能力提升：勾股定理的逆定理（解析版）

勾股定理的逆定理能力提升篇一、單選題：1．如圖，在的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A、B都在格點(diǎn)上，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．的面積為10 B．C． D．點(diǎn)A到直線的距離是2【答案】A【分析】求出AC，AB，根據(jù)三角形的面積公式可判斷A；根據(jù)勾股定理的逆定理可判斷B；根據(jù)勾股定理可判斷C；根據(jù)三角形的面積結(jié)合點(diǎn)到直線距離的意義可判斷D．【詳解】解：B、∵，，，∴，∴∠BAC＝90°，本選項(xiàng)結(jié)論正確，不符合題意；A、∵∠BAC＝90°，，，∴，本選項(xiàng)結(jié)論錯(cuò)誤，符合題意；C、由勾股定理得：，本選項(xiàng)結(jié)論正確，不符合題意；D、設(shè)點(diǎn)A到直線BC的距離為h，∵，∴，∴h＝2，即點(diǎn)A到直線BC的距離是2，本選項(xiàng)結(jié)論正確，不符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是勾股定理及其逆定理，勾股定理：如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么．2．已知的三邊之比為，其中，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的長(zhǎng)不可能是（

）A．5.9 B．6.5 C．8.9 D．10.5【答案】A【分析】由，設(shè)AC=x，BC=x，AB=2x，先求出AC=6，BC=，然后由勾股定理求得AC，從而求得，即可得出結(jié)論．【詳解】解：由，設(shè)AC=x，BC=x，AB=2x，∵，∴2x=12，解得x=6，∴AC=6，BC=，∴，，∴，∴∠ACB=90°，∴AC，∵點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，∴即，故B、C、D不符合題意，A項(xiàng)符合題意，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的逆定理及垂線段最短，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．3．如圖，P是等邊三角形內(nèi)的一點(diǎn)，且，，，以為邊在外作，連接，則以下結(jié)論中不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)△ABC是等邊三角形，得出∠ABC=60°，根據(jù)△BQC≌△BPA，得出∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，求出∠PBQ=60°，即可判斷A；根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷B；根據(jù)△BPQ是等邊三角形，△PCQ是直角三角形即可判斷D；求出∠APC=150°-∠QPC，和PC≠2QC，可得∠QPC≠30°，即可判斷C．【詳解】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=60°，∵△BQC≌△BPA，∴∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，所以A正確，不符合題意；PQ=PB=4，PQ2+QC2=42+32=25，PC2=52=25，∴PQ2+QC2=PC2，∴∠PQC=90°，所以B正確，不符合題意；∵PB=QB=4，∠PBQ=60°，∴△BPQ是等邊三角形，∴∠BPQ=60°，∴∠APB=∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150°，所以D正確，不符合題意；∠APC=360°-150°-60°-∠QPC=150°-∠QPC，∵PC=5，QC=PA=3,∴PC≠2QC，∵∠PQC=90°，∴∠QPC≠30°，∴∠APC≠120°．所以C不正確，符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理的逆定理，解決本題的關(guān)鍵是綜合應(yīng)用以上知識(shí)．二、填空題：4．如圖，在網(wǎng)格紙中，有A、B兩個(gè)格點(diǎn)，試取格點(diǎn)C，使得是直角三角形，則這樣的格點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是__________個(gè)．【答案】8【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理解答即可．【詳解】解：如圖所示：點(diǎn)的位置如，其中，，AB=2，由勾股定理得：，為直角三角形，同理：為直角三角形，網(wǎng)格中其他點(diǎn)C如圖所示，所以格點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是8，故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，關(guān)鍵是根據(jù)△ABC是直角三角形得出多種情況解答．5．如圖，在中，，且周長(zhǎng)為，點(diǎn)從點(diǎn)開始，沿邊向點(diǎn)以每秒的速度移動(dòng)；點(diǎn)從點(diǎn)開始，沿邊向點(diǎn)以每秒2cm的速度移動(dòng)．若同時(shí)出發(fā)，則過秒時(shí)，的面積為___________．【答案】18【分析】首先設(shè)AB為3xcm，BC為4xcm，AC為5xcm，利用方程求出三角形的三邊，由勾股定理的逆定理得出三角形為直角三角形．再求出3秒后的，BP，BQ的長(zhǎng)，利用三角形的面積公式計(jì)算求解．【詳解】解：設(shè)AB為3xcm，BC為4xcm，AC為5xcm，∵周長(zhǎng)為36cm，則AB+BC+AC＝36cm，∴3x+4x+5x＝36，解得x＝3，∴AB＝9cm，BC＝12cm，AC＝15cm，∵AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，過3秒時(shí)，BP＝9﹣3×1＝6（cm），BQ＝2×3＝6（cm），∴S△PBQ＝BP?BQ＝×（9﹣3）×6＝18（cm2）．故答案為：18．【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理逆定理、三角形的面積．由勾股定理的逆定理得出三角形為直角三角形，是解題的關(guān)鍵．6．如圖，在中，，，，是的平分線，若、分別是和上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是________【答案】【分析】作，，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得出，再根據(jù)垂線段最短，可得有最小值，最小值為的長(zhǎng)，再根據(jù)等面積法，列出方程求解即可得出答案．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)C作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作交于點(diǎn)Q，是的平分線，，根據(jù)垂線段最短可知，此時(shí)有最小值，最小值為的長(zhǎng)，，，，由勾股定理可知，，，，，的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)、垂線段最短、勾股定理等知識(shí)，正確找出符合條件的點(diǎn)P、Q的位置是本題關(guān)鍵．三、解答題：7．如圖，正方形網(wǎng)格的每個(gè)小方格邊長(zhǎng)均為1，ABC的頂點(diǎn)在格點(diǎn)上．(1)直接寫出AB=________，BC=________，AC=________；(2)判斷ABC的形狀，并說明理由；(3)直接寫出BC邊上的高=________．【答案】(1)，，；(2)△ABC是直角三角形，理由見解析；(3)．【分析】（1）根據(jù)勾股定理即可求解；（2）根據(jù)勾股定理的逆定理即可求解；（3）根據(jù)三角形的高的定義可得出答案．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，，，；故答案為：，，；（2）解：△ABC是直角三角形，理由如下：∵，，；∴，∴∠ABC=90°，∴△ABC是直角三角形；（3）解：∵在△ABC中，∠ABC=90°∴BC邊上的高為AB，∴BC邊上的高為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，勾股定理，勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．8．如圖，已知在中，，垂足為點(diǎn)，，，．(1)求的長(zhǎng)；(2)求證：．【答案】(1)12(2)證明見解析【分析】（1）在中利用勾股定理求得的長(zhǎng)即可；