎng)度的最小值，作OH⊥A1N于H，△A1ON的面積為2×2，∴，可得OH，∴PQ長(zhǎng)度的最小值為．故答案為;C.點(diǎn)睛：這個(gè)題目考查了立體中面面垂直的性質(zhì)的應(yīng)用，線面垂直的應(yīng)用，以及數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，較好的考查了學(xué)生的空間想像力．一般處理立體的小題，都會(huì)將空間中的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為平面關(guān)系，或者建系來(lái)處理．二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.11.【答案】【分析】由長(zhǎng)方體的性質(zhì)計(jì)算．【詳解】長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)為．故答案為：．12.【答案】【分析】連接，利用勾股定理求出，由線面垂直的性質(zhì)得到，由勾股定理求解即可．【詳解】連接，在矩形中，，，則，因?yàn)槠矫?，平面，則，在中，，則．故答案為：.13.【答案】①.②.【分析】分析可知直線與所成角為（或其補(bǔ)角），即可得結(jié)果；做輔助線，可證平面，即可得點(diǎn)A到平面的距離.【詳解】因?yàn)椤?，可知直線與所成角為（或其補(bǔ)角），由題意可知：為正方形，則，所以直線與所成角的大小為；取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈冗吶切?，則，又因?yàn)槠矫?，平面，則，且，平面，可得平面，所以點(diǎn)A到平面的距離為.故答案為：；.14.【答案】【分析】連結(jié)EG，HF，交點(diǎn)為O，求出點(diǎn)E到線段AB的距離，利用勾股定理求出EB和SO的長(zhǎng)度，最后利用棱錐體積公式求出體積即可.【詳解】連結(jié)EG，HF，交點(diǎn)為O，正方形EFGH的對(duì)角線EG＝2，EO＝1，則點(diǎn)E到線段AB的距離為1，EB＝＝.SO＝＝＝2，故正四棱錐SEFGH的體積為×()2×2＝.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了棱錐體積公式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，考查了空間想象能力.15.【答案】【分析】由面面平行的性質(zhì)可得截面與平面及平面的交線，后由幾何知識(shí)可得答案.【詳解】由圖，截面S與平面，平面相交，因平面//平面，則相應(yīng)交線平行.則過(guò)A作EF的平行線，則平行線與交點(diǎn)即為M，與延長(zhǎng)線交于H.注意到，則，又，則.又注意到，則.又截面S與平面，平面相交，則同理過(guò)M作AE平行線，則平行線與交點(diǎn)即為N.注意到，則.則根據(jù)勾股定理，.故答案為：.三、解答題：本大題共4小題，共45分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.16.【答案】答案見(jiàn)解析【分析】根據(jù)題意分析可知：不能選②③.取的中心O，的中點(diǎn)為，若選①②：求得，進(jìn)而可得體積；若選①③：求得，進(jìn)而可得體積.【詳解】因?yàn)?，可知②③不能同時(shí)成立，故不能選②③.取的中心O，的中點(diǎn)為，連接，則平面，，若選①②：則，，在中，則，所以正三棱錐的體積為；選①③：則，，，在中，則，所以正三棱錐的體積為.17.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)平面性質(zhì)可得，再根據(jù)線面平行的判定定理分析證明；（2）根據(jù)題意可得，，結(jié)合線面垂直的判定定理分析證明.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)镋，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，，，則且，可知四邊形為平行四邊形，則，且平面，平面，所以∥平面.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)樗倪呅螢檎叫危瑒t，且，則，又因?yàn)槠矫?，平面，則.且，則，且，平面，所以平面.18.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）存在，1【分析】（1）根據(jù)線面平行的性質(zhì)可得，再結(jié)合平行線的性質(zhì)分析證明；（2）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面，進(jìn)而可得，即可得結(jié)果；（3）做輔助線，可證平面，平面，可得，即可得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】若∥平面，且平面，平面平面，可得，在中，點(diǎn)N是中點(diǎn)，所以點(diǎn)M是中點(diǎn).【小問(wèn)2詳解】如圖，取中點(diǎn)F，連接，.因?yàn)槭钦切?，則，且平面平面，平面平面，平面，可得平面，由平面，可得，在因?yàn)閭?cè)面是正三角形，則.因?yàn)榈酌媸橇庑?，且，可知是等邊三角形，則且.所以.【小問(wèn)3詳解】取中點(diǎn)E，連接，.因?yàn)樗睦忮F的底面是菱形，側(cè)面是正三角形，則，.由（2）可得，，且平面，，所以平面，由平面，可得.又因?yàn)?，、在平面?nèi)，所以平面.過(guò)E作交于點(diǎn)M.因?yàn)?，所以點(diǎn)平面.所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)镋為的中點(diǎn)，，所以，即.19.【答案】（1）