《30.4.3 用二次函數(shù)解幾何圖形中的最值》習(xí)題課件

30.4.3第三十章二次函數(shù)用二次函數(shù)解幾何圖形中的最值【新考法·化動(dòng)為定法】如圖，在△ABC中，BC＝7cm，AC＝24cm，AB＝25cm，P點(diǎn)在BC上從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，速度為2cm/s；Q點(diǎn)在CA上從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)，速度為5cm/s.若點(diǎn)P，Q分別從B，C同時(shí)運(yùn)動(dòng)：1解：∵在△ABC中，BC＝7cm，AC＝24cm，AB＝25cm，72＋242＝252，∴BC2＋AC2＝AB2.

∴∠ACB＝90°.設(shè)ys后，S△PCQ的面積為15cm2，根據(jù)題意可得BP＝2ycm，CQ＝5ycm，∴CP＝BC－BP＝(7－2y)cm，(1)經(jīng)過多少秒后，S△PCQ的面積為15cm2?(2)請(qǐng)用配方法說明，何時(shí)△PCQ的面積最大，最大面積是多少？2如圖①放置兩個(gè)全等的含有30°角的直角三角尺ABC與DEF(∠B＝∠E＝30°)，若將三角尺ABC向右以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度移動(dòng)(點(diǎn)C與點(diǎn)E重合時(shí)移動(dòng)終止)，移動(dòng)過程中始終保持點(diǎn)B，F(xiàn)，C，E在同一條直線上，(1)在移動(dòng)過程中，試用含x的代數(shù)式表示△AMQ的面積．解：∵在Rt△ABC中，∠B＝30°，∴∠BAC＝60°.∵∠E＝30°，∴∠EQC＝∠AQM＝60°.∴△AMQ為等邊三角形．∴AM＝AQ.如圖，過點(diǎn)M作MN⊥AQ，垂足為N，則AN＝QN.(2)計(jì)算x等于多少時(shí)，兩個(gè)三角尺重疊部分的面積有最大值，最大值是多少？

【點(diǎn)方法】用二次函數(shù)的性質(zhì)求解幾何圖形面積的最值，通常先根據(jù)圖形的特點(diǎn)，結(jié)合相關(guān)的幾何性質(zhì)，運(yùn)用“面積法”建立函數(shù)關(guān)系式，再運(yùn)用求二次函數(shù)最值的方法求解．3【2023·天津】如圖，要圍一個(gè)矩形菜園ABCD，其中一邊AD是墻，且AD的長(zhǎng)不能超過26m，其余的三邊AB，BC，CD用籬笆，且這三邊的和為40m，有下列結(jié)論：①AB的長(zhǎng)可以為6m；②AB的長(zhǎng)有兩個(gè)不同的值滿足菜園ABCD的面積為192m2；③菜園ABCD面積的最大值為200m2.其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是(

)A．0B．1C．2D．3【點(diǎn)撥】【答案】

C4【母題：教材P44例2】如圖，用一段長(zhǎng)為30m的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻、中間隔有一道籬笆的矩形菜園，墻長(zhǎng)為18m．設(shè)垂直于墻的邊長(zhǎng)為xm，菜園的面積為ym2.解：依題意得，矩形的另一邊長(zhǎng)為(30－3x)m，則y＝x(30－3x)＝－3x2＋30x，即y與x的函數(shù)表達(dá)式為y＝－3x2＋30x.(1)求y與x的函數(shù)表達(dá)式；解：當(dāng)y＝75時(shí)，－3x2＋30x＝75，即x2－10x＋25＝0，解得x1＝x2＝5，∴當(dāng)x＝5時(shí)，菜園的面積為75m2.(2)當(dāng)x為何值時(shí)，菜園的面積為75m2；(3)能圍成的面積比75m2更大的菜園嗎？如果能，請(qǐng)求出最大面積，并說明圍法．如果不能，請(qǐng)說明理由．則拋物線開口向下，當(dāng)x＝5時(shí)，y有最大值75，∴不能圍成面積比75m2更大的菜園，即最大面積為75m2，此時(shí)垂直于墻的邊長(zhǎng)為5m，平行于墻的一邊長(zhǎng)為30－3×5＝15(m)．5【2023·菏澤】【情境題·生活應(yīng)用】某學(xué)校為美化學(xué)校環(huán)境，打造綠色校園，決定用籬笆圍成一個(gè)一面靠墻(墻足夠長(zhǎng))的矩形花園，用一道籬笆把花園分為A，B兩塊(如圖所示)，花園里種滿牡丹和芍藥．學(xué)校已定購(gòu)籬笆120米．解：設(shè)垂直于墻的邊長(zhǎng)為x米，圍成的矩形花園的面積為S平方米，則平行于墻的邊為(120－3x)米，根據(jù)題意得S＝x(120－3x)＝－3x2＋120x＝－3(x－20)2＋1200，(1)設(shè)計(jì)一個(gè)使花園面積最大的方案，并求出其最大面積；∵－3＜0，∴當(dāng)x＝20時(shí)，S取最大值1200，∴120－3x＝120－3×20＝60，∴當(dāng)垂直于墻的邊長(zhǎng)為20米，平行于墻的邊長(zhǎng)為60米時(shí)，花園面積最大，為1200平方米；

(2)在花園面積最大的條件下，A，B兩塊分別種植牡丹和芍藥，每平方米種植2株，已知牡丹每株售價(jià)25元，芍藥每株售價(jià)15元，學(xué)校計(jì)劃購(gòu)買費(fèi)用不超過5萬元，求最多可以購(gòu)買多少株牡丹？解：設(shè)購(gòu)買牡丹m株，則購(gòu)買芍藥1200×2－m＝(2400－m)株，∵學(xué)校計(jì)劃購(gòu)買費(fèi)用不超過5萬元，∴25m＋15(2400－m)≤50000，解得m≤1400，∴最多可以購(gòu)買1400株牡丹．6有一塊矩形地塊ABCD，AB＝20米，BC＝30米．為了美觀，擬種植不同的花卉，如圖所示，將矩形ABCD分割成四個(gè)等腰梯形及一個(gè)矩形，其中梯形的高相等，均為x米．現(xiàn)決定在等腰梯形AEHD和等腰梯形BCGF中種植甲種花卉；在等腰梯形ABFE和等腰梯形CDHG中種植乙種花卉；在矩形EFGH中種植丙種花卉．甲、乙、丙三種花卉的種植成本分別為20元/平方米、60元/平方米、40元/平方米，設(shè)三種花卉的種植總成本為y元．(1)當(dāng)x＝5時(shí)，求種植總成本；

(2)求y與x的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量x的取值范圍；(3)若甲、乙兩種花卉的種植面積之差不超過120平方米，求三種花卉的最低種植總成本．∴－2x2＋60x