2024北京北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二（上）開(kāi)學(xué)考數(shù)學(xué)試題及答案

試題試題2024北京北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二（上）開(kāi)學(xué)考數(shù)學(xué)2024年8月本試卷共4頁(yè)，共150分．考試時(shí)長(zhǎng)90分鐘．考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．第一部分（選擇題，共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（）A. B. C. D.2.若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)平面內(nèi)表示的點(diǎn)在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.的值為（）A. B. C. D.14.在中，，則（）A. B. C. D.5.已知，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（）A.若，，則 B.若，l//m，則C.若，，則 D.若，α//β，則6.下列函數(shù)中，以為最小正周期，且在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）A. B. C. D.7.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則的最小值為（）A. B. C. D.8.在中，已知，則下列說(shuō)法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，是銳角三角形B.當(dāng)時(shí)，是直角三角形C.當(dāng)時(shí)，是鈍角三角形D.當(dāng)時(shí)，是等腰三角形9.已知是非零向量，則“”是“對(duì)于任意的，都有成立”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件10.海水受日月的引力，在一定的時(shí)候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮汐.一般早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情況下，船在漲潮時(shí)駛進(jìn)航道，靠近船塢；卸貨后落潮時(shí)返回海洋.下面是某港口在某季節(jié)某天的時(shí)間與水深值（單位：）的部分記錄表.時(shí)間0:003:006:009:0012:00水深值5.07.55.02.55.0據(jù)分析，這個(gè)港口的水深值與時(shí)間的關(guān)系可近似的用三角函數(shù)來(lái)描述.試估計(jì)13：00的水深值為（）A.3.75 B.5.83 C.6.25 D.6.67第一部分（非選擇題，共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11.若，則________．12.在平面直角坐標(biāo)系中，角與角均以為始邊，它們的終邊關(guān)于軸對(duì)稱.若角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，則_____________.13.已知菱形的邊長(zhǎng)為，，，則_________________.14.陀螺是中國(guó)民間的娛樂(lè)工具之一，早期陀螺的形狀由同底的一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐組合而成（如圖）．已知一木制陀螺模型內(nèi)接于一表面積為的球，其中圓柱的兩個(gè)底面為球的兩個(gè)截面，圓錐的頂點(diǎn)在該球的球面上，若圓柱的高為2cm，則該圓柱的側(cè)面積為_(kāi)_________，該陀螺的體積為_(kāi)_________．15.在棱長(zhǎng)為1的正方體中，，，分別為棱，，的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在平面內(nèi)，且.給出下列四個(gè)結(jié)論：①平面；②點(diǎn)軌跡的長(zhǎng)度為；③存在點(diǎn)，使得直線平面；④平面截正方體所得的截面面積為.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是_________________.三、解答題共6小題，共85分．解答題應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，驗(yàn)算步驟或證明過(guò)程．16.已知函數(shù)．（1）求的值和的零點(diǎn)；（2）求的單調(diào)遞增區(qū)間．17.如圖，在長(zhǎng)方體中，，，為的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求證：平面平面；（3）求點(diǎn)到平面的距離．18.已知．（1）求；（2）若，求的最小值．19.在中，．（1）求；（2）若的面積是，求的最小值．20.如圖1，在中，，，，，分別為，的中點(diǎn)．將沿折起到的位置，得到四棱錐，如圖2．（1）求證：；（2）若M是線段上的點(diǎn)，平面與線段交于點(diǎn)N．再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知．使點(diǎn)M唯一確定，并解答問(wèn)題．（?。┣笞C：為的中點(diǎn)；（ⅱ）求證：平面．條件①；條件②；條件③．注：如果選擇的條件不符合要求，第（Ⅱ）問(wèn)得0分，如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．21.已知n維向量，給定，定義變換；選取，再選取一個(gè)實(shí)數(shù)x，對(duì)的坐標(biāo)進(jìn)行如下改變：若此時(shí)，則將同時(shí)加上x(chóng)．其余坐標(biāo)不變；若此時(shí)，則將及同時(shí)加上x(chóng)，其余坐標(biāo)不變．若a經(jīng)過(guò)有限次變換（每次變換所取的i，x的值可能不同）后，最終得到的向量滿足，則稱a為k階可等向量．例如，向量經(jīng)過(guò)兩次變換可得：，所以是2階可等向量．（1）判斷是否是2階可等向量？說(shuō)明理由；（2）若取1，2，3，4的一個(gè)排序得到的向量是2階可等向量，求；（3）若任取的一個(gè)排序得到的n維向量均為k階可等向量．則稱為k階強(qiáng)可等向量．求證：向量是5階強(qiáng)可等向量．

參考答案第一部分（選擇題，共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.【答案】C【分析】根據(jù)條件，利用三角函數(shù)的定義，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，故選：C.2.【答案】C【分析】根據(jù)除法運(yùn)算求得，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義分析判斷.【詳解】因?yàn)?，則，所以平面內(nèi)表示的點(diǎn)為，位于第三象限.故選：C.3.【答案】B【分析】逆用和、差角的余弦公式化簡(jiǎn)、求值.【詳解】故選：B4.【答案】B【分析】利用正弦定理將邊化角，即可求出，從而得解.【詳解】因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，即，又，所?故選：B5.【答案】D【分析】根據(jù)線線，線面及面面位置關(guān)系判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A:若,則可能，A錯(cuò)誤；對(duì)于B:若,則可能,B錯(cuò)誤；對(duì)于C:若則可能不垂直，C錯(cuò)誤；對(duì)于D:若,則,D正確.故選：D.6.【答案】B【分析】對(duì)于A，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，作出函數(shù)的大致圖象，由圖可知，B正確；對(duì)于C，函數(shù)在單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，函數(shù)最小正周期為，故D錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A，函數(shù)的最小正周期為，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，作出函數(shù)的大致圖象如圖所示，函數(shù)的最小正周期為，且在區(qū)間單調(diào)遞增，故B正確；對(duì)于C，函數(shù)最小正周期為，由，得，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，函數(shù)最小正周期為，故D錯(cuò)誤.故選：B.7.【答案】A【分析】由三角函數(shù)平移變換可得函數(shù)解析式，令，，可得對(duì)稱中心，進(jìn)而得到的最小值.【詳解】將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得：，令，，得，所以圖象的對(duì)稱中心為，，當(dāng)時(shí)，取得最小值.故選：A.8.【答案】B【分析】根據(jù)正弦定理逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】因?yàn)?，由正弦定理得，?duì)于，當(dāng)時(shí)，，由且可知，，可得，所以為鈍角三角形,錯(cuò)誤；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，即為直角，正確；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，可知不存在，三角形不存在，錯(cuò)誤；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，又，所以，所以，顯然不可能是等腰三角形，D錯(cuò)誤.故選：B.9.【答案】C【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義及數(shù)量積的運(yùn)算律判斷即可.【詳解】因?yàn)槭欠橇阆蛄?，若，則，所以，所以對(duì)于任意的，都有成立，故充分性成立；若對(duì)于任意的，都有成立，則，即，所以，所以，所以，故必要性成立；所以“”是“對(duì)于任意的，都有成立”的充要條件.故選：C10.【答案】C【分析】觀察表中數(shù)據(jù)求出周期和最大最小值，然后可得，將表中最大值點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式可得，然后可得所求.【詳解】記時(shí)間為，水深值為，設(shè)時(shí)間與水深值的函數(shù)關(guān)系式為，由表中數(shù)據(jù)可知，，所以，，所以，又時(shí)，，所以，所以，即，所以，，即13:00的水深值大約為.故選：C第一部分（非選擇題，共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11.【答案】【分析】將變形為計(jì)算即可．【詳解】解：，，故答案為【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法，及模的計(jì)算，是基礎(chǔ)題．12.【答案】【分析】先根據(jù)角與角的終邊關(guān)于軸對(duì)稱，且角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，得到角的終邊與單位圓的交點(diǎn)，然后利用正弦函數(shù)的定義求解.【詳解】因?yàn)榻桥c角的終邊關(guān)于軸對(duì)稱，且角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，所以，解得，當(dāng)時(shí)，即角的終邊與單位圓的交點(diǎn)，所以.當(dāng)時(shí)，即角的終邊與單位圓的交點(diǎn)，所以.綜上所述，.故答案為：13.【答案】【分析】利用向量的線性運(yùn)算得到，，再利用數(shù)量積的定義及運(yùn)算，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，又，所以，又菱形的邊長(zhǎng)為，，所以，故答案為：.14.【答案】①.②.【分析】先求出陀螺的外接球的半徑，再利用勾殿定理求出圓柱的底面半徑，以及圓維的母線長(zhǎng)和高，從而求出結(jié)果.【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，高為，圓錐的高為、陀螺的外接球的半徑為,由題意可知，，,,圓柱的側(cè)面積為，圓柱體積為；圓錐的高為,所以圓錐的體積為；該陀螺的體積為故答案為:；.15.【答案】①②④【分析】根據(jù)都是棱的中點(diǎn)，可以做出過(guò)的截面，再根據(jù)正方體的棱長(zhǎng)和的長(zhǎng)度，可確定點(diǎn)的軌跡，從而可判斷各個(gè)結(jié)論的正確性.【詳解】如圖：因?yàn)?，分別為，中點(diǎn)，所以，又，所以，又平面，平面，所以平面，故①成立；連接，交EG于點(diǎn)，易證平面，，，所以，故點(diǎn)軌跡是平面內(nèi)以為圓心，以為半徑的圓，所以點(diǎn)軌跡長(zhǎng)度為：，故②成立；由②可知，不可能與平面垂直，故③不成立；做出截面，可知截面是正六邊形，且邊長(zhǎng)為，其面積為：，故④成立.故答案為：①②④【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：根據(jù)線面平行的判定和性質(zhì)，可以確定過(guò)點(diǎn)三點(diǎn)的截面.三、解答題共6小題，共85分．解答題應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，驗(yàn)算步驟或證明過(guò)程．16.【答案】（1），的零點(diǎn)為；（2）的單調(diào)遞增區(qū)間為.【分析】（1）先應(yīng)用誘導(dǎo)公式及兩角和差化簡(jiǎn)，再根據(jù)正弦函數(shù)的對(duì)稱中心求出零點(diǎn)即可；（2）應(yīng)用正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求解即可.【小問(wèn)1詳解】令，所以．所以的零點(diǎn)為【小問(wèn)2詳解】因?yàn)榈膯握{(diào)遞增區(qū)間為所以．所以所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為17.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）.【分析】（1）令，由三角形中位線性質(zhì)，線面平行的判定推理即得.（2）利用線面垂直、面面垂直的判定推理即得.（3）過(guò)作于，由（2）的結(jié)論，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)推理計(jì)算即得.【小問(wèn)1詳解】在長(zhǎng)方體中，令，則為中點(diǎn)，連接，由為的中點(diǎn)，得，而平面，平面，所以平面.【小問(wèn)2詳解】由平面，平面，得，矩形中，，則矩形為正方形，，而平面，則平面，又平面，所以平面平面.【小問(wèn)3詳解】在中，過(guò)作于，由平面平面，平面平面，平面，因此平面，顯然，，在中，，所以點(diǎn)到平面的距離為.18.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先求，然后直接求的平方即可得解；（2）利用向量的運(yùn)算律，將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù)，然后求出最值即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，，因?yàn)樗?，【小?wèn)2詳解】由（1）知，，因?yàn)樗援?dāng)時(shí)，的最小值為19.【答案】（1）（2）【分析】（1）用余弦定理進(jìn)行邊角互化可解；（2）由面積公式得到，再用余弦定理和基本不等式可解.【小問(wèn)1詳解】，用余弦定理得到，，化簡(jiǎn)得到，則，,則.【小問(wèn)2詳解】由于,．由余弦定理可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.20.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）選擇條件，答案見(jiàn)解析.【分析】（1）利用線面垂直的判定、性質(zhì)推理即得.（2）選擇條件①③，利用線面平行的判定、性質(zhì)推理得（?。焕镁€面垂直的判定推理得（ⅱ）.【小問(wèn)1詳解】在中，由，得，由，分別為，的中點(diǎn)，得，則，因此，而平面，則平面，又平面，所以.【小問(wèn)2詳解】選條件①：，（i）由，平面平面，得平面，又平面，平面平面，因此，則，而，所以，即為的中點(diǎn).（ii）因?yàn)?，由（i）得，則，由（1）得，又平面，所以平面.選條件③：，由，得，（i）由，平面平面，得平面，又平面，平面平面，因此，則，而，所以，即為的中點(diǎn).（ii）因?yàn)椋桑╥）得，則，由（1）得，又平面，所以平面.條件②，，由（1）可得平面，則過(guò)直線的平面與平面相交，所得交線均與平行，給定條件為上述交線，因此這樣的點(diǎn)M不唯一確定.21.【答案】（1）是2階可等向量，理由見(jiàn)解析；（2）5；（3）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)的定義即可求解，（2）根據(jù)的定義即可求解，，即可結(jié)合是2階可等向量求解，（3）根據(jù)是階可等向量，等價(jià)于是階可等向量，即可根據(jù)變換求證.【小問(wèn)1詳解】是2階可等向量．例如經(jīng)過(guò)兩次變換可得：【小問(wèn)2詳解】設(shè)進(jìn)行一次變換后得，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，綜上，我們得