2024北京二中高三（下）開學考數(shù)學試題及答案

試題試題2024北京二中高三（下）開學考數(shù)學命題人：_______得分：_______一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分．選出符合題目要求的一項）1.設集合，則（）A. B. C. D.2.已知復數(shù)是純虛數(shù)，則在復平面中，復數(shù)的共軛復數(shù)對應的點坐標是（）A. B. C. D.3.若，則（）A.1 B.2 C. D.4.已知，，且，，若，則（）A. B. C. D.5.在中，，BC邊上的高等于,則（）A. B. C. D.6.設是無窮數(shù)列，記，則“是等比數(shù)列”是“是等比數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件7.隨著北京中軸線申遺工作的進行，古建筑備受關(guān)注．故宮不僅是世界上現(xiàn)存規(guī)模最大、保存最為完整的木質(zhì)結(jié)構(gòu)古建筑之一，更是北京中軸線的“中心”．圖1是古建筑之首的太和殿，它的重檐廡（w?）殿頂可近似看作圖2所示的幾何體，其中底面題矩形，，四邊形是兩個全等的等腰梯形，是兩個全等的等腰三角形．若，則該幾何體的體積為（）（圖1）（圖2）A.90 B. C. D.1358.已知雙曲線的右頂點為M，以M為圓心，雙曲線C的半焦距為半徑的圓與雙曲線C的一條漸近線相交于A，B兩點．若，則雙曲線C的離心率為（）A. B.2 C. D.9.平面直角坐標系中，定點A的坐標為，其中.若當點在圓上運動時，的最大值為0，則（）A.的最小值為B.的最小值為C.的最小值為D.的最小值為10.設數(shù)列的前項和為，若對任意的正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得，下列正確的命題是（）①可能為等差數(shù)列；②可能為等比數(shù)列；③均能寫成的兩項之差；④對任意，總存在，使得．A.①③ B.①④ C.②③ D.②④二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）11.拋物線的焦點坐標為_________，準線方程為__________．12.已知向量在向量上的投影向量，且，則_____________.13.已知直線(為常數(shù))與圓交于點，當變化時，若的最小值為，則_____________.14.已知函數(shù)（，，是常數(shù)，，）．若在區(qū)間上具有單調(diào)性，且，則的值為_________．15.已知函數(shù)給出下列四個結(jié)論：①若有最小值，則的取值范圍是；②當時，若無實根，則的取值范圍是；③當時，不等式的解集為；④當時，若存在，滿足，則.其中，所有正確結(jié)論的序號為__________.三、解答題（共6小題，共85分．解答應寫出文字說明，演算步騾或證明過程）16.在△ABC中，．（1）求B的值；（2）給出以下三個條件：①；②，；③，若這三個條件中僅有兩個正確，請選出正確的條件并回答下面問題：（i）求的值；（ii）求∠ABC的角平分線BD的長．17.某工廠的機器上有一種易損元件A，這種元件在使用過程中發(fā)生損壞時，需要送維修處維修．工廠規(guī)定當日損壞的元件A在次日早上8：30之前送到維修處，并要求維修人員當日必須完成所有損壞元件A的維修工作．每個工人獨立維修A元件需要時間相同．維修處記錄了某月從1日到20日每天維修元件A的個數(shù)，具體數(shù)據(jù)如下表：日期1日2日3日4日5日6日7日8日9日10日元件A個數(shù)91512181218992412日期11日12日13日14日15日16日17日18日19日20日元件A個數(shù)12241515151215151524從這20天中隨機選取一天，隨機變量X表示在維修處該天元件A的維修個數(shù)．（Ⅰ）求X的分布列與數(shù)學期望；（Ⅱ）若a，b，且b-a=6，求最大值；（Ⅲ）目前維修處有兩名工人從事維修工作，為使每個維修工人每天維修元件A的個數(shù)的數(shù)學期望不超過4個，至少需要增加幾名維修工人？（只需寫出結(jié)論）18.在三棱柱中，，平面平面，分別為棱的中點，如圖：（1）求證：平面；（2）若，①求與平面所成角的正弦值；②求線段在平面內(nèi)的投影的長.19.已知分別是橢圓的左、右焦點，且焦距為2，動弦平行于x軸，且．（1）求橢圓E的方程；（2）設為橢圓E的左右頂點，P為直線上的一動點（點P不在x軸上），連接交橢圓于C點，連接并延長交橢圓于D點，試問是否存在，使得成立，若存在，求出的值；若不存在，說明理由．20.已知函數(shù)．（1）求曲線在點處的切線的方程；（2）若函數(shù)在處取得極大值，求a的取值范圍；（3）若函數(shù)存在最小值，直接寫出a的取值范圍．21.已知無窮數(shù)列滿足，其中表示x，y中最大的數(shù)，表示x，y中最小的數(shù).（1）當，時，寫出的所有可能值；（2）若數(shù)列中的項存在最大值，證明：0為數(shù)列中的項；（3）若，是否存在正實數(shù)M，使得對任意的正整數(shù)n，都有？如果存在，寫出一個滿足條件的M；如果不存在，說明理由.

參考答案一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分．選出符合題目要求的一項）1.【答案】B【分析】根據(jù)條件，得到，，再利用集合的運算，即可求出結(jié)果.【詳解】因為，所以，又由，得到，即，所以，故選：B.2.【答案】A【分析】利用復數(shù)除法計算出，從而得到，求出答案.【詳解】，則，解得，則，故共軛復數(shù)對應的坐標為.故選：A3.【答案】D【分析】對賦值，分別賦值，，進而可得結(jié)果.【詳解】由，令，則，即，令，則，即所以.故選：D.4.【答案】D【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合或分類討論進行判斷即可．【詳解】解：由，即，，當時，則有，此時，，，，則，，，，D選項符合；當時，則有，此時，，，，則，，，，D選項符合；故選：D．5.【答案】C【詳解】試題分析：設,故選C.考點：解三角形.6.【答案】D【分析】根據(jù)充分、必要條件以及等差、等比數(shù)列的知識求得正確答案.【詳解】非充分性：，此時是等比數(shù)列，但不是等比數(shù)列；非必要性：.此時是等比數(shù)列，但不是等比數(shù)列.所以“是等比數(shù)列”是“是等比數(shù)列”的既不充分也不必要條件.故選：D7.【答案】B【分析】將該五面體分割為四棱錐和三棱柱，結(jié)合棱柱和棱錐的體積公式求其體積．【詳解】過點作，，又，，平面，所以平面，過點作，，又，，平面，所以平面，因為底面，平面，平面平面，所以，同理，所以，，，，平面，平面，平面，平面，所以，，因為，與是全等的等腰三角形，由對稱性可得，，所以，連接點與的中點，則，所以，又，所以三棱柱的體積為，因為平面，平面，所以，又，，平面，，所以平面，又矩形的面積為，所以四棱錐的體積為，由對稱性可得四棱錐的體積為，所以五面體的體積為．故選：B8.【答案】D【分析】做交于點，點為弦的中點，可得圓心M到漸近線的距離等于半徑的一半，即，再利用可得答案.【詳解】因為，如圖，做交于點，點為弦的中點，，所以圓心M到漸近線的距離等于半徑的一半，則，則，即，解得，則雙曲線C的離心率為．故選：D.9.【答案】C【分析】設，，根據(jù)數(shù)量積的坐標運算結(jié)合兩角和差公式可得，再結(jié)合余弦函數(shù)的有界性分析求解.【詳解】設，，則，可得，對任意，可知當時，的最大值為，可得，且，所以，且當時，的最小值為.故選：C.10.【答案】A【分析】對于①，取，可知①正確；對于②，當?shù)墓?，時，；當時，，而無有理數(shù)根，可知②錯誤；對于③，根據(jù)，可知③正確；對于④取數(shù)列，顯然不存在，使得，故④不正確.【詳解】對于①，取，則，顯然存在，使，所以①正確，對于②，若數(shù)列為等比數(shù)列，設公比為，顯然不滿足要求，考慮的情況，依題意有，，即①，②，兩式相除，得到，若，則取為奇數(shù)，那么，所以，所以，當足夠大時，顯然不成立；若，則，因為，所以當足夠大時，可以使，故也不成立.從而知②錯誤，對于選項③，取，則，所以，當時，，故③正確，對于選項④，取數(shù)列，顯然不存在，使得，故④錯誤，故選：A.【點睛】關(guān)鍵點點晴：本題的關(guān)鍵在于第②選項，根據(jù)條件得到，從而得到，再對進行討論，從而解決問題.二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）11.【答案】①.②.【分析】先將化簡為，再利用拋物線的定義即可求解.【詳解】由題意知，化簡得，所以焦點坐標為，準線方程為：.故答案為：；.12.【答案】【分析】由題意設，結(jié)合，求出，再根據(jù)投影向量的定義，列式計算，即可求得答案.【詳解】由題意知向量在向量上的投影向量為，設，由，得，故，即，故，故答案為：13.【答案】【分析】利用垂徑定理表示出即可.【詳解】可知圓心為，半徑.圓心到直線的距離，由點到直線的距離公式有：.由垂徑定理可知：……①由的表達式可知，當時，取得最小值，即……②所以②代入①有：.故答案為：.14.【答案】【分析】由在區(qū)間上具有單調(diào)性，得函數(shù)最小正周期，從而可由得出其一條對稱軸方程和一個對稱中心，然后可求得周期，再由周期公式求的值．【詳解】因為在區(qū)間上具有單調(diào)性，則，所以，又，，故，由可知函數(shù)的一條對稱軸為，又，則有對稱中心，從而，即，所以.故答案為：．15.【答案】②③④【分析】對①，利用函數(shù)的單調(diào)性與最值的關(guān)系結(jié)合函數(shù)圖象求解；對②，利用函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合求解；對③，利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式；對④，利用函數(shù)的切線與導函數(shù)的關(guān)系，以及圖形的對稱關(guān)系，數(shù)形結(jié)合求解.【詳解】當時，，當時，，若，則當時，，則此時函數(shù)無最小值；若，則當時，，時，，則函數(shù)有最小值為滿足題意；若，則當時，，時，，要使函數(shù)有最小值，則，解得；綜上，的取值范圍是，①錯誤；當時，函數(shù)在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞減，作圖如下，因為無實根，所以或，②正確；當時，因為，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，又因為所以由可得，，即，解得，所以，所以不等式的解集為，③正確；函數(shù)在點處的切線斜率為，所以切線方程為，則由圖象可知，時，，設，記直線與函數(shù)，，的交點的橫坐標為，因為經(jīng)過點，所以由對稱性可知，當時，，又因為，所以，④正確；故答案為:②③④.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的②③④小問都用數(shù)形結(jié)合的思想，數(shù)形結(jié)合的思想通常與函數(shù)的單調(diào)性、最值等有關(guān)聯(lián)，根據(jù)單調(diào)性、最值，以及一些特殊的點準確作出函數(shù)圖象是用數(shù)形結(jié)合來解決問題的關(guān)鍵.三、解答題（共6小題，共85分．解答應寫出文字說明，演算步騾或證明過程）16.【答案】（1）（2）正確條件為①③，（i），（ii）【分析】（1）利用和角正弦公式可得，結(jié)合三角形內(nèi)角和性質(zhì)即可求B的值；（2）根據(jù)條件組合判斷出正確條件為①③，（i）應用余弦定理、三角形面積公式求各邊長，最后由正弦定理求；（ii）由角平分線性質(zhì)求得，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及兩角和的正弦公式求出，再根據(jù)正弦定理求BD的長．【小問1詳解】由題設，而，所以，故；【小問2詳解】若①②正確，則，得或，所以①②有一個錯誤條件，則③是正確條件，若②③正確，則，可得，即②為錯誤條件，綜上，正確條件為①③，（i）由，則，即，又，可得，所以，可得，則，故；（ii）因為且，得，由平分得，在中，，在中，由，得．17.【答案】（Ⅰ）分布列見解析，；(Ⅱ)；(Ⅲ)至少增加2人.【分析】（Ⅰ）求出X的所有可能取值為9，12，15，18，24，求出概率，得到X的分布列，然后求解期望即可．（Ⅱ）當P（a≤X≤b）取到最大值時，求出a，b的可能值，然后求解P（a≤X≤b）的最大值即可．（Ⅲ）利用前兩問的結(jié)果，判斷至少增加2人．【詳解】(Ⅰ)X的取值為：9，12，15，18，24；,,,,，X的分布列為：X912151824P故X的數(shù)學期望；(Ⅱ)當P(a≤X≤b)取到最大值時。a,b的值可能為：,或,或.經(jīng)計算,,，所以P(a≤X≤b)的最大值為.(Ⅲ)至少增加2人.【點睛】本題考查離散型隨機變量及其分布列，離散型隨機變量的期望與方差，屬于中等題.18.【答案】（1）證明見解析（2）①；②【分析】（1）通過證明四邊形為平行四邊形，得到，進而證明平面.（2）結(jié)合題意，通過面面垂直，轉(zhuǎn)化為兩兩垂直，從而建立坐標系，計算即可.【小問1詳解】如圖，取中點，連接，因為為的中點，所以,且因為在三棱柱中，為的中點，所以,且,所以,,所以四邊形為平行四邊形.所以，又因為平面平面，因此，平面.【小問2詳解】因為平面平面，且交線為.平面.所以平面.因為面，所以.因為.所以.因為，且,面，所以平面.再由，得兩兩垂直，如圖建立直角坐標系.有，.設平面的一個法向量..①設所求線面角為，則.②.19.【答案】（1）（2）存在，3【分析】（1）由橢圓的對稱性得，結(jié)合橢圓的定義可求出，即可求出答案；（2）設，設直線的方程為：，與橢圓的方程聯(lián)立，由此利用韋達定理結(jié)合已知條件能求出存在，使得成立.【小問1詳解】因為焦距為，即，由橢圓的對稱性得.又因為，所以．則，.所以，所以橢圓E的方程為.【小問2詳解】設，又，則，故直線的方程為：，代入方程并整理得：．由韋達定理：，即，所以，故直線的方程為：，代入方程并整理得：，由韋達定理：，即，所以所以，故直線的方程為，即，化簡可得：，所以直線恒過定點．所以，因為，，所以，所以存在，使.【點睛】方法點睛：本題考查直線與橢圓綜合應用中的定點問題的求解，求解此類問題的基本思路如下：①假設直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，整理為關(guān)于或的一元二次方程的形式；②利用求得變量之間的關(guān)系，同時得到韋達定理的形式；③利用韋達定理表示出已知的等量關(guān)系，化簡整理得到所求定點.20.【答案】（1）.（2）（3）【分析】（1）先求導后求出切線的斜率，然后求出直線上該點的坐標即可寫出直線方程；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和最值分類討論；（3）分情況討論，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和極限求解.【小問1詳解】，所以：切點為，又，所以：，所以：切線方程為.【小問2詳解】定義域為R，，①當時，，令得，所以：單調(diào)遞增區(qū)間為；令得，所以單調(diào)遞減區(qū)間為；所以：在取極大值，符合題意．②當時，由，得：，，，變化情況如下表：0－0+0－減極小值增極大值減所以：在處取得極大值，所以：符合題意．③當時，由，得：，，（i）當即時，，變化情況如下表：0+0