第09講勾股定理的逆定理與簡單應(yīng)用（原卷版）

思維導(dǎo)圖第09講勾股定理的逆定理與簡單應(yīng)用思維導(dǎo)圖1.上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了勾股定理，回顧一下勾股定理的內(nèi)容。直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。2.如果一個三角形的兩條邊的平方和等于第三步的平方，那么這個三角形是直角三角形嗎？是。作Rt三角形A′B′C′，使得B′C′=a，A′C′=b∵∠A′C′B′=90°∴A′B′2=a2+b2∵AB2=a2+b2∴A′B′2=AB2在▲ABC和▲A′B′C′中∴▲ABC≌▲A′B′C′（SSS∴∠C=∠C∴▲ABC是直角三角形因此，如果三角形的三邊長分別為a、b、c，且a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形，這個稱為勾股定理的逆定理。根據(jù)三邊長度，判斷下面的三角形形狀。（1）3，4，3；

銳角三角形（2）3，4，5；直角三角形（3）3，4，6；

鈍角三角形（4）5，12，13．直角三角形銳角三角形：a2+b2＞c2直角三角形：a2+b2=c2鈍角三角形：a2+b2＜c2滿足a2+b2=c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù).4.根據(jù)勾股定理填寫表格。a36912…3nb481216…4nc5101520…5n所以在求勾股定理的時候，還可以用比例解。5.若△ABC的兩邊長為3和4，則能使△ABC為直角三角形的第三邊的平方是（C）A，5；B．7；C．5或7；D．8．一株荷葉高出水面米，一陣風(fēng)吹來，荷葉被吹得貼著水面，這時它偏離原來的位置有米遠(yuǎn)，如圖所示，求荷葉的高度和水面的深度．方法：解設(shè)x勾股定理。教材習(xí)題01（1）請你再寫出兩組勾股數(shù)：，；教材習(xí)題02教材習(xí)題03《九章算術(shù)》中記“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺．問：折者高幾何？”譯文：一根竹子，原高一丈，蟲傷有病，一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好著地，著地處離原竹子根部4尺遠(yuǎn)．問：竹子折斷處離地面有幾尺？（1丈尺）教材習(xí)題04(1)水泵站應(yīng)修建在何處，可使所用水管最短，請在圖中設(shè)計出水泵站P的位置；(2)若鋪設(shè)水管的費用為每千米4000元，為了使鋪設(shè)水管費用最節(jié)省，請求出最節(jié)省鋪設(shè)水管的費用為多少元？教材習(xí)題05考點一、勾股數(shù)1．下列幾組數(shù)是勾股數(shù)的是（

）A．1，2，3 B．5，12，13 C．0.3，0.4，0.5 D．1，，2．勾股數(shù)，①3，4，5；②5，，；③7，，；④9，，；…根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，請你寫出有以上規(guī)律的第⑤組勾股數(shù)：．∴數(shù)據(jù)3，4，5是勾股數(shù)．對于此規(guī)律，興趣小組的成員進行了如下證明：(1)請補全橫線上所缺的內(nèi)容．考點二、構(gòu)成直角三角形2．已知三角形三邊長分別為1，3，，則這個三角形的面積為．3．閱讀下列內(nèi)容：(1)若一個三角形的三邊長分別是，，，則該三角形是________三角形（填“銳角”、“直角”或“鈍角”）；(2)若一個三角形的三邊長分別是，，，且這個三角形是直角三角形，則的值為________．考點三、計算三角形、四邊形的面積考點四、勾股定理的應(yīng)用——梯子滑落問題考點五、勾股定理的應(yīng)用——旗桿高度問題1．如圖，學(xué)校需要測量升旗桿的高度．同學(xué)們發(fā)現(xiàn)系在旗桿頂端的繩子垂到了地面，并多出了一段，但這條繩子的長度未知．經(jīng)測量，繩子多出的部分長度為，將繩子沿地面拉直，繩子底端距離旗桿底端，則旗桿的高度為（）A． B． C． D．2．如圖，一根垂直于地面的旗桿在離地面處撕裂折斷，旗桿頂部落在離旗桿底部處，旗桿折斷之前的高度是．3．八年級11班松松同學(xué)學(xué)習(xí)了“勾股定理”之后，為了測量如圖的風(fēng)箏的高度，測得如下數(shù)據(jù)：②根據(jù)手中剩余線的長度計算出風(fēng)箏線的長為17米；③牽線放風(fēng)箏的松松身高1.6米．(1)求風(fēng)箏的高度．(2)若松松同學(xué)想風(fēng)箏沿方向下降9米，則他應(yīng)該往回收線多少米？考點六、勾股定理的應(yīng)用——方向問題2．如圖，已知一貨輪以30海里/時的速度從港口A出發(fā)向東北方向航行，另一集裝箱船以40海里/時的速度同時從港口A出發(fā)向東南方向航行，離開港口2小時后，則兩船相距海里．3．釣魚島及其附屬島嶼是中國的固有領(lǐng)土，我國對釣魚島的巡航已經(jīng)常態(tài)化．如圖，甲、乙兩艘海警船同時從位于南北方向的海岸線上某港口出發(fā)，各自沿一固定方向?qū)︶烎~島巡航，若甲船每小時航行6海里，乙船每小時航行8海里．(1)若甲乙兩船離開港口一小時后分別位于、處（圖1），且相距10海里，如果知道甲船沿北偏東方向航行，你知道乙船沿哪個方向航行嗎？請說明理由．考點七、勾股定理的應(yīng)用——《九章算術(shù)》問題1．《九章算術(shù)》中有這樣一個問題（如圖）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何？意思是：一根竹子原高一丈（1丈尺），中部一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，問折斷處離地面幾尺？設(shè)折斷處離地面的高度為尺，則可列方程為（

）3．我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有這樣一個問題：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，適與岸齊．問水深、葭長各幾何．（1丈=10尺），大意是：有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺．如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂端恰好到達池邊的水面，水的深度與這根蘆葦?shù)拈L度分別是多少？

(2)求水池中水的深度．考點八、勾股定理的逆定理求解(1)求的長；請根據(jù)以上定義解決下列問題：考點九、最短問題1．綜合與實踐【主題】自制環(huán)保筆筒【實踐操作】步驟1：在包裝紙上用剪刀裁剪出一張剛好能與紙筒卷外表面緊密貼合的紙；步驟2：用固體膠把包裝紙緊密地貼在紙筒卷外表面；步驟3：用固體膠把裝飾用的繩子粘在紙筒外面；步驟4：用固體膠把小正方形紙板粘在紙筒卷的底部，得到一個形如2圖所示的環(huán)保筆筒．【實踐探索】(1)求出步驟1中裁剪出的包裝紙的面積；（結(jié)果保留）(2)如3圖，如果想要繩子纏繞筆筒圈，正好從點繞到正上方的點，求所需繩子的最短長度．（結(jié)果保留和根號）2．唐代詩人李欣《古從軍行》里有這樣一句詩“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”．由此引申出一系列有趣的數(shù)學(xué)問題，后來人們通常稱之為“將軍飲馬”問題．【經(jīng)典再現(xiàn)】如圖，詩中將軍在觀望烽火之后從山腳下的點出發(fā)，走到河旁邊的點飲馬后再到點宿營．請問怎樣走才能使總的路程最短？【數(shù)學(xué)思考】學(xué)習(xí)了三角形之后，我們發(fā)現(xiàn)有很多問題都可用類似的方法去思考解決．3．【模型建立】“數(shù)形結(jié)合”和“建模思想”是數(shù)學(xué)中的兩個很重要的思想方法，先閱讀以下材料，然后解答后面的問題．【模型應(yīng)用】【模型拓展】知識導(dǎo)圖記憶1．下列幾組數(shù)中，能構(gòu)成直角三角形三邊的是（

）A．，， B．，， C．，， D．，，2．下列各組數(shù)為勾股數(shù)的是（

）A．7，12，13 B．3，3，4 C．，， D．9，12，15A．4 B．5 C． D．A．1 B． C． D．6．如圖，分別以直角三角形三邊為邊長，向外作三個正方形，數(shù)字代表所在正方形的面積，則代表的正方形的面積是．7．如圖，一棵高為9的大樹被折斷后，大樹頂端恰好落在離底端3處，則折斷處離地面的高度是．8．A、B、C三地兩兩之間的距離如圖所示，B地在A地的正西方向，則C地在B地的方向．11．如圖，每個小正方形的邊長均為1，A，B，C，D均為格點．12．“兒童散學(xué)歸來早，忙趁東風(fēng)放紙鳶”，又到了放風(fēng)箏的最佳時節(jié)