第7講函數(shù)的性質（學生版）

第7講函數(shù)的性質知識梳理知識點1函數(shù)的單調(diào)性1、單調(diào)函數(shù)的定義單調(diào)性的圖形趨勢（從左往右）上升趨勢下降趨勢2、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．【注意】（1）函數(shù)單調(diào)性關注的是整個區(qū)間上的性質，單獨一點不存在單調(diào)性問題，故單調(diào)區(qū)間的端點若屬于定義域，則區(qū)間可開可閉，若區(qū)間端點不屬于定義域則只能開．（2）單調(diào)區(qū)間D?定義域I.（3）遵循最簡原則，單調(diào)區(qū)間應盡可能大；（4）單調(diào)區(qū)間之間可用“，”分開，不能用“∪”，可以用“和”來表示；3、函數(shù)單調(diào)性的性質簡記為：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘.（7）復合函數(shù)的單調(diào)性：對于復合函數(shù)y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在區(qū)間(a，b)上是單調(diào)函數(shù)，且y＝f(t)在區(qū)間(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上是單調(diào)函數(shù)若t＝g(x)與y＝f(t)的單調(diào)性相同，則y＝f[g(x)]為增函數(shù)若t＝g(x)與y＝f(t)的單調(diào)性相反，則y＝f[g(x)]為減函數(shù)．簡稱“同增異減”．知識點2函數(shù)的奇偶性1、函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點偶函數(shù)關于y軸對稱奇函數(shù)關于原點對稱2、函數(shù)奇偶性的幾個重要結論（4）奇函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性．（5）偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上有相同的最大(小)值，取最值時的自變量互為相反數(shù)；奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上的最值互為相反數(shù)，取最值時的自變量也互為相反數(shù)．知識點3函數(shù)的周期性1、周期函數(shù)的定義知識點4函數(shù)的對稱性1、關于線對稱2、關于點對稱【解題方法總結】1、單調(diào)性技巧（1）證明函數(shù)單調(diào)性的步驟②變形：作差變形(變形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商變形；③定號：判斷差的正負或商與的大小關系；④得出結論．（2）函數(shù)單調(diào)性的判斷方法①定義法：根據(jù)增函數(shù)、減函數(shù)的定義，按照“取值—變形—判斷符號—下結論”進行判斷．②圖象法：就是畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象的上升或下降趨勢，判斷函數(shù)的單調(diào)性．③直接法：就是對我們所熟悉的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，直接寫出它們的單調(diào)區(qū)間．（3）記住幾條常用的結論：2、奇偶性技巧(1)函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關于原點對稱.(2)奇偶函數(shù)的圖象特征.函數(shù)是偶函數(shù)函數(shù)的圖象關于軸對稱；函數(shù)是奇函數(shù)函數(shù)的圖象關于原點中心對稱.(4)偶函數(shù)在其定義域內(nèi)關于原點對稱的兩個區(qū)間上單調(diào)性相反；奇函數(shù)在其定義域內(nèi)關于原點對稱的兩個區(qū)間上單調(diào)性相同.對于運算函數(shù)有如下結論：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶.(8)常見奇偶性函數(shù)模型④常數(shù)函數(shù)3、函數(shù)的的對稱性與周期性的關系4、對稱性技巧5、周期性技巧題型歸納【題型一】函數(shù)的單調(diào)性及其應用A． B． C．0 D．1

【題型二】復合函數(shù)單調(diào)性的判斷增增增增減減減增減減減增復合函數(shù)單調(diào)性可簡記為“同增異減”，即內(nèi)外函數(shù)的單性相同時遞增；單性相異時遞減．A． B． C． D．【題型三】利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值方法技巧：利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值時應先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再求最值．常用到下面的結論：A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件A．有最大值2，無最小值 B．無最大值，有最小值0C．無最大值，無最小值 D．無最大值，有最小值1【題型四】利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍方法技巧：若已知函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍問題，可利用函數(shù)單調(diào)性，先列出關于參數(shù)的不等式，利用下面的結論求解．【題型五】 基本初等函數(shù)的單調(diào)性方法技巧：1、比較函數(shù)值大小，應將自變量轉化到同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用函數(shù)單調(diào)性解決.2、求復合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟為：①求函數(shù)定義域；②求簡單函數(shù)單調(diào)區(qū)間；③求復合函數(shù)單調(diào)區(qū)間(同增異減).3、利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)時，通常要把參數(shù)視為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)圖像或單調(diào)性定義，確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較，利用區(qū)間端點間關系求參數(shù).同時注意函數(shù)定義域的限制，遇到分段函數(shù)注意分點左右端點函數(shù)值的大小關系.A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【題型六】 函數(shù)的奇偶性的判斷與證明方法技巧：函數(shù)單調(diào)性與奇偶性結合時，注意函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的定義，以及奇偶函數(shù)圖像的對稱性．21．（2425高二下·云南保山·期中）為了激發(fā)同學們學習數(shù)學的熱情，某學校開展利用數(shù)學知識設計的比賽，其中某位同學利用函數(shù)圖象的一部分設計了如圖的，那么該同學所選的函數(shù)最有可能是（

）22．（2526高一上·全國·課后作業(yè)）下列函數(shù)為偶函數(shù)的是（

）【題型七】 已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)A．0 B．1 C． D．2A． B． C．4 D．6A．4 B．3 C．2 D．1【題型八】 已知函數(shù)的奇偶性求表達式、求值方法技巧：抓住奇偶性討論函數(shù)在各個分區(qū)間上的解析式，或充分利用奇偶性得出關于的方程，從而可得的解析式A． B．2 C．0 D．【題型九】 函數(shù)的對稱性與周期性A．0 B．2025 C．2024 D．2A．1 B．2 C．3 D．4A． B． C．0 D．1A． B． C． D．【題型十】 函數(shù)性質的綜合方法技巧：（1）奇偶性與單調(diào)性綜合解題，尤其