第09講 有理數(shù)章復(fù)習(xí)-蘇科版新七年級(jí)《數(shù)學(xué)》小升初自學(xué)課提升講義

PAGE1第09講 有理數(shù)的章復(fù)習(xí)內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲第一步：主動(dòng)學(xué)析教材學(xué)知識(shí)：教材精講精析，全方位預(yù)習(xí)講典例練習(xí)題：教材習(xí)題學(xué)解題，快速掌握解題方法練考點(diǎn)強(qiáng)知識(shí)：兩大核心考點(diǎn)五種?？碱}型精準(zhǔn)練第二步：用心記串知識(shí)識(shí)框架：學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握，思維導(dǎo)圖助力掌握知識(shí)脈絡(luò)，理清知識(shí)之間的聯(lián)系第三步：限時(shí)測(cè)過(guò)關(guān)測(cè)穩(wěn)提升：過(guò)關(guān)檢測(cè)效果好，查漏補(bǔ)缺練考點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)1：正數(shù)與負(fù)數(shù)意義1.具有相反意義的量包括三個(gè)要素：eq\o\ac(○,1)具有同類(lèi)性；eq\o\ac(○,2)具有相反意義；eq\o\ac(○,3)具有數(shù)量。2.正數(shù)、負(fù)數(shù)可以表示兩個(gè)相反意義的量。知識(shí)點(diǎn)2：有理數(shù)及其分類(lèi)有理數(shù)的概念：有理數(shù)是整數(shù)和分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱(chēng)。有理數(shù)的四種表現(xiàn)形式：整數(shù)、分?jǐn)?shù)、有限小數(shù)、無(wú)限循環(huán)小數(shù)。判斷一個(gè)數(shù)是不是有理數(shù)，只要看看這個(gè)數(shù)是不是這四種就行了，如果是這四種中一個(gè)，那這個(gè)數(shù)一定是有理數(shù)；如果不是這四種中的任何一種，那它一定不是有理數(shù)。有理數(shù)的分類(lèi)方法：（1）按概念分類(lèi)： （2）按正負(fù)分類(lèi)： 知識(shí)點(diǎn)3：數(shù)軸1.數(shù)軸是規(guī)定了原點(diǎn)，正方向，單位長(zhǎng)度的直線。2.數(shù)軸的三要素：原點(diǎn)，正方向，單位長(zhǎng)度。知識(shí)點(diǎn)4：有理數(shù)的大小比較方法有理數(shù)的大小關(guān)系：對(duì)于兩個(gè)有理數(shù)，下列三種關(guān)系有且僅有一種成立：。有理數(shù)的大小關(guān)系的比較方法：方法1：借助數(shù)軸比較；方法2：借助絕對(duì)值比較。4.有理數(shù)的大小關(guān)系具有傳遞性：（1）如果,那么就有。（2）如果,那么就有。知識(shí)點(diǎn)5：絕對(duì)值與相反數(shù)1.絕對(duì)值的定義：一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對(duì)值。2.絕對(duì)值的表示方法：數(shù)a的絕對(duì)值記作|a|.3.絕對(duì)值的代數(shù)意義：（1）一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；（2）一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；（3）0的絕對(duì)值是0．即對(duì)于任何有理數(shù)a都有：4.絕對(duì)值的幾何意義：一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值就是表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，離原點(diǎn)的距離越遠(yuǎn)，絕對(duì)值越大；離原點(diǎn)的距離越近，絕對(duì)值越?。膸缀我饬x：數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。5.絕對(duì)值的性質(zhì)：非負(fù)性，即任何一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值總是正數(shù)或0即6.相反數(shù)的定義：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)；0的相反數(shù)是0.7.相反數(shù)的表示方法：的相反數(shù)為。8.相反數(shù)的性質(zhì)：（1）位置關(guān)系：互為相反數(shù)的兩數(shù)的點(diǎn)分別位于原點(diǎn)的兩旁，且與原點(diǎn)的距離相等.（2）和的關(guān)系：互為相反數(shù)的兩數(shù)和為0.知識(shí)點(diǎn)6：有理數(shù)的加法法則1.加法法則加數(shù)類(lèi)型加法法則典型范例同號(hào)兩數(shù)相加同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加；異號(hào)兩數(shù)相加異號(hào)兩數(shù)相加，絕對(duì)值相等時(shí)，和為0異號(hào)兩數(shù)相加，絕對(duì)值不相等時(shí)，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值一數(shù)與0相加一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù)知識(shí)點(diǎn)7：有理數(shù)的加法運(yùn)算律1.加法運(yùn)算律：（1）加法交換律：（2）加法結(jié)合律：名師點(diǎn)撥：（1）加法運(yùn)算律的作用：簡(jiǎn)化運(yùn)算，湊整，湊同號(hào)；（2）交換加數(shù)的位置時(shí)，不要忘記符號(hào)．知識(shí)點(diǎn)8：有理數(shù)的減法法則有理數(shù)減法法則：減去一個(gè)數(shù)，等于加這個(gè)數(shù)的相反數(shù)，即有：．名師點(diǎn)撥：（1）將減法轉(zhuǎn)化為加法時(shí)，注意“兩變”，一變是減號(hào)變加號(hào)；二變是把減數(shù)變?yōu)樗南喾磾?shù)”．（2）靈活使用減法法則，比較熟練的同學(xué)也可以不按步驟，直接寫(xiě)結(jié)果，提高效率。知識(shí)點(diǎn)9：有理數(shù)的乘法法則有理數(shù)的乘法法則：（1）兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘；（2）任何數(shù)同0相乘，都得0．名師點(diǎn)撥：（1）不為0的兩數(shù)相乘，先定符號(hào)，再把絕對(duì)值相乘．（2）當(dāng)乘數(shù)中有負(fù)數(shù)時(shí)，必須用括號(hào)括起來(lái)：如5與-3的乘積，應(yīng)列為5×(-3)，不應(yīng)該寫(xiě)成5×-3．2.有理數(shù)的乘法運(yùn)算律：（1）乘法交換律：兩個(gè)數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積相等，即：．（2）乘法結(jié)合律：三個(gè)數(shù)相乘，先把前兩個(gè)數(shù)相乘，或者先把后兩個(gè)數(shù)相乘，積相等．即：．（3）乘法分配律：一個(gè)數(shù)同兩個(gè)數(shù)的和相乘，等于把這個(gè)數(shù)分別同這兩個(gè)數(shù)相乘，再把積相加．即：．知識(shí)點(diǎn)10：有理數(shù)的除法法則1.有理數(shù)除法法則：（1）法則1：除以一個(gè)不等于0的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)，即。（2）法則2：兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除．0除以任何一個(gè)不等于0的數(shù)，都得0.2.倒數(shù)的概念：乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)．名師點(diǎn)撥：（1）0不能當(dāng)除數(shù)；（2）法則二與有理數(shù)乘法法則相似，兩數(shù)相除時(shí)先確定商的符號(hào)，再確定商的絕對(duì)值．知識(shí)點(diǎn)11：有理數(shù)的乘方1.乘方的概念：求相同因數(shù)的積的運(yùn)算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪(power)．即有：.底數(shù)：在中，叫做底數(shù)，指數(shù)：叫做指數(shù).典型例子：此處2叫做底數(shù)，3是指數(shù)，表示2的個(gè)數(shù)；2.特例：當(dāng)指數(shù)=2時(shí)，一般成為平方；當(dāng)指數(shù)=3時(shí)，一般成為立方。知識(shí)點(diǎn)12：科學(xué)記數(shù)法（這是一個(gè)很小，但非常非常重要的知識(shí)點(diǎn)，要牢記）科學(xué)記數(shù)法的定義：把一個(gè)絕對(duì)值大于10的數(shù)表示成的形式（其中l(wèi)≤||＜10，是正整數(shù)），這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法.名師點(diǎn)撥：（1）負(fù)數(shù)也可以用科學(xué)記數(shù)法表示，“”照寫(xiě)，其它與正數(shù)一樣；（2）把一個(gè)數(shù)寫(xiě)成形式時(shí)，若這個(gè)數(shù)是大于10的數(shù)，則n比這個(gè)數(shù)的整數(shù)位數(shù)少1.知識(shí)點(diǎn)13：有理數(shù)的混合運(yùn)算1.有理數(shù)的混合運(yùn)算順序：（混合運(yùn)算三原則）(1)先乘方，再乘除，最后加減；(2)同級(jí)運(yùn)算，從左到右進(jìn)行；(3)如有括號(hào)，先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，按小括號(hào)、中括號(hào)、大括號(hào)依次進(jìn)行．2.合理運(yùn)用運(yùn)算律簡(jiǎn)化運(yùn)算1.加法運(yùn)算律： 加法交換律：加法結(jié)合律：2.乘法交換律：乘法交換律：乘法結(jié)合律：乘法分配律：3.靈活選用適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算律，可以簡(jiǎn)化計(jì)算，減少錯(cuò)誤。運(yùn)用乘法分配率時(shí)要根據(jù)自己的基礎(chǔ)情況選用。教材習(xí)題第66頁(yè)復(fù)習(xí)題第7（3）題計(jì)算：解題方法指導(dǎo)解法1：直接通分計(jì)算解法2：可以使用分配率計(jì)算【分析】解法1：直接通分計(jì)算解法1：直接通分計(jì)算教材習(xí)題69頁(yè)復(fù)習(xí)題探索研究第18題如果的絕對(duì)值和相等，那么滿足什么條件？如果的絕對(duì)值比大，那么滿足什么條件？解題方法指導(dǎo)舉出各種類(lèi)型的數(shù)，比如負(fù)數(shù)，0，正數(shù)，通過(guò)對(duì)特例的研究，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律；從特殊到一般是我們研究一些較難問(wèn)題的一般方法【分析】先舉出一些特殊的各種類(lèi)型的數(shù)，進(jìn)行研究判斷：第（1）題：為正數(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)為負(fù)數(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)，不符合題意時(shí)，，發(fā)現(xiàn)總結(jié)：當(dāng)為非負(fù)數(shù)時(shí)，。第（2）題：可以采用類(lèi)似的方法解決：根據(jù)上題可以知道，為正數(shù)時(shí)，不符合題意；為負(fù)數(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)，符合題意時(shí)，，發(fā)現(xiàn)，不符合題意總結(jié)：當(dāng)為負(fù)數(shù)時(shí)，。題型1 有理數(shù)的混合運(yùn)算問(wèn)題1．計(jì)算：(1)； (2)；(3)； (4)．【答案】(1)1(2)(3)(4)【分析】本題考查有理數(shù)的含有乘方的混合運(yùn)算．解題關(guān)鍵是熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．（1）有理數(shù)的加減運(yùn)算法則計(jì)算即可；（2）根據(jù)乘法分配律計(jì)算即可；（3）將除法轉(zhuǎn)化為乘法，根據(jù)乘法計(jì)算即可；（4）先算乘方和絕對(duì)值，再算乘除法，再算加法【詳解】（1）解：；（2）解：+；（3）解：；（4）解：；2．計(jì)算：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本題考查的是求一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，加法的運(yùn)算律，乘法的運(yùn)算律，含乘方的有理數(shù)的混合運(yùn)算，掌握有理數(shù)加減乘除，乘方運(yùn)算的運(yùn)算法則與運(yùn)算順序是解題的關(guān)鍵.（1）利用加法的運(yùn)算律，把分母相同的兩個(gè)數(shù)先加，從而可得答案；（2）利用乘法的分配律把原式化為：，再計(jì)算乘法，最后計(jì)算加減運(yùn)算即可；（3）先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，同步計(jì)算乘方運(yùn)算，再計(jì)算乘法運(yùn)算，最后計(jì)算加減運(yùn)算即可；（4）先計(jì)算乘方運(yùn)算，同步計(jì)算除法與絕對(duì)值，再計(jì)算乘法運(yùn)算，最后計(jì)算加減運(yùn)算即可.【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：.3．計(jì)算：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算；（1）利用加法交換律和結(jié)合律進(jìn)行計(jì)算，即可解答；（2）利用乘法分配律進(jìn)行計(jì)算，即可解答；（3）先算乘方，再算乘除，后算加減，即可解答；（4）先算乘方，再算乘法，后算加減，有括號(hào)先算括號(hào)里，即可解答．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：（4）解：4．計(jì)算．(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)2(4)15【分析】本題考查了有理數(shù)的四則混合運(yùn)算和含乘方的有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則和順序是解題的關(guān)鍵．（1）先計(jì)算絕對(duì)值和有理數(shù)的乘除，再計(jì)算有理數(shù)的加減，即得答案；（2）先計(jì)算有理數(shù)的乘方，然后計(jì)算兩個(gè)括號(hào)中的加減，再計(jì)算有理數(shù)的乘法，最后計(jì)算有理數(shù)的加減，即得答案．（3）先算括號(hào)，再算除法即可；（4）先算乘方，再算乘除，最后算加減即可．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式；（4）解：原式．5．解決下列問(wèn)題：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)3(2)(3)3(4)【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．（1）把減法統(tǒng)一成加法，再按加法法則計(jì)算；（2）利用乘法分配律計(jì)算即可；（3）先算乘方，再算除法，后算加減；（4）先算乘方、除法、絕對(duì)值，再算乘法，后算加減【詳解】（1）解：（2）解：（3）解：（4）解：題型2 有理數(shù)簡(jiǎn)便運(yùn)算簡(jiǎn)便運(yùn)算：【答案】【分析】本題主要考查了含乘方的有理數(shù)混合計(jì)算，有理數(shù)乘法分配律，先把原式變形為，再利用乘法結(jié)合律變形得到，據(jù)此利用乘法分配律求解即可．【詳解】解：．簡(jiǎn)便計(jì)算：．【答案】25【分析】本題主要考查了含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算、有理數(shù)乘法運(yùn)算律的簡(jiǎn)便運(yùn)算等知識(shí)點(diǎn)，掌握相關(guān)運(yùn)算法則和運(yùn)算律成為解題的關(guān)鍵．運(yùn)用有理數(shù)的乘法運(yùn)算律進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算即可．【詳解】解：．簡(jiǎn)便計(jì)算：；【答案】【分析】先確定積的符號(hào)，再逆用乘法分配律進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算即可；【詳解】解：；4．用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：(1)； (2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）把改寫(xiě)成，把改寫(xiě)成，然后把除法轉(zhuǎn)化為乘法，再按乘法分配律計(jì)算即可；（2）先算乘方，然后把一、四項(xiàng)結(jié)合，二、三項(xiàng)結(jié)合，逆用乘法分配律計(jì)算．【詳解】（1）解：原式．（2）解：原式．5．簡(jiǎn)便計(jì)算：（1） （2）【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)逆用乘法分配率進(jìn)行計(jì)算即可；（2）先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的，再根據(jù)乘法分配律簡(jiǎn)便運(yùn)算即可．【詳解】（1）（2）題型3 有理數(shù)混合運(yùn)算的新定義問(wèn)題1．對(duì)于任意有理數(shù)a，b，我們定義一種新運(yùn)算“”，規(guī)定：，如：．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)49；(2)109．【分析】本題主要考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，理解新定義是解題的關(guān)鍵．（1）直接根據(jù)新定義的法則，結(jié)合有理數(shù)的相應(yīng)的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算即可．（2）先根據(jù)新定義計(jì)算，再計(jì)算即可求解．【詳解】（1）解：．所以的值為49．（2）解：；．所以的值為109．2．我們定義一種新運(yùn)算：．例如：．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)1(2)4【分析】本題主要考查了新定義，含乘方的有理數(shù)混合計(jì)算：（1）根據(jù)新定義得到，據(jù)此代值計(jì)算即可；（2）根據(jù)新定義得到，再根據(jù)，進(jìn)行計(jì)算求解即可．【詳解】（1）解：由題意得：；（2）解：．3．若定義一種新的運(yùn)算“”，規(guī)定有理數(shù)，如．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)21(2)40【分析】本題考查了新定義和有理數(shù)的混合運(yùn)算，正確理解新定義和有理數(shù)的運(yùn)算法則解題的關(guān)鍵．（1）按照新定義法則把原式轉(zhuǎn)化為有理數(shù)運(yùn)算，再計(jì)算即可；（2）按照新定義法則把原式轉(zhuǎn)化為有理數(shù)運(yùn)算，再計(jì)算即可．【詳解】（1）解：；（2）解：，∴．4．定義新運(yùn)算：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)其中，是實(shí)數(shù)，如．計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)．【分析】（）根據(jù)新定義列出算式，然后根據(jù)運(yùn)算法則即可求解；（）根據(jù)新定義列出算式，然后根據(jù)運(yùn)算法則即可求解；本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：；（2）解：，則．5．定義一種新的運(yùn)算：，如：，求：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】此題考查了新定義運(yùn)算和有理數(shù)的混合運(yùn)算，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．（1）把原式利用題中的新定義計(jì)算轉(zhuǎn)換為有理數(shù)運(yùn)算，即可得到結(jié)果；（2）先計(jì)算，求得，再計(jì)算，即可得到結(jié)果．【詳解】（1）解：由題意得：；（2）解：由題意得：．題型4 與有理數(shù)混合運(yùn)算有關(guān)的程序圖問(wèn)題1．嘉琪同學(xué)在自學(xué)了簡(jiǎn)單的電腦編程后，設(shè)計(jì)了如圖所示的程序．(1)若開(kāi)始輸入為，請(qǐng)你根據(jù)程序列出算式并計(jì)算出輸出結(jié)果；(2)嘉琪發(fā)現(xiàn)將一個(gè)小于的數(shù)輸入，得到的結(jié)果總是正數(shù)．請(qǐng)驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論．【答案】(1)；(2)見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，不等式的性質(zhì)，要熟練掌握，注意明確有理數(shù)混合運(yùn)算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級(jí)運(yùn)算，應(yīng)按從左到右的順序進(jìn)行計(jì)算；如果有括號(hào)，要先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算．（1）首先用開(kāi)始輸入的數(shù)乘，求出積是多少；然后用所得的積除以2，求出商是多少；最后用所得的商減去即可．（2）這個(gè)數(shù)是x，得出程序的結(jié)果為，再令，代入驗(yàn)證即可．【詳解】（1）解：；（2）解：設(shè)這個(gè)數(shù)是x，則，，，，即得到的結(jié)果總是正數(shù)．2．小鵬做了一個(gè)如圖所示的程序圖，按要求完成下列各小題．(1)當(dāng)小鵬輸入的數(shù)為6時(shí)，求輸出的結(jié)果n；(2)若小鵬某次輸入數(shù)m后，輸出的結(jié)果n為．請(qǐng)你寫(xiě)出m可能的2個(gè)值．【答案】(1)(2)或0.5【分析】本題考查程序流程圖與有理數(shù)運(yùn)算：（1）根據(jù)流程圖，列出算式進(jìn)行計(jì)算即可；（2）分或兩種情況進(jìn)行討論求解即可．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，，，，；（2），當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；故m可能為或0.5．3．有三種運(yùn)算程序如下圖所示，按要求完成下列各題：(1)如圖，當(dāng)輸入數(shù)時(shí)，輸出數(shù)_____；(2)如圖，第一個(gè)帶？號(hào)的運(yùn)算框內(nèi)，應(yīng)填_____；第二個(gè)帶？號(hào)的運(yùn)算框內(nèi)，應(yīng)填_____；第三個(gè)帶？號(hào)的運(yùn)算框內(nèi)，應(yīng)填_____．(3)如圖，當(dāng)輸入時(shí)，則輸出結(jié)果為_(kāi)____．【答案】(1)(2)，，(3)【分析】（1）利用圖中公式計(jì)算得出答案；（2）利用最后的代數(shù)式推出空格中的式子；（3）根據(jù)圖中計(jì)算公式及判斷條件分別計(jì)算得出答案．【詳解】（1）解：如圖，當(dāng)輸入數(shù)時(shí)，輸出數(shù)，故答案為：；（2）解：第一個(gè)帶？號(hào)的運(yùn)算框內(nèi)，應(yīng)填：，第二個(gè)帶？號(hào)的運(yùn)算框內(nèi)，應(yīng)填：，第三個(gè)帶？號(hào)的運(yùn)算框內(nèi)，應(yīng)填：，故答案為：，，；（3）解：，，，，，，，，，輸出結(jié)果為：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了程序流程圖與有理數(shù)計(jì)算，有理數(shù)四則混合運(yùn)算，代數(shù)式表示的實(shí)際意義，程序流程圖與代數(shù)式求值等知識(shí)點(diǎn)，看懂程序流程圖并得出正確信息是解題的關(guān)鍵．4．按照如圖和圖所示的程序，進(jìn)行計(jì)算．(1)如果輸入，求輸出結(jié)果；(2)若在圖基礎(chǔ)上增加一個(gè)計(jì)算程序“”，如圖，重新輸入，第一次運(yùn)算得到，求輸出結(jié)果．【答案】(1)；(2)．【分析】本題主要考查了流程圖，有理數(shù)的混合運(yùn)算，解分式方程等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)流程圖正確列式是解題的關(guān)鍵．（）根據(jù)程序中的運(yùn)算法則列式計(jì)算即可；（）根據(jù)程序中的運(yùn)算法則列出分式方程，求出的值，再根據(jù)運(yùn)算法則列式計(jì)算即可．【詳解】（1）解：；（2）解：，，∴，經(jīng)檢驗(yàn)，是原分式方程的解，∴．5．如圖所示、淇淇做了一個(gè)程序圖，按要求完成下列問(wèn)題．（1）當(dāng)淇淇輸入的數(shù)為6時(shí)，則輸出的結(jié)果（2）若淇淇某次輸入數(shù)m后，輸出的結(jié)果n為，請(qǐng)你寫(xiě)出m的兩個(gè)可能值【答案】，（答案不唯一）【分析】本題考查程序流程圖和有理數(shù)的運(yùn)算，按照程序流程圖準(zhǔn)確的進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)所給的程序圖代入相應(yīng)的值進(jìn)行運(yùn)算即可；（2）根據(jù)所給的程序圖代入相應(yīng)的值進(jìn)行運(yùn)算即可．【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，，，，，故答案為：；（2）當(dāng)時(shí)，，解得：；當(dāng)，，即：時(shí)，解得：．故答案為：，（答案不唯一）．題型4 有理數(shù)混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用1．南部縣是一座歷史文化悠久、人口眾多的大縣，出租車(chē)是重要的交通工具，出租車(chē)的計(jì)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)為：行程不超過(guò)2千米收費(fèi)5元，超過(guò)2千米的部分按每千米1.5元收費(fèi)（不足1千米的按1千米計(jì)算)一出租車(chē)公司坐落于南北方向的南鐵大道邊，駕駛員張師傅從公司出發(fā)，在此大道上連續(xù)接送5批客人，行駛記錄如下：（注；一批次的客人指的是一次可坐1到4位客人，規(guī)定向北為正，向南為負(fù)，單位：千米）第一批第二批第三批第四批第五批(1)送完第五批客人后，張師傅在公司的邊（填南或北）距離公司千米的位置．(2)張師傅的車(chē)平均每千米消耗壓縮天然氣0.09升，則送完第五批客人后，張師傅用了多少升壓縮天然氣？(3)在整個(gè)過(guò)程中，張師傅共收到車(chē)費(fèi)多少元？【答案】(1)南，0.4(2)送完第五批客人后，王師傅用了升壓縮天然氣(3)在整個(gè)過(guò)程中，張師傅共收到車(chē)費(fèi)34元【分析】本題主要考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)的應(yīng)用，有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握正負(fù)數(shù)的作用，絕對(duì)值的意義，分段計(jì)費(fèi)，是解答本題的關(guān)鍵．（1）將表格中的數(shù)據(jù)相加，再根據(jù)正負(fù)數(shù)的意義即可解答；（2）先計(jì)算出在整個(gè)過(guò)程的總路程，然后乘以每千米消耗壓縮天然氣0.09升，即可解答；（3）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)是超過(guò)2千米的分段計(jì)費(fèi)，取總和，可以計(jì)算出送完第五批客人后，張師傅共收到的車(chē)費(fèi)．【詳解】（1）解：（千米），即送完第五批客人后，張師傅在公司的南邊，距離公司0.4千米的位置；故答案為：南，0.4；（2）解：（升，送完第五批客人后，王師傅用了升壓縮天然氣；（3）解：由題可知：（元，在整個(gè)過(guò)程中，張師傅共收到車(chē)費(fèi)34元．2．科技改變生活，當(dāng)前網(wǎng)絡(luò)銷(xiāo)售日益盛行，許多農(nóng)商采用網(wǎng)上銷(xiāo)售的方式進(jìn)行營(yíng)銷(xiāo)，實(shí)現(xiàn)脫貧致富，小王把自家種的柚子放到網(wǎng)上銷(xiāo)售，計(jì)劃每天銷(xiāo)售100千克，但實(shí)際每天的銷(xiāo)售量與計(jì)劃銷(xiāo)售量相比有增減，超過(guò)計(jì)劃量記為正，不足計(jì)劃量記為負(fù)，下表是小王第一周柚子的銷(xiāo)售情況：星期一二三四五六日柚子銷(xiāo)售超過(guò)或不足計(jì)劃量情況（單位：千克）(1)求小王第一周銷(xiāo)售柚子最多的一天比最少的一天多銷(xiāo)售多少千克．(2)求小王第一周實(shí)際銷(xiāo)售柚子的總量是多少千克？(3)若小王按8元/千克進(jìn)行柚子銷(xiāo)售，平均運(yùn)費(fèi)為2元/千克，則小王第一周銷(xiāo)售柚子一共收入多少元？【答案】(1)小王第一周銷(xiāo)售柚子最多的一天比最少的一天多銷(xiāo)售千克(2)小王第一周實(shí)際銷(xiāo)售柚子的總量是千克(3)小王第一周銷(xiāo)售柚子一共收入元【分析】本題考查了正負(fù)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，涉及了有理數(shù)的混合運(yùn)算，注意計(jì)算的準(zhǔn)確性．（1）用周六柚子的銷(xiāo)量減去周五柚子的銷(xiāo)量即可；（2）計(jì)算即可求解；（3）收入=（售價(jià)－運(yùn)費(fèi)）×總量，據(jù)此即可求解．【詳解】（1）解：周六銷(xiāo)售柚子最多，銷(xiāo)售量為（千克），最少的是周五，銷(xiāo)售量為（千克），所以最多的一天比最少的一天多銷(xiāo)售（千克）答：小王第一周銷(xiāo)售柚子最多的一天比最少的一天多銷(xiāo)售20千克；（2）解：（千克），答：小王第一周實(shí)際銷(xiāo)售柚子的總量是千克；（3）解：（元），答：小王第一周銷(xiāo)售柚子一共收入元．3．某倉(cāng)庫(kù)原有商品件，現(xiàn)記錄了天內(nèi)該類(lèi)商品進(jìn)出倉(cāng)庫(kù)的件數(shù)如下所示（“”表示進(jìn)庫(kù)，“”表示出庫(kù)）：，，，，，，，，，．(1)請(qǐng)問(wèn)經(jīng)過(guò)天之后，該倉(cāng)庫(kù)內(nèi)的商品是增加了還是減少了？此時(shí)倉(cāng)庫(kù)還有多少商品？(2)如果商品每次進(jìn)出倉(cāng)庫(kù)需要人工搬運(yùn)費(fèi)是每件元，請(qǐng)問(wèn)這天要付多少人工搬運(yùn)費(fèi)？【答案】(1)經(jīng)過(guò)天之后，該倉(cāng)庫(kù)內(nèi)的商品是增加了件，此時(shí)倉(cāng)庫(kù)還有商品；(2)這天要付元搬運(yùn)費(fèi)．【分析】本題主要考查了有理數(shù)的加法、絕對(duì)值，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)有理數(shù)的加法法則進(jìn)行計(jì)算．把這天進(jìn)出倉(cāng)庫(kù)的商品件數(shù)相加，所得結(jié)果為，所以經(jīng)過(guò)天之后，該倉(cāng)庫(kù)內(nèi)的商品增加了件，此時(shí)倉(cāng)庫(kù)的商品還有件；【詳解】（1）解：（件），經(jīng)過(guò)天之后，該倉(cāng)庫(kù)內(nèi)的商品件數(shù)為：（件），答：經(jīng)過(guò)天之后，該倉(cāng)庫(kù)內(nèi)的商品是增加了件，此時(shí)倉(cāng)庫(kù)還有商品；（2）解：（件），這天要付給工人的搬運(yùn)費(fèi)為：（元），答：這天要付元搬運(yùn)費(fèi)．4．為鞏固脫貧攻堅(jiān)成果，助力鄉(xiāng)村振興快速發(fā)展．我縣所略鄉(xiāng)推行“發(fā)展茶油產(chǎn)業(yè)，加快脫貧的步伐”．某種植戶新鮮采摘了20筐茶果，以每筐25千克為標(biāo)準(zhǔn)重量，超過(guò)或不足千克數(shù)分別用正，負(fù)數(shù)來(lái)表示，記錄如下：與標(biāo)準(zhǔn)重量的差值（單位：千克）01筐數(shù)142328(1)與標(biāo)準(zhǔn)重量比較，20筐茶果總計(jì)超過(guò)或不足多少千克？(2)若該種植戶采摘生茶果每千克售價(jià)元，則出售這20筐茶果可獲得多少元？【答案】(1)20筐茶果的總質(zhì)量比標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量超過(guò)8千克(2)出售這20筐茶果可獲得元【分析】本題主要考查了正負(fù)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，有理數(shù)四則混合計(jì)算的實(shí)際應(yīng)用，熟知正負(fù)數(shù)的實(shí)際意義是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)求出這20筐茶果的重量，若結(jié)果為正，則超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量，若為負(fù)，則不足，若為0，這等于標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量，據(jù)此求解即可；（2）用每千克的售價(jià)乘以茶果總質(zhì)量即可得到答案．【詳解】（1）解：由題意得：千克，答：20筐茶果的總質(zhì)量比標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量超過(guò)8千克；（2）解：由題意得：（元）答：出售這20筐茶果可獲得元．5．正值中秋佳節(jié)，小夢(mèng)和媽媽一塊去購(gòu)買(mǎi)月餅，媽媽買(mǎi)了一盒某品牌月餅共計(jì)8枚．小夢(mèng)將8枚月餅的質(zhì)量稱(chēng)重后統(tǒng)計(jì)表如下（單位：克）：第枚12345678質(zhì)量565554.856.255.355.354.754.3(1)小夢(mèng)為了簡(jiǎn)化運(yùn)算，選取了一個(gè)恰當(dāng)?shù)臉?biāo)準(zhǔn)質(zhì)量，依據(jù)這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量，小夢(mèng)把超出的部分記為正，不足的部分記為負(fù)，列出表格（不完整）．請(qǐng)根據(jù)表格計(jì)算這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量_______克，下面表格中第3枚月餅的質(zhì)量是________克；第枚12345678質(zhì)量________________________________________(2)當(dāng)小夢(mèng)看到說(shuō)明書(shū)上標(biāo)記的總質(zhì)量為克時(shí)，小夢(mèng)媽媽買(mǎi)的月餅在總質(zhì)量上是否合格？請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算說(shuō)明為什么．【答案】(1)55；(2)合格，理由見(jiàn)詳解【分析】本題考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)以及有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，正確理解本題中正數(shù)和負(fù)數(shù)的意義是解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意可知，標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量為55克，據(jù)此可得結(jié)果；（2）求出8次記錄的數(shù)的和，判斷其是否在至之間即可得出答案．【詳解】（1）解：由題意，得標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量為55克，；故答案為：55；；（2）解：由題意得：，，即，這盒月餅在總質(zhì)量上是合格的．知識(shí)導(dǎo)圖記憶知識(shí)目標(biāo)復(fù)核掌握有理數(shù)的相關(guān)概念：正負(fù)數(shù)、絕對(duì)值，相反數(shù)，數(shù)軸，有理數(shù)的大小比較方法等有關(guān)概念；掌握有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方運(yùn)算的法則，能進(jìn)行熟練的的混合運(yùn)算，能靈活利用運(yùn)算律簡(jiǎn)化計(jì)算；能利用有理數(shù)的運(yùn)算解決生活中簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。一、選擇題1．下面兩個(gè)量中，不具有相反意義的是（

）A．盈利和虧損元 B．浪費(fèi)水和節(jié)約水C．進(jìn)三個(gè)球和輸三場(chǎng)比賽 D．上升和下降【答案】C【分析】此題考查了相反意義的量．根據(jù)相反意義的量的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、盈利和虧損元，是互為相反意義的量，故選項(xiàng)不符合題意；B、浪費(fèi)水和節(jié)約水，是互為相反意義的量，故選項(xiàng)不符合題意；C、進(jìn)三個(gè)球和輸三場(chǎng)比賽，不是互為相反意義的量，故選項(xiàng)符合題意；D、上升和下降，是互為相反意義的量，故選項(xiàng)不符合題意；故選：C．2．下列四個(gè)數(shù)中，屬于負(fù)數(shù)的是（

）A．1.2 B．1 C． D．0【答案】C【分析】本題考查負(fù)數(shù)的概念，解題的關(guān)鍵是明確負(fù)數(shù)的定義，即小于0的數(shù)是負(fù)數(shù)．明確正數(shù)，負(fù)數(shù)和0的性質(zhì)，逐一分析選項(xiàng)中的數(shù)與0的大小關(guān)系．【詳解】A、1.2是正數(shù)，A項(xiàng)錯(cuò)誤；B、1是正數(shù)，B項(xiàng)錯(cuò)誤；C、小于0，根據(jù)負(fù)數(shù)的定義：小于0的數(shù)是負(fù)數(shù)，所以是負(fù)數(shù)，C項(xiàng)正確；D、0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，D項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：C．3．在，，0，1.2，2，中，非負(fù)整數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】本題考查有理數(shù)，理解有理數(shù)、非負(fù)整數(shù)的定義是正確解答的關(guān)鍵．根據(jù)有理數(shù)，非負(fù)整數(shù)的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：在，，0，1.2，2，中，非負(fù)整數(shù)有0，2，共2個(gè)，故選：B．4．下列各圖中，數(shù)軸表示正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題主要考查數(shù)軸的三要素，熟練掌握數(shù)軸三要素：原點(diǎn)，單位長(zhǎng)度，正方向，即可得到答案．【詳解】解：A、缺少正方形，數(shù)軸表示不正確，不符合題意；B、缺少原點(diǎn)，數(shù)軸表示不正確，不符合題意；C、單位長(zhǎng)度不統(tǒng)一，數(shù)軸表示不正確，不符合題意；D、是數(shù)軸，符合題意；故選：D．5．在數(shù)軸上，表示有理數(shù)a，b的點(diǎn)的位置如圖所示，把個(gè)數(shù)按照從小到大的順序排列，正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查數(shù)軸的性質(zhì)以及有理數(shù)的大小比較，解題的關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的位置判斷出a，b的正負(fù)性和絕對(duì)值大小關(guān)系．先根據(jù)數(shù)軸判斷a，b的正負(fù)性與絕對(duì)值大?。俑鶕?jù)相反數(shù)的性質(zhì)得到的正負(fù)性，最后比較的大?。驹斀狻繌臄?shù)軸可知，，且，根據(jù)相反數(shù)的性質(zhì)，的相反數(shù)的相反數(shù)，所以，故選：C．6．2025的相反數(shù)是（

）A． B． C． D．2025【答案】A【分析】本題考查了求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，根據(jù)只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)進(jìn)行作答即可．【詳解】解：2025的相反數(shù)是，故選：A．7．的絕對(duì)值是（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】本題主要考查了求一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，正數(shù)和0的絕對(duì)值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵，∴的絕對(duì)值是，故選：A．8．算籌我國(guó)是最早認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)并進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算的國(guó)家，魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽在其著作《九章算術(shù)注》中，用算籌（小棍形狀的記數(shù)工具）來(lái)表示正負(fù)數(shù)，其中正放表示正數(shù)，斜放表示負(fù)數(shù)，例如圖①表示的是的運(yùn)算過(guò)程．按照這種方法，可推算圖②中的算式為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了有理數(shù)的加法，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意列式計(jì)算得，即可得到答案．【詳解】解：根據(jù)題意得，故選：B．9．比低的溫度是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了有理數(shù)減法的應(yīng)用，用減去即可求解．【詳解】解：由題意，得．故選D．10．如果，，那么下列成立的是（

）A．， B．， C．， D．，【答案】C【分析】本題主要考查了有理數(shù)的加法、除法運(yùn)算法則，熟知兩種運(yùn)算的法則是正確解答此題的關(guān)鍵．根據(jù)有理數(shù)加法法則：①同號(hào)相加，取相同符號(hào)，并把絕對(duì)值相加．②絕對(duì)值不等的異號(hào)加減，取絕對(duì)值較大的加數(shù)符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值．兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除，依此即可作出判斷．【詳解】解：，，同為正或同為負(fù)，，，同為負(fù)，即：，；故選：C．二、填空題11．?dāng)?shù)軸上與點(diǎn)2相距3個(gè)單位長(zhǎng)度的點(diǎn)表示的數(shù)為．【答案】或【分析】本題考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，利用分類(lèi)討論的思想解決問(wèn)題是解題關(guān)鍵．分兩種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)在表示2的點(diǎn)的左邊時(shí)；②當(dāng)點(diǎn)在表示2的點(diǎn)的右邊時(shí)，根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，即可得到答案．【詳解】解：分為兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)在表示2的點(diǎn)的左邊時(shí)，與點(diǎn)2相距3個(gè)單位長(zhǎng)度的點(diǎn)表示的數(shù)為；②當(dāng)點(diǎn)在表示2的點(diǎn)的右邊時(shí)，與點(diǎn)2相距3個(gè)單位長(zhǎng)度的點(diǎn)表示的數(shù)為；故答案為：或．12．比較大小：（填“”或“”）【答案】【分析】本題考查了有理數(shù)的大小比較，解題關(guān)鍵是掌握有理數(shù)大小比較法則：正數(shù)大于零，負(fù)數(shù)小于零，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；兩個(gè)正數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的數(shù)大；兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的數(shù)反而?。驹斀狻拷猓海?，，，故答案為：．13．計(jì)算：．【答案】3【分析】本題考查絕對(duì)值的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是理解絕對(duì)值的定義和運(yùn)算規(guī)則．先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，再根據(jù)絕對(duì)值的定義求出結(jié)果．【詳解】，，故答案為：3．14．，【答案】/【分析】本題考查的是化簡(jiǎn)絕對(duì)值及化簡(jiǎn)多重符號(hào)，熟練掌握絕對(duì)值性質(zhì)及化簡(jiǎn)多重符號(hào)的方法是解題關(guān)鍵，根據(jù)絕對(duì)值及相反數(shù)定義直接計(jì)算即可．【詳解】解：；；；，故答案為：，，，．15．計(jì)算：（1）；（2）．【答案】【分析】本題考查了有理數(shù)的加法運(yùn)算，根據(jù)有理數(shù)的加法法則求解即可．【詳解】解：（1）；（2）；故答案為：，．16．若，，，則的絕對(duì)值是．【答案】【分析】本題考查了絕對(duì)值的定義，有理數(shù)加法，首先依據(jù)絕對(duì)值的定義求得、，結(jié)合條件，進(jìn)行分兩種情況計(jì)算即可，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用及分類(lèi)討論思想是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，，∴；；∵，∴當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，；故答案為：．17．的倒數(shù)是．【答案】【分析】本題主要考查了求一個(gè)數(shù)的倒數(shù)，乘積為1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵，∴的倒數(shù)是，故答案為：．18．華為最新款手機(jī)芯片“麒麟990”是一種微型處理器，每秒可進(jìn)行次運(yùn)算，用科學(xué)記數(shù)法表示為【答案】【分析】本題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值，根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的表示方法進(jìn)行表示即可．【詳解】解：，故答案為：．19．定義一種新運(yùn)算：，則．【答案】12【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，理解定義的新運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．按照定義的新運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【詳解】解：∵，∴，故答案為：12．20．根據(jù)流程圖中的程序，若輸入x的值為，則輸出y的值為．【答案】7【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，代數(shù)式求值，掌握有理數(shù)的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)流程圖的程序列出算式，再計(jì)算出結(jié)果，根據(jù)輸出的條件得出結(jié)論即可．【詳解】解：把代入，得，再把代入，得，∴輸出y的值為7．故答案為：7．三、解答題21．計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)16(2)【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算：先算乘方，再算乘除，然后進(jìn)行加減運(yùn)算；有括號(hào)先算括號(hào)．（1）先算乘方和乘除，再算加減即可；（2）先把除法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，然后利用乘法分配律進(jìn)行計(jì)算．【詳解】（1）解：原式；（2）原式．22．計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)23(2)【分析】本題主要考查了有理數(shù)混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)混合運(yùn)算法則，“先算乘方，再算乘除，最后算加減，有小括號(hào)的先算小括號(hào)里面的”．（1）根據(jù)乘法分配律進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．23．探究規(guī)律，完成相關(guān)題目．定義“*”運(yùn)算：

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