廣西名校2025屆高三上學期高考模擬考試-數(shù)學試卷+答案

廣西名校2025屆高三上學期高考模擬考試-數(shù)學試卷+答案一、選擇題要求：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知函數(shù)$f(x)=\sqrt{1-x^2}$，其定義域為：A.$(-1,1)$B.$[-1,1]$C.$(-\infty,1]$D.$[1,+\infty)$2.若等差數(shù)列$\{a_n\}$中，$a_1=2$，$a_5=8$，則$a_3$的值為：A.4B.5C.6D.73.在$\triangleABC$中，$a^2+b^2-c^2=2ab$，則$\angleC$的度數(shù)為：A.$60^\circ$B.$45^\circ$C.$30^\circ$D.$90^\circ$4.函數(shù)$y=2^x+2^{-x}$在區(qū)間$(-\infty,0)$上的單調性為：A.單調遞增B.單調遞減C.先遞增后遞減D.先遞減后遞增5.已知等比數(shù)列$\{a_n\}$中，$a_1=1$，$a_4=16$，則該數(shù)列的公比為：A.2B.4C.8D.166.若不等式組$\begin{cases}x+2y\leq4\\y-x\leq1\end{cases}$的解集為一個三角形區(qū)域，則該三角形的面積為：A.1B.2C.3D.47.在復數(shù)域中，若$(1+i)^n=1$，則$n$的值為：A.2B.3C.4D.58.函數(shù)$f(x)=x^3-3x+1$的對稱中心為：A.$(0,-1)$B.$(1,-1)$C.$(1,1)$D.$(0,1)$9.在直角坐標系中，若點$P(2,3)$關于直線$x+y=1$的對稱點為$Q$，則$Q$的坐標為：A.$(1,0)$B.$(0,1)$C.$(0,-1)$D.$(-1,0)$10.若$\sin^2x+\cos^2x=\frac{1}{2}$，則$\sinx\cosx$的值為：A.$\frac{1}{2}$B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$C.$-\frac{1}{2}$D.$-\frac{\sqrt{2}}{2}$二、填空題要求：本大題共5小題，每小題5分，共25分。11.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$中，$a_1=3$，公差$d=2$，則$a_{10}$的值為______。12.在直角坐標系中，若點$A(2,3)$關于直線$x+y=1$的對稱點為$B$，則$B$的坐標為______。13.若函數(shù)$f(x)=\log_2(x-1)+\log_2(3-x)$的定義域為$[1,3]$，則$f(x)$的最大值為______。14.已知復數(shù)$z=i(1+i)^4$，則$|z|$的值為______。15.在等差數(shù)列$\{a_n\}$中，$a_1=1$，$a_4=10$，則該數(shù)列的前$n$項和$S_n$的值為______。四、解答題要求：本大題共4小題，共40分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。16.（本小題滿分10分）已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4$，求：（1）函數(shù)的對稱中心；（2）函數(shù)的單調區(qū)間。17.（本小題滿分12分）已知數(shù)列$\{a_n\}$的通項公式為$a_n=3^n-2^n$，求：（1）數(shù)列的前$n$項和$S_n$；（2）數(shù)列的極限$\lim_{n\to\infty}a_n$。18.（本小題滿分10分）在直角坐標系中，已知點$A(2,3)$和點$B(-1,1)$，求：（1）直線$AB$的方程；（2）直線$AB$與圓$x^2+y^2=25$的交點坐標。19.（本小題滿分8分）已知復數(shù)$z_1=1+i$，$z_2=1-i$，求：（1）$z_1$和$z_2$的模；（2）$z_1$和$z_2$的輻角；（3）$z_1$和$z_2$的乘積$z_1z_2$的模和輻角。五、證明題要求：本大題共1小題，共10分。20.（本小題滿分10分）證明：對于任意實數(shù)$x$，都有$\sin^2x+\cos^2x=1$。六、應用題要求：本大題共1小題，共10分。21.（本小題滿分10分）某工廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品，每件產(chǎn)品需要經(jīng)過兩道工序：打磨和組裝。已知打磨工序每件產(chǎn)品需要2小時，組裝工序每件產(chǎn)品需要1.5小時?，F(xiàn)有打磨工人10名，組裝工人8名，問該工廠最多能在一小時內(nèi)完成多少件產(chǎn)品的生產(chǎn)？本次試卷答案如下：一、選擇題1.A解析：函數(shù)$f(x)=\sqrt{1-x^2}$的定義域要求根號內(nèi)的表達式非負，即$1-x^2\geq0$，解得$x\in(-1,1)$。2.A解析：等差數(shù)列的通項公式為$a_n=a_1+(n-1)d$，代入$a_1=2$和$a_5=8$，解得$d=2$，再代入通項公式求得$a_3=2+2\times2=6$。3.A解析：根據(jù)余弦定理，$c^2=a^2+b^2-2ab\cosC$，代入$a^2+b^2-c^2=2ab$，解得$\cosC=\frac{1}{2}$，所以$\angleC=60^\circ$。4.B解析：函數(shù)$y=2^x+2^{-x}$在區(qū)間$(-\infty,0)$上，$2^x$和$2^{-x}$都是遞減函數(shù)，因此$y$是遞減函數(shù)。5.A解析：等比數(shù)列的通項公式為$a_n=a_1r^{n-1}$，代入$a_1=1$和$a_4=16$，解得$r=2$。6.C解析：不等式組$\begin{cases}x+2y\leq4\\y-x\leq1\end{cases}$的解集可以通過畫圖得到，解集是一個三角形區(qū)域，其面積為$\frac{1}{2}\times2\times1=1$。7.B解析：$(1+i)^n=1$表示$(1+i)$的n次方是單位圓上的點，即$(\cos\frac{\pi}{2},\sin\frac{\pi}{2})$，所以$n=3$。8.A解析：函數(shù)$f(x)=x^3-3x+1$的對稱中心可以通過求導數(shù)$f'(x)=3x^2-3$，令$f'(x)=0$解得$x=1$，代入原函數(shù)得$f(1)=-1$，所以對稱中心為$(1,-1)$。9.A解析：點$P(2,3)$關于直線$x+y=1$的對稱點$Q$可以通過求解直線$x+y=1$的垂線方程，垂線過$P$點，斜率為$-1$，方程為$y-3=-(x-2)$，解得$Q(1,0)$。10.B解析：由$\sin^2x+\cos^2x=1$，可得$\sinx\cosx=\frac{1}{2}\sin2x$，因為$\sin2x$的最大值為$1$，所以$\sinx\cosx$的最大值為$\frac{1}{2}$。二、填空題11.19解析：等差數(shù)列的前$n$項和公式為$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$，代入$a_1=3$和$a_{10}=3+9d$，解得$d=2$，再代入公式求得$S_{10}=10\times(3+19)/2=95$。12.(1,0)解析：點$A(2,3)$關于直線$x+y=1$的對稱點$B$可以通過求解直線$x+y=1$的垂線方程，垂線過$A$點，斜率為$-1$，方程為$y-3=-(x-2)$，解得$B(1,0)$。13.2解析：函數(shù)$f(x)=\log_2(x-1)+\log_2(3-x)$的定義域為$[1,3]$，函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的，可以通過求導數(shù)$f'(x)=\frac{1}{(x-1)\ln2}-\frac{1}{(3-x)\ln2}$，令$f'(x)=0$解得$x=2$，代入原函數(shù)得$f(2)=\log_2(1)+\log_2(1)=0$，所以$f(x)$的最大值為$f(2)=2$。14.$\sqrt{2}$解析：復數(shù)$z=i(1+i)^4=i(1+4i-6)=2i-5$，所以$|z|=\sqrt{(-5)^2+(2)^2}=\sqrt{29}$。15.$n^2-2n$解析：等差數(shù)列的前$n$項和公式為$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$，代入$a_1=1$和$a_n=1+(n-1)\times9=9n-8$，解得$S_n=\frac{n}{2}(1+9n-8)=\frac{n}{2}(9n-7)=n^2-2n$。四、解答題16.（1）對稱中心為$(1,-1)$解析：函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4$的對稱中心可以通過求導數(shù)$f'(x)=3x^2-6x$，令$f'(x)=0$解得$x=0$或$x=2$，代入原函數(shù)得$f(0)=4$和$f(2)=-1$，所以對稱中心為$(1,-1)$。（2）單調遞增區(qū)間為$(-\infty,0)$和$(2,+\infty)$，單調遞減區(qū)間為$(0,2)$解析：根據(jù)導數(shù)$f'(x)=3x^2-6x$，當$x<0$或$x>2$時，$f'(x)>0$，函數(shù)單調遞增；當$0<x<2$時，$f'(x)<0$，函數(shù)單調遞減。17.（1）前$n$項和$S_n=3^n-2^n$解析：等比數(shù)列的前$n$項和公式為$S_n=\frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$，代入$a_1=1$和$r=3$，解得$S_n=3^n-2^n$。（2）極限$\lim_{n\to\infty}a_n=+\infty$解析：由于$r=3>1$，所以數(shù)列$\{a_n\}$是發(fā)散的，極限為$+\infty$。18.（1）直線$AB$的方程為$x-2y+5=0$解析：直線$AB$的斜率為$\frac{1-3}{-1-2}=\frac{2}{3}$，通過點$A(2,3)$，代入點斜式方程$y-y_1=m(x-x_1)$，解得直線方程為$x-2y+5=0$。（2）交點坐標為$(4,3)$和$(-3,-2)$解析：將直線方程$x-2y+5=0$代入圓方程$x^2+y^2=25$，解得交點坐標為$(4,3)$和$(-3,-2)$。19.（1）$|z_1|=|z_2|=1$解析：復數(shù)$z_1=1+i$和$z_2=1-i$的模都是$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。（2）$z_1$的輻角為$\frac{\pi}{4}$，$z_2$的輻角為$-\frac{\pi}{4}$解析：復數(shù)$z_1=1+i$和$z_2=1-i$的輻角分別是$\arctan\frac{1}{1}=\frac{\pi}{4}$和$\arctan\frac{-1}{1}=-\frac{\pi}{4}$。（3）$z_1z_2$的模為$\sqrt{2}$，輻角為$\frac{\pi}{2}$解析：$z_1z_2=(1+i)(1-i)=1-i^2=2$，模為$\sqrt{2}$，輻角為$\arctan\frac{0}{2}=\frac{\pi}{2}$。五、證明題20.證明：對于任意實數(shù)$x$，都有$