2024北京朝陽外國語學(xué)校高三10月月考數(shù)學(xué)試題及答案

試題試題2024北京朝陽外國語學(xué)校高三10月月考數(shù)學(xué)2024.10（考試時(shí)間120分鐘滿分150分）本試卷分為選擇題40分和非選擇題110分第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.若全集，則（）A. B. C. D.2.關(guān)于函數(shù)的單調(diào)性的說法正確的是（）A.在上是增函數(shù) B.在上是減函數(shù)C.在區(qū)間上是增函數(shù) D.在區(qū)間上是減函數(shù)3.已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與軸非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（）A. B. C. D.4.函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）A. B.2 C. D.5.函數(shù)，其中，，，它的圖象如圖所示，則的解析式為（）．A.，B.，C.，D.，6.若a，b，l是空間中三條不同的直線，，，是三個(gè)不同的平面，則下列命題中真命題是（）A.若，，，則 B.若，，，則C.若，，，則 D.若，，，則7.已知，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B.C. D.8.設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則“”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件9.光線通過一塊玻璃，強(qiáng)度要損失．設(shè)光線原來的強(qiáng)度為，通過塊這樣的玻璃以后強(qiáng)度為，則經(jīng)過塊這樣的玻璃后光線強(qiáng)度為：，那么至少通過（）塊這樣的玻璃，光線強(qiáng)度能減弱到原來的以下（，）A. B. C. D.10.已知無窮數(shù)列的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)，為其前n項(xiàng)和，若對(duì)任意正整數(shù)都有，則下列各項(xiàng)中可能成立的是（）A.，，，…，為等差數(shù)列，，，，…，為等比數(shù)列B.，，，…，為等比數(shù)列，，，，…，為等差數(shù)列C.，，，…，為等差數(shù)列，，，…，，…為等比數(shù)列D.，，，…，為等比數(shù)列，，，…，，…為等差數(shù)列第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則__________.12.已知向量，，則=______13.已知，且，則________．14.設(shè)正實(shí)數(shù)滿足，則__________．15.某軍區(qū)紅、藍(lán)兩方進(jìn)行戰(zhàn)斗演習(xí)，假設(shè)雙方兵力（戰(zhàn)斗單位數(shù)）隨時(shí)間的變化遵循蘭徹斯特模型：，其中正實(shí)數(shù)，分別為紅、藍(lán)兩方初始兵力，t為戰(zhàn)斗時(shí)間；，分別為紅、藍(lán)兩方t時(shí)刻的兵力;正實(shí)數(shù)a，b分別為紅方對(duì)藍(lán)方、藍(lán)方對(duì)紅方的戰(zhàn)斗效果系數(shù)；和分別為雙曲余弦函數(shù)和雙曲正弦函數(shù)．規(guī)定當(dāng)紅、藍(lán)兩方任何一方兵力為0時(shí)戰(zhàn)斗演習(xí)結(jié)束，另一方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利，并記戰(zhàn)斗持續(xù)時(shí)長為T．給出下列四個(gè)結(jié)論：①若且，則；②若且，則；③若，則紅方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利；④若，則紅方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是________．三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.已知函數(shù).（Ⅰ）若是第二象限角，且，求的值；（Ⅱ）求函數(shù)的定義域和值域.17.在中，已知．（1）求角C的大小；（2）若，再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得存在且唯一確定，求的面積．條件①：；條件②：；條件③：的周長是．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．18.如圖．在四棱錐中，底面ABCD為正方形，底面ABCD，，E為線段PB的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)．（1）求證：平面AEF⊥平面PBC；（2）若F為線段BC上靠近B的三等分點(diǎn)，求平面AFE與平面AFC夾角的余弦值．19.已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（3）在（2）的條件下，若對(duì)于任意，不等式成立，求a的取值范圍．20.已知函數(shù)，設(shè)l為曲線y=fx在點(diǎn)處的切線，其中．（1）求直線l在y軸上的截距的取值范圍：（2）設(shè)直線分別與曲線y=fx和射線（）交于M，N兩點(diǎn)，求MN的最小值及此時(shí)a的值．21.已知為有窮整數(shù)數(shù)列，若滿足：，其中，是兩個(gè)給定的不同非零整數(shù)，且，則稱具有性質(zhì).（1）若，，那么是否存在具有性質(zhì)的？若存在，寫出一個(gè)這樣的；若不存在，請(qǐng)說明理由；（2）若，，且具有性質(zhì)，求證：中必有兩項(xiàng)相同；（3）若，求證：存在正整數(shù)，使得對(duì)任意具有性質(zhì)的，都有中任意兩項(xiàng)均不相同.

參考答案第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用補(bǔ)集、并集的定義直接求解即可.【詳解】由，得，而，所以.故選：C2.【答案】C【分析】先求出函數(shù)定義域，再結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.【詳解】由函數(shù)的解析式知定義域?yàn)?，設(shè)，顯然在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知在上是增函數(shù)，故選：C3.【答案】B【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義可先得，再根據(jù)誘導(dǎo)公式計(jì)算即可.【詳解】由正弦函數(shù)的定義可知，再利用誘導(dǎo)公式知故選：B4.【答案】D【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】解：因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以.故選：D.5.【答案】A【分析】將點(diǎn)與的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式，建立關(guān)于的方程組即可求解.【詳解】點(diǎn)與代入中，，∴，，故選：A．6.【答案】A【分析】由線線，線面，面面的位置關(guān)系逐項(xiàng)判斷即可得結(jié)論.【詳解】對(duì)于A，若，，，由線面平行的性質(zhì)可得，故A正確；對(duì)于B，若，，，當(dāng)時(shí)，得不出，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，，，可能，也可能與相交，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，，，可能，也可能，也可能不共線且不垂直，故D錯(cuò)誤.故選：A.7.【答案】B【分析】令，根據(jù)的單調(diào)性得，取滿足條件的特殊值排除選項(xiàng)ACD，可證得選項(xiàng)B正確；【詳解】由得，令，即因?yàn)樵赗上為增函數(shù)，在R上為減函數(shù)，故在R上為增函數(shù)，所以.對(duì)A：取，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：由得，所以，故B正確；對(duì)C：取，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：取，則，故D錯(cuò)誤；故選：B8.【答案】D【分析】根據(jù)等比數(shù)列的求和公式以及充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】為等比數(shù)列，設(shè)公比為，當(dāng)，數(shù)列不一定是遞增數(shù)列，如當(dāng)，時(shí)，中的各項(xiàng)均為負(fù)數(shù)，，是遞減數(shù)列，充分性不成立；當(dāng)數(shù)列為遞增數(shù)列時(shí)，不一定成立，如當(dāng)，時(shí)，，，，必要性不成立.“”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的既不充分也不必要條件.故選：D.9.【答案】C【詳解】光線經(jīng)過塊玻璃后，強(qiáng)度變?yōu)椋饩€經(jīng)過塊玻璃后，強(qiáng)度變?yōu)?，……光線經(jīng)過塊玻璃后，強(qiáng)度變?yōu)椋深}意，即，兩邊同取對(duì)數(shù)，可得，∵，∴，又，所以至少通過塊玻璃，光線強(qiáng)度能減弱到原來的以下．選．點(diǎn)睛：對(duì)于本題中的問題，在實(shí)際問題中常用指數(shù)函數(shù)模型（其中N是基礎(chǔ)數(shù)，p為增長率，x為時(shí)間）或冪函數(shù)模型（其中a為基礎(chǔ)數(shù)，x為增長率，n為時(shí)間）求解．解題時(shí)往往用到對(duì)數(shù)運(yùn)算，要注意結(jié)合已知條件中給定的值對(duì)應(yīng)求解．10.【答案】C【分析】根據(jù)題意，假設(shè)，，…，為等差數(shù)列，公差為，分討論，找出矛盾，可判斷A，B，D選項(xiàng)，對(duì)于C，舉例說明.【詳解】由題對(duì)任意正整數(shù)，都有，可判斷，，…，不可能為等差數(shù)列，理由如下：假設(shè)，，…，為等差數(shù)列，公差為，若，，則，矛盾；若，，當(dāng)時(shí)，，存在使得，矛盾；若，，當(dāng)時(shí)，，存在使得，矛盾；若，當(dāng)時(shí)，，，必有使得，矛盾；若，當(dāng)時(shí)，，，必有使得，矛盾；對(duì)于A，為等差數(shù)列與上述推理矛盾，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，為等差數(shù)列與上述推理矛盾，故B錯(cuò)誤；對(duì)于D，為等差數(shù)列與上述推理矛盾，故D錯(cuò)誤；對(duì)于C，取，，，滿足題意，故C正確.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是利用反證法假設(shè)，，…，為等差數(shù)列，推理找出矛盾，依此判斷.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11.【答案】【分析】設(shè)公比，由條件列出方程，求出公比和首項(xiàng)，代入等比數(shù)列求和公式計(jì)算即得.【詳解】設(shè)等比數(shù)列an的公比為，由，得，所以，又，故.故答案為：.12.【答案】5【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)橄蛄?，，所以，所以，故答案為?13.【答案】或【分析】把代入方程解方程即可.【詳解】，解得：或，因?yàn)椋曰?故答案為：或.14.【答案】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則與性質(zhì)化簡即可得解.【詳解】由，得．所以．故答案為：15.【答案】①②④【分析】對(duì)于①根據(jù)已知條件利用作差法比較大小即可得出，所以①正確；對(duì)于②，利用①中結(jié)論可得藍(lán)方兵力先為0，即解得，②正確；對(duì)于③和④，若要紅方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利，分別解出紅、藍(lán)兩方兵力為0時(shí)所用時(shí)間、，比較大小即可知③錯(cuò)誤，④正確.【詳解】對(duì)于①，若且，則，即，所以，由可得，即①正確；對(duì)于②，當(dāng)時(shí)根據(jù)①中的結(jié)論可知，所以藍(lán)方兵力先為0，即，化簡可得，即，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)可得，即，所以戰(zhàn)斗持續(xù)時(shí)長為，所以②正確；對(duì)于③，若紅方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利，則紅方可戰(zhàn)斗時(shí)間大于藍(lán)方即可，設(shè)紅方兵力為0時(shí)所用時(shí)間為，藍(lán)方兵力為0時(shí)所用時(shí)間為，即，可得同理可得即，解得又因?yàn)槎紴檎龑?shí)數(shù)，所以可得，紅方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利；所以可得③錯(cuò)誤，④正確.故答案為：①②④.三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)椤痉治觥浚?）由為第二象限角及的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出及的值，再代入中即可得到結(jié)果.（2）函數(shù)解析式利用二倍角和輔助角公式將化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，根據(jù)的范圍，即可得到函數(shù)值域.【詳解】解：（1）因?yàn)槭堑诙笙藿?，且，所?所以，所以.（2）函數(shù)的定義域?yàn)?化簡，得，因?yàn)?，且，，所以，所?所以函數(shù)的值域?yàn)?（注：或許有人會(huì)認(rèn)為“因?yàn)?，所以”，其?shí)不然，因?yàn)?）【點(diǎn)睛】本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，三角函數(shù)函數(shù)值求解以及定義域和值域的求解問題，涉及到利用二倍角公式和輔助角公式整理三角函數(shù)關(guān)系式的問題，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力，屬于?？碱}型.17.【答案】（1）（2）【分析】（1）利用余弦定理邊化角即可結(jié)果；（2）利用正弦定理可得.若選條件①：根據(jù)題意可得，進(jìn)而分析其唯一性即可；若選條件②：利用余弦定理可得，，進(jìn)而求，進(jìn)而可得面積；若選條件③：根據(jù)周長可得，利用余弦定理并分析其唯一性.【小問1詳解】因?yàn)?，即，可得，且，所?【小問2詳解】因?yàn)?，，由正弦定理可得，可?若選條件①：因?yàn)?，，即，可得，可知滿足條件的角A有兩個(gè)，不唯一，不合題意；若選條件②：因?yàn)?，由正弦定理可得，且，則，可得，則，，因?yàn)閮山呛蛢蛇吘汛_定，根據(jù)三角形全等可知三角形存在且唯一，又因?yàn)?，所以的面積；若選條件③：因?yàn)榈闹荛L是，則，即，由余弦定理可得，即，整理可得，且，可知方程有2個(gè)不相等的實(shí)根，且，可知方程有2個(gè)不相等的正實(shí)根，即邊a不唯一，不合題意.綜上，只有選條件②符合題意.18.【答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）根據(jù)給定條件，證明，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)、判定證得平面，再由面面垂直的判斷推理作答.（2）以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量計(jì)算作答.【小問1詳解】因，為中點(diǎn)，則，又底面，而底面，則有，又因，，平面，于是得平面，而平面，因此，又，平面，從而得平面平面，所以平面平面．【小問2詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，，因底面，則平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，設(shè)平面AFE與平面AFC夾角為，顯然為銳角，則，所以二平面AFE與平面AFC夾角的余弦值為．19.【答案】（1）；（2）單調(diào)遞減區(qū)間為和，單調(diào)遞增區(qū)間為；（3）．【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)的意義求出切線的斜率，再把代入原函數(shù)求出，最后由點(diǎn)斜式寫出直線方程即可；（2）求導(dǎo)后令導(dǎo)數(shù)為零，解出兩個(gè)根，再由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定單調(diào)區(qū)間即可；（3）含參數(shù)的函數(shù)不等式恒成立問題，先由單調(diào)性得到，，，解不等式得到參數(shù)的范圍，再比較參數(shù)大小，確定范圍即可.【小問1詳解】因?yàn)?，所以．所以．所以，．所以曲線y=fx在點(diǎn)處的切線方程為，即．【小問2詳解】因?yàn)?，定義域?yàn)?，所以．因?yàn)?，令，即，解得，，所以．?dāng)x變化時(shí)，f'x，x2f00單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減所以的單調(diào)遞減區(qū)間為和，單調(diào)遞增區(qū)間為．【小問3詳解】在（2）的條件下，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．因?yàn)閷?duì)于任意，不等式成立，所以，，．所以，得，，得；，得．因?yàn)椋裕詀的取值范圍是．20.【答案】（1）（2）的最小值為，【分析】（1）求導(dǎo)，得到切線的斜率，由此得切線的方程；直線在軸上的截距為．設(shè)新的函數(shù)，求導(dǎo)，求最值即可.（2）過作軸的垂線，與射線交于點(diǎn)，得到是等腰直角三角形，．設(shè)，求最值即可.【小問1詳解】對(duì)求導(dǎo)數(shù)，得，所以切線的斜率為，由此得切線的方程為：，即.得直線在軸上的截距為．設(shè)，．所以，令，得．列表得：單調(diào)遞減單調(diào)遞減所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，，所以直線在軸上的截距的取值范圍是．【小問2詳解】過作軸的垂線，與射線交于點(diǎn)，所以是等腰直角三角形．所以．設(shè)，，所以．令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，從而在上單調(diào)遞增.所以，此時(shí)，．所以的最小值為，此時(shí)．21.【答案】（1）不存在具有性質(zhì)的，理由見解析（2）證明見解析（3）證明見解析【分析】（1）根據(jù)所給定義，設(shè)，，，中有個(gè)，個(gè)，從而有，推出矛盾；（2