專題01絕對(duì)值中的八類最值模型（幾何模型講義）數(shù)學(xué)華東師大版2024七年級(jí)上冊(cè)（原卷版）

專題01絕對(duì)值中的八類最值模型最值問題一直都是初中數(shù)學(xué)的最難點(diǎn)之一，但也是高分的必須突破點(diǎn)，而絕對(duì)值中的最值模型是初中學(xué)生第一次接觸最值類問題，該類最值模型主要依據(jù)絕對(duì)值的幾何意義或代數(shù)意義，考查分類討論和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。需要牢記絕對(duì)值中的最值情況規(guī)律，解題時(shí)能達(dá)到事半功倍的效果。本專題就絕對(duì)值中的八類最值模型進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便大家掌握。TOC\o"14"\h\z\u 1模型來源 1真題現(xiàn)模型 2提煉模型 2模型拓展 4模型運(yùn)用 4模型4.系數(shù)不為“1”的絕對(duì)值（和、差類）最值模型 12模型6.絕對(duì)值最值模型的實(shí)際應(yīng)用 14模型7.絕對(duì)值相關(guān)運(yùn)算與最值問題 19模型8.絕對(duì)值最值中的新定義問題 21 24絕對(duì)值最值問題的歷史發(fā)展脈絡(luò)源于幾何直觀與代數(shù)研究的結(jié)合，其核心理論隨數(shù)學(xué)分析的發(fā)展逐步完善。絕對(duì)值的概念源于物理學(xué)中的距離概念，表示一個(gè)數(shù)到原點(diǎn)的距離。在數(shù)學(xué)中，絕對(duì)值用于表示一個(gè)數(shù)到數(shù)軸原點(diǎn)的距離，因此絕對(duì)值總是非負(fù)的。這一性質(zhì)使得絕對(duì)值在數(shù)學(xué)分析中有著廣泛的應(yīng)用，特別是在處理不等式和最值問題時(shí)顯得尤為重要。在解決含絕對(duì)值的代數(shù)式最值問題時(shí)，可以利用絕對(duì)值的幾何意義或零點(diǎn)分段法，整體來說絕對(duì)值的幾何意義較為簡(jiǎn)單適用。我們先看表示的點(diǎn)可能的3種情況，如圖所示：如圖①，在1的左邊，從圖中很明顯可以看出到1和2的距離之和大于1．如圖②，在1，2之間（包括在1，2上），可以看出到1和2的距離之和等于1．②絕對(duì)值的幾何意義：表示數(shù)軸上的有理數(shù)a所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離；另解：也可用絕對(duì)值的代數(shù)意義（即分類討論思想）完成絕對(duì)值的最值問題。規(guī)律可總結(jié)為：“奇中點(diǎn)，偶中段”。5.系數(shù)不為“1”的絕對(duì)值（和、差類）最值模型①絕對(duì)值系數(shù)不為“1”：如：｜x1｜+2｜x2｜+3｜x3｜+4｜x4｜+5｜x5｜解題步驟：第1步：將x平鋪展開；第2步：找到每個(gè)式子的零點(diǎn)，分別為：1、2、2、3、3、3、4、4、4、4、5、5、5、5、5、5共15個(gè)零點(diǎn)；第3步：根據(jù)“奇中點(diǎn)，偶中段”，在第八個(gè)數(shù)時(shí)，即x=4時(shí)，有最小值，帶入x=4，最小值為15。②x系數(shù)不為“1”：如：求｜2x4｜+｜5x+5｜的最小值。解題步驟：第1步：x的系數(shù)不為1，所以首先?第一步?想辦法把x的系數(shù)化為1，采用提取公因數(shù)的方法（或乘法分配律的逆用）；即：｜2x4｜+｜5x+5｜=｜2（x2）｜+｜5（x+1）｜=2｜x2｜+5｜x+1｜。第2步：進(jìn)入①中的三個(gè)步驟即可。這時(shí)，x的系數(shù)已經(jīng)變成了1，我們就可以展開?，然后?利用“奇中點(diǎn)?，偶中段”來求了?。解?得?當(dāng)x=1時(shí)?取得?最小值，最小值?為?6。另解：上述兩類問題也可以采用絕對(duì)值的代數(shù)意義（根據(jù)零點(diǎn)分區(qū)討論）求解。A．1 B． C．5 D．A．①② B．①②④ C．①④ D．①②③④A．或5 B．或9 C．或9 D．5或9例3（2024·廣西·七年級(jí)專題練習(xí)）我們知道，的幾何意義是數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，一般地，點(diǎn)A，B在數(shù)軸上分別表示數(shù)a，b，那么A，B之間的距離可表示為|ab|，請(qǐng)根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義并結(jié)合數(shù)軸解答下列問題：（1）數(shù)軸上的數(shù)x與1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離為____，數(shù)x與1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離為____；例4（2425七年級(jí)上·江西·階段練習(xí)）課本再現(xiàn)繼續(xù)探究：結(jié)合數(shù)軸與絕對(duì)值的知識(shí)回答下列問題：模型4.系數(shù)不為“1”的絕對(duì)值（和、差類）最值模型A． B． C． D．例2（2024七年級(jí)·江蘇·培優(yōu)）先閱讀下面的材料，然后解答問題：模型6.絕對(duì)值最值模型的實(shí)際應(yīng)用(1)利用此結(jié)論，回答以下問題：①數(shù)軸上表示2和5的兩點(diǎn)之間的距離是，數(shù)軸上表示1和的兩點(diǎn)之間的距離是．理解：（）數(shù)軸上表示數(shù)和的兩點(diǎn)之間的距離是_______；（用含的式子表示）【初步應(yīng)用】（1）數(shù)軸上表示4的點(diǎn)與表示有理數(shù)的點(diǎn)之間的距離為_____________；模型7.絕對(duì)值相關(guān)運(yùn)算與最值問題例1（2425七年級(jí)上·廣東汕頭·期中）結(jié)合數(shù)軸與絕對(duì)值的知識(shí)回答下列問題：模型8.絕對(duì)值最值中的新定義問題(1)和3關(guān)于1的“相對(duì)關(guān)系值”為________；(2)若和2關(guān)于1的“相對(duì)關(guān)系值”為，求的值；①存在對(duì)兩種不同的“閃減操作”后的式子作差，結(jié)果不含與e相關(guān)的項(xiàng)；②若每種操作只閃退一項(xiàng)，則對(duì)三種不同“閃減操作”的結(jié)果進(jìn)行去絕對(duì)值，共有8種不同的結(jié)果；③若可以閃退的三項(xiàng)，，滿足：其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3A．有最小值2 B．有最大值2 C．有最小值3 D．有最大值34．（2425七年級(jí)上·河南鄭州·階段練習(xí)）若、有理數(shù)，下列判斷：A．1 B．2 C．3 D．46．（2425·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）代數(shù)式|x－1|－|x+6|－5的最大值是_______．10．（2425·陜西西安·七年級(jí)?？计谥校┙Y(jié)合數(shù)軸與絕對(duì)值的知識(shí)回答下列問題：（1）數(shù)軸上表示和的兩點(diǎn)之間的距離是__________；表示和兩點(diǎn)之間的距離是__________；根據(jù)以上材料，解答下列問題：(1)求數(shù)列﹣2，7，1的價(jià)值；(2)由“﹣2，7，1”這三個(gè)數(shù)按照不同的順序排列共有多少種不同的數(shù)列，寫出這些數(shù)列，并求出它們的價(jià)值的最小值和最大值；(3)將2，﹣7，a（a＞1）這三個(gè)數(shù)按照不同的順序排列，可得到若干個(gè)數(shù)列．若這些數(shù)列的價(jià)值的最小值為1，請(qǐng)直接寫出a的值．(1)已知點(diǎn)P為數(shù)軸上任一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)記為m，若點(diǎn)P與表示有理數(shù)－2的點(diǎn)的距離是3個(gè)單位長(zhǎng)度，則m的值為______；(1)數(shù)軸上表示4和1的兩點(diǎn)之間的距離為______；16．（2425七年級(jí)上·四川成都·階段練習(xí)）小紅和小明在研究絕對(duì)值的問題時(shí)，碰到了下面的問題：請(qǐng)你根據(jù)他們的解題解決下面的問題：

(1)數(shù)軸上表示與的兩點(diǎn)之間的距離可以表示為．(1)請(qǐng)直接寫出a，b的值：，；(3)如果在數(shù)軸連續(xù)的整數(shù)點(diǎn)上依次有n個(gè)機(jī)器人，且相鄰兩個(gè)機(jī)器人之間的距離都是1個(gè)單位，同時(shí)數(shù)軸上有一個(gè)快遞包裹分發(fā)點(diǎn)智能機(jī)器人，它能根據(jù)機(jī)器人的數(shù)量自動(dòng)決策出快遞包裹分發(fā)點(diǎn)的位置，使得每個(gè)機(jī)器人去取快遞包裹的距離之和最小，請(qǐng)直接用含n的代數(shù)式表示這個(gè)最小值．問題探究：參考閱讀材料，解答下列問題．(1)數(shù)軸上表示2和5的兩點(diǎn)之間的距離是______；20．（2425七年級(jí)上·