期末復(fù)習(xí)專題01等差數(shù)列和等比數(shù)列-1

期末復(fù)習(xí)專題01等差數(shù)列和等比數(shù)列內(nèi)容導(dǎo)圖內(nèi)容導(dǎo)圖預(yù)覽考點清單總結(jié)考點清單總結(jié)考點清單1等差數(shù)列的概念及通項公式一、等差數(shù)列的概念一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示.二、等差中項由三個數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列可以看成是最簡單的等差數(shù)列.這時，A叫做a與b的等差中項，且2A=a+b.三、等差數(shù)列的通項公式1.首項為a1，公差為d的等差數(shù)列｛an｝的通項公式為an=a1+（n1）d.2.若數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列，首項為a1，公差為d，則an=f（n）=a1+（n1）d=nd+（a1d）.（1）點（n，an）落在直線y=dx+（a1d）上，這條直線的斜率為d，在y軸上的截距為a1d；

（2）這些點的橫坐標(biāo)每增加1，函數(shù)值增加d.四、等差數(shù)列的判定與證明證明或判定等差數(shù)列的方法（1）定義法：an+1an=d（n∈N*）.（2）等差中項法：2an=an1+an+1（n≥2）.（3）通項公式法：an=a1+（n1）d=pn+q（p，q為常數(shù)）.考點清單2等差數(shù)列的性質(zhì)1.設(shè)等差數(shù)列｛an｝的首項為a1，公差為d，則（1）an=dn+（a1d）（n∈N*）；（2）an=am+（nm）d（m，n∈N*）；（3）d=an?amn?m（m，n2.下標(biāo)性質(zhì)：在等差數(shù)列｛an｝中，若m+n=p+q（m，n，p，q∈N*），則am+an=ap+aq.特別地，若m+n=2p（m，n，p∈N*），則有am+an=2ap.若｛an｝，｛bn｝分別是公差為d，d'的等差數(shù)列，則有數(shù)列結(jié)論｛c+an｝公差為d的等差數(shù)列（c為任一常數(shù)）｛c·an｝公差為cd的等差數(shù)列（c為任一常數(shù)）｛an+an+k｝公差為2d的等差數(shù)列（k為常數(shù)，k∈N*）｛pan+qbn｝公差為pd+qd'的等差數(shù)列（p，q為常數(shù)）考點清單3等差數(shù)列的前n項和公式一、等差數(shù)列的前n項和有關(guān)計算等差數(shù)列的前n項和公式已知量首項、末項與項數(shù)首項、公差與項數(shù)求和公式Sn=nSn=na1+n（二、等差數(shù)列中前n項和的最值問題等差數(shù)列前n項和的最值（1）在等差數(shù)列｛an｝中，當(dāng)a1>0，d<0時，Sn有最大值，使Sn取得最值的n可由不等式組an當(dāng)a1<0，d>0時，Sn有最小值，使Sn取得最值的n可由不等式組an（2）Sn=d2n2+a1?d2n，若d≠0，則從二次函數(shù)的角度看：當(dāng)d>0時，Sn有最小值；當(dāng)d<0時，Sn有最大值.當(dāng)三、求數(shù)列｛|an|｝的前n項和由等差數(shù)列｛an｝求數(shù)列｛|an|｝的前n項和的技巧常先由Sn的最值判斷出哪些項為正，哪些項為負或先求出an，解得an≥0時n的取值范圍，判斷出哪些項為正，哪些項為負.（1）等差數(shù)列｛an｝的各項都為非負數(shù)，這種情形中數(shù)列｛|an|｝就等于數(shù)列｛an｝，可以直接求解.（2）若前k項為負，從k+1項開始以后的項非負，則｛|an|｝的前n項和Tn=?（3）若前k項為正，從k+1項開始以后的項非正，則Tn=S（4）分別求出an≥0與an<0時的和，再相減求出|an|的前n項和.四、等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)及應(yīng)用1.設(shè)等差數(shù)列｛an｝的公差為d，Sn為其前n項和，則Sm，S2mSm，S3mS2m，…仍構(gòu)成等差數(shù)列，且公差為m2d.2.若數(shù)列｛an｝是公差為d的等差數(shù)列，則數(shù)列Snn也是等差數(shù)列，且公差為3.在等差數(shù)列中，若Sn=m，Sm=n，則Sm+n=（m+n）.4.已知等差數(shù)列｛an｝和｛bn｝的前n項和分別為Sn，Tn，則anbn=S2n?1T五、等差數(shù)列的奇（偶）項和問題等差數(shù)列的奇（偶）項和的性質(zhì)（1）設(shè)等差數(shù)列｛an｝的項數(shù)為2n（n∈N*），則有：①S2n=n（an+an+1）；②S偶S奇=nd，S偶S奇=an+1an（an≠0，且S奇（2）設(shè)等差數(shù)列｛an｝的項數(shù)為2n1（n≥2，且n∈N*），則S2n1=（2n1）an（an是數(shù)列的中間項），S奇S偶=an，S奇S偶考點清單4等比數(shù)列的概念及通項公式一、等比數(shù)列的有關(guān)概念等比數(shù)列的概念一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示（顯然q≠0）.二、等比中項等比中項：如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項，此時，G2=ab.三、等比數(shù)列的通項公式1.首項為a1，公比為q的等比數(shù)列｛an｝的通項公式為an=a1qn1.2.等比數(shù)列的通項公式與指數(shù)型函數(shù)的關(guān)系（1）當(dāng)q>0且q≠1時，等比數(shù)列｛an｝的第n項an是函數(shù)f（x）=a1q·qx（x∈R）當(dāng)x=n時的函數(shù)值，即an=f（（2）任給函數(shù)f（x）=kax（k，a為常數(shù)，k≠0，a>0，且a≠1），則f（1）=ka，f（2）=ka2，…，f（n）=kan，…構(gòu)成一個等比數(shù)列｛kan｝，其首項為ka，公比為a.注意點：（1）當(dāng)a1>0，q>1時，數(shù)列｛an｝為正項的遞增等比數(shù)列.（2）當(dāng)a1>0，0<q<1時，數(shù)列｛an｝為正項的遞減等比數(shù)列.（3）當(dāng)a1<0，q>1時，數(shù)列｛an｝為負項的遞減等比數(shù)列.（4）當(dāng)a1<0，0<q<1時，數(shù)列｛an｝為負項的遞增等比數(shù)列.（5）當(dāng)q=1時，數(shù)列｛an｝為常數(shù)列.（6）當(dāng)q<0時，數(shù)列｛an｝為擺動數(shù)列；奇數(shù)項符號相同，偶數(shù)項符號相同.四、等比數(shù)列的判定與證明判定與證明等比數(shù)列的方法（1）定義法：anan?1=q（n∈N*且（2）等比中項法：an2=an1an+1（n∈N*且n≥2，a（3）通項公式法：an=a1qn1=a1q·qn=A·qn（考點清單5等比數(shù)列的性質(zhì)一、等比數(shù)列的性質(zhì)1.等比數(shù)列通項公式的推廣和變形an=amqnm.2.設(shè)數(shù)列｛an｝為等比數(shù)列，則：（1）若k+l=m+n（k，l，m，n∈N*），則ak·al=am·an.（2）若m，p，n成等差數(shù)列，則am，ap，an成等比數(shù)列.注意點：（1）性質(zhì)的推廣：若m+n+p=x+y+z，有amanap=axayaz.（2）該性質(zhì)要求下標(biāo)的和相等，且左右兩側(cè)項數(shù)相同.（3）在有窮等比數(shù)列中，與首末兩項等距離的兩項之積都相等，即a1·an=a2·an1=….二、由等比數(shù)列構(gòu)造新等比數(shù)列等比數(shù)列的常用結(jié)論（1）若｛an｝是公比為q的等比數(shù)列，則①｛can｝（c為任一不為零的常數(shù)）是公比為q的等比數(shù)列；②｛|an|｝是公比為|q|的等比數(shù)列；③｛anm｝（m為常數(shù)，m∈N*）是公比為q（2）若｛an｝，｛bn｝分別是公比為q1，q2的等比數(shù)列，則數(shù)列｛an·bn｝是公比為q1·q2的等比數(shù)列.（3）等比數(shù)列的“子數(shù)列”的性質(zhì)若數(shù)列｛an｝是公比為q的等比數(shù)列，則①｛an｝去掉前幾項后余下的項仍組成公比為q的等比數(shù)列；②奇數(shù)項數(shù)列｛a2n1｝是公比為q2的等比數(shù)列，偶數(shù)項數(shù)列｛a2n｝是公比為q2的等比數(shù)列；③若｛kn｝是等差數(shù)列且公差為d，則｛akn｝是公比為q考點清單6等比數(shù)列前n項和公式一、等比數(shù)列前n項和的計算已知量首項、公比與項數(shù)首項、公比與末項求和公式公式一：Sn=a公式二：Sn=a二、利用等比數(shù)列前n項和公式判斷等比數(shù)列1.當(dāng)公比q≠1時，設(shè)A=a1q?1，等比數(shù)列的前n項和公式是Sn=AqnA.即Sn2.當(dāng)公比q=1時，因為a1≠0，所以Sn=na1，Sn是n的正比例函數(shù).注意點：公比不為1的等比數(shù)列前n項和公式的結(jié)構(gòu)特點：qn的系數(shù)與常數(shù)項互為相反數(shù).三、等比數(shù)列前n項和公式的性質(zhì)1.數(shù)列｛an｝為公比不為1的等比數(shù)列（或公比為1，且n不是偶數(shù)），Sn為其前n項和，則Sn，S2nSn，S3nS2n仍構(gòu)成等比數(shù)列.2.若｛an｝是公比為q的等比數(shù)列，S偶，S奇分別是數(shù)列的偶數(shù)項和與奇數(shù)項和，則：（1）在其前2n項中，S偶S奇（2）在其前2n+1項中，S奇S偶=a1a2+a3a4+…a2n+a2n+1=a1+a2n+1q1?（?q）=a1+a3.若｛an｝是公比為q的等比數(shù)列，則Sn+m=Sn+qnSm（n，m∈N*）.注意點：等比數(shù)列片段和性質(zhì)的成立是有條件的，即Sn≠0.考點題型·鞏新知考點題型·鞏新知考點一等差數(shù)列的判斷1．若數(shù)列是等差數(shù)列，則下列數(shù)列不一定是等差數(shù)列的是（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．已知數(shù)列、都是正項等比數(shù)列，則（

）考點二等差數(shù)列的證明(2)證明是等差數(shù)列.(2)求數(shù)列的通項公式．(2)求數(shù)列的通項公式.(1)計算數(shù)列的前4項；(3)求的通項公式.(2)求的通項公式考點三等差數(shù)列基本量的計算A． B． C． D．A．2 B．1 C．2 D．3A． B． C． D．1考點四等差數(shù)列角標(biāo)和性質(zhì)A．1 B．2 C．3 D．4A．4 B．3 C．2 D．1A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能確定考點五Sn的片段和性質(zhì)A．17 B．19 C．21 D．23A．36 B．48 C．60 D．120A．1 B．2 C．3 D．6考點六Sn/n的等差性質(zhì)A．﹣4040 B．﹣2024 C．2024 D．4040A．10 B．100 C．110 D．120A． B． C． D．考點七兩等差數(shù)列前n項和比的性質(zhì)A． B． C． D．A． B． C． D．考點八Sn的二次函數(shù)性質(zhì)A．14 B．13 C．11 D．7考點九Sn的奇偶數(shù)項和的性質(zhì)41．已知一個等差數(shù)列的項數(shù)為奇數(shù)，其中所有奇數(shù)項的和為290，所有偶數(shù)項的和為261.則此數(shù)列的項數(shù)為（

）A．15 B．17 C．19 D．21A．60 B．70 C．75 D．85考點十｜an｜的前n項和A．80 B．208 C．680 D．780(1)求數(shù)列的通項公式(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和(1)求數(shù)列的通項公式；考點十一等差數(shù)列的應(yīng)用48．《九章算術(shù)》是中國古代的數(shù)學(xué)名著，書中有“分錢問題”：現(xiàn)有5個人分5錢，5人分得錢數(shù)依次成等差數(shù)列，前兩人分得錢數(shù)之和等于后三人分得錢數(shù)之和，則分得錢數(shù)最少的一人錢數(shù)為（

）A． B． C． D．49．《九章算術(shù)》是我國秦漢時期一部杰出的數(shù)學(xué)著作，書中有如下問題：“今有大夫、不更、簪裊、上造、公士，凡五人，共出百錢，欲令高爵出少，以次漸多，問各幾何？”意思是：“有大夫、不更、簪裊、上造、公士（爵位依次降低）5個人共出100錢，按照爵位從高到低每人所出錢數(shù)成遞增的等差數(shù)列，這5個人各出多少錢？”在這個問題中，若上造出27錢，則公士出錢數(shù)為（）A．31錢 B．32錢 C．33錢 D．34錢A．9 B．10 C．11 D．1251．《張邱健算經(jīng)》是公元5世紀(jì)中國古代內(nèi)容豐富的數(shù)學(xué)著作，書中記載著這樣一個問題：“有個女子善織布，每天比前一天多織相同的布，第一天織5尺，一個月（按30天計）共織了440尺，推算第10天該女子織了尺布.”52．元代數(shù)學(xué)家朱世杰編著的《算法啟蒙》中記載了有關(guān)數(shù)列的計算問題：“今有竹七節(jié)，下兩節(jié)容米四升，上兩節(jié)容米二升，各節(jié)欲均容，問逐節(jié)各容幾升？”其大意為：現(xiàn)有一根七節(jié)的竹子，最下面兩節(jié)可裝米四升，最上面兩節(jié)可裝米二升，如果竹子裝米量逐節(jié)等量減少，問竹子各節(jié)各裝米多少升？以此計算，這根竹子的裝米量為（

）A．升 B．升 C．升 D．升考點十二等差數(shù)列的綜合題(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和．(2)求數(shù)列的通項公式；(1)求的通項公式；（2）若為數(shù)列中的最小項，求的取值范圍．

考點十三等比數(shù)列的判斷A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件A．為等差數(shù)列 B．為等比數(shù)列C．為等差數(shù)列 D．為等比數(shù)列

考點十四等比數(shù)列的證明(2)求的通項公式.(2)求數(shù)列的通項公式.(1)求實數(shù)的值；考點十五等比數(shù)列基本量的計算A． B． C．3 D．13A．5 B．10 C．15 D．20A．5 B．3 C． D．A． B． C．14 D．15考點十六等比數(shù)列角標(biāo)和性質(zhì)A． B． C． D．3A．1 B． C．2 D．3A．10 B．11 C．12 D．22A．3 B．±3 C．9 D．±9考點十七Sn的性質(zhì)應(yīng)用A．2 B．4 C．6 D．8A．12 B．14 C．16 D．18A．2 B．3 C．4 D．5A． B． C．3 D．12A． B． C．0 D．2考點十八等比數(shù)列的簡單應(yīng)用84．洛陽龍門石窟是世界上規(guī)模最大的石刻藝術(shù)寶庫，被聯(lián)合國教科文組織評為“中國石刻藝術(shù)的最高峰”.現(xiàn)有一石窟的某處共有378個“浮雕像”，分為6層，對每一層來說，上一層的數(shù)量是該層的2倍，則從下往上數(shù)，第4層“浮雕像”的數(shù)量為（

）A．16 B．32 C．48 D．6485．某農(nóng)村合作社引進先進技術(shù)提升某農(nóng)產(chǎn)品的深加工技術(shù)，以此達到10年內(nèi)每年此農(nóng)產(chǎn)品的銷售額（單位：萬元）等于上一年的1.3倍再減去3.已知第一年（2024年）該公司該產(chǎn)品的銷售額為100萬元，則按照計劃該公司從2024年到2033年該產(chǎn)品的銷售總額約為（

）A．964萬元 B．2980萬元 C．3940萬元 D．5170萬元86．《九章算術(shù)》中有問題：“今有蒲生一日，長三尺，莞生一日，長一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.”意思是說今有蒲第一天長高三尺，莞第一天長高一尺，以后蒲每天長高為前一天的一半，莞每天長高為前一天的兩倍，要使莞的長度大于蒲的長度（蒲與莞原先的長度忽略不計），需要經(jīng)過的時間最少為（

）A．3天 B．4天 C．5天 D．6天87．我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點