數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)設(shè)計(jì)

數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)設(shè)計(jì)一．教學(xué)內(nèi)容分析數(shù)學(xué)歸納法作為直接證明的一直特殊方法，主要用于證明與整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題。人教課標(biāo)準(zhǔn)版教科書把數(shù)學(xué)歸納法安排在選修2—2第二章推理與證明中，教學(xué)時(shí)間為2課時(shí)，此教案為數(shù)學(xué)歸納法的第一節(jié)課。在此之前，學(xué)生已通過(guò)數(shù)列一章的內(nèi)容和推理與證明內(nèi)容的學(xué)習(xí)，初步掌握了由有限多個(gè)特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法，即不完全歸納法，知道不完全歸納法是研究數(shù)學(xué)問(wèn)題猜想或者發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的重要手段。但是由有限個(gè)實(shí)例得出結(jié)論的推理只是合情推理，而合情推理得出的結(jié)論未必正確。因此為了彌補(bǔ)這一不足，我們必須學(xué)習(xí)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)論證方法——數(shù)學(xué)歸納法！它是促進(jìn)學(xué)生從有限思思維發(fā)展到無(wú)限思維的一個(gè)重要載體，也是培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的推理能力和抽象思維能力的好素材！教學(xué)重點(diǎn) 理解數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)意義，掌握數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟教學(xué)難點(diǎn) 數(shù)學(xué)歸納法證題有效性的理解二、學(xué)情分析學(xué)生通過(guò)推理與證明前兩節(jié)的學(xué)習(xí)，已經(jīng)基本掌握了歸納推理，且已經(jīng)具備了一定的觀察、歸納、猜想能力。通過(guò)教學(xué)方法的改革和素質(zhì)教育的實(shí)施，學(xué)生已基本習(xí)慣了對(duì)已給問(wèn)題的主動(dòng)探究，但主動(dòng)提出問(wèn)題和質(zhì)疑的習(xí)慣仍舊需要進(jìn)一步加強(qiáng)。結(jié)合教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)，本節(jié)主要采用“探究式學(xué)習(xí)法”進(jìn)行教學(xué)。三、教學(xué)目標(biāo)依據(jù)教學(xué)大綱和對(duì)教材內(nèi)容的分析，以及結(jié)合學(xué)生已有的知識(shí)基礎(chǔ)，本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是：知識(shí)與技能目標(biāo)：1了解“歸納法”的含意2．理解“數(shù)學(xué)歸納法”的實(shí)質(zhì)；3．掌握數(shù)學(xué)歸納法證明命題的兩個(gè)步驟，會(huì)用“數(shù)學(xué)歸納法”證明簡(jiǎn)單的恒等式。過(guò)程與方法目標(biāo)：1．經(jīng)歷觀察、思考、分析、抽象、概括出數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟，初步形成歸納、猜想和發(fā)現(xiàn)的能力；2．經(jīng)歷數(shù)學(xué)歸納法解題步驟的獲得和用“數(shù)學(xué)歸納法”證明簡(jiǎn)單恒等式的過(guò)程，初步理解和掌握“歸納——猜想——證明”這一探索發(fā)現(xiàn)的思維方法和利用“反例”否定命題的數(shù)學(xué)方法。情感、態(tài)度與價(jià)值目標(biāo)：1．通過(guò)數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)初步形成嚴(yán)謹(jǐn)務(wù)實(shí)的科學(xué)態(tài)度和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維品質(zhì)與數(shù)學(xué)理性精神；2．認(rèn)識(shí)有限與無(wú)限的辯證關(guān)系；3．感悟數(shù)學(xué)的內(nèi)在美，體會(huì)數(shù)學(xué)的博大精深四、教學(xué)過(guò)程一、創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景師：本節(jié)課我們學(xué)習(xí)《數(shù)學(xué)歸納法》（板書）。在本章第一節(jié)我們學(xué)習(xí)了合情推理與演繹推理，下面請(qǐng)同學(xué)們思考一下，“天下烏鴉一般黑”這一結(jié)論是通過(guò)合情推理還是通過(guò)演繹推理得到的？生：“天下烏鴉一般黑”這一結(jié)論是通過(guò)不完全歸納法得到的，不完全歸納法是合情推理。師：由合情推理得到的結(jié)論是否一定正確？生：教科書上明確指出：由合情推理得出的結(jié)論未必正確。師：回答的很好，不完全歸納法得到的結(jié)論帶有猜想的成分，因此推理所得的結(jié)論不一定正確（順便指出人們已在非洲的坦桑尼亞發(fā)現(xiàn)三種并非全黑的烏鴉，在日本也發(fā)現(xiàn)了一只全身皆白的真正的白烏鴉），但是它具有猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)結(jié)論、探索和提供證明的思路和方向的作用，在數(shù)學(xué)上，我們很多時(shí)候是通過(guò)觀察→歸納→猜想，這種思維過(guò)程去發(fā)現(xiàn)某些結(jié)論的。師：我們先來(lái)探究下面一個(gè)問(wèn)題：數(shù)列{}中；生：寫出數(shù)列{}前幾項(xiàng)，觀察可知{}是周期為6的周期數(shù)列，所以==1。師：很好。本題是觀察數(shù)列{}前幾項(xiàng)，歸納出一般的規(guī)律，再由一般的規(guī)律寫出。我們?cè)賮?lái)探究一個(gè)問(wèn)題：已知數(shù)列{}的通項(xiàng)公式為，學(xué)生分別計(jì)算、、、的值，猜想的值，并計(jì)算的值。生甲：由此可猜想=n。生乙：甲的猜想不正確，因?yàn)?。師：乙的回答是正確的，本題也是觀察數(shù)列{}前幾項(xiàng)，歸納出一般的規(guī)律，再由一般的規(guī)律寫出，但結(jié)論是錯(cuò)誤的?？偨Y(jié)：通過(guò)前面兩個(gè)例子，使我們進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到用不完全歸納法得出的結(jié)論，因?yàn)橹豢疾炝瞬糠智闆r，結(jié)論不一定具有普遍性?，F(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們想一想，在以前給出的數(shù)學(xué)公式中，有沒(méi)有用不完全歸納法得出的？生：有。例如等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)。師：很好。我們是由等差數(shù)列前幾項(xiàng)滿足的規(guī)律：，，，，……歸納出了它的通項(xiàng)公式的。等差數(shù)列的通項(xiàng)公式也是由有限個(gè)特殊事例歸納出來(lái)的，也可能不正確，又因?yàn)檎麛?shù)有無(wú)限多個(gè)，不可能一一驗(yàn)證，那么該如何證明這類有關(guān)正整數(shù)的命題呢？二、設(shè)置問(wèn)題，引導(dǎo)探究師：同學(xué)們小時(shí)侯放過(guò)鞭炮沒(méi)有？生：（沒(méi)）放過(guò)。（課堂氣氛由剛才的沉思變得開(kāi)始活躍）師：無(wú)論放過(guò)還是沒(méi)放過(guò)，相信同學(xué)們對(duì)放鞭炮都很熟悉，下面請(qǐng)思考：點(diǎn)燃一盤鞭炮后，滿足什么條件，一盤鞭炮可以全部響？生：若前一個(gè)響，則后一個(gè)也響師：這樣就保證了可以遞推下去，鞭炮就可以全部響了，是嗎？生：不是。若第一個(gè)鞭炮不響，則一盤鞭炮也不會(huì)全部響，所以，還要有一個(gè)條件：第一個(gè)炮要響。師：大家說(shuō)有了這兩個(gè)條件，點(diǎn)燃一盤鞭炮后鞭炮是不是可以全部響呢？生：是。師：上面的同學(xué)說(shuō)得很好，要使一盤鞭炮全部響應(yīng)滿足兩個(gè)條件，第一個(gè)條件是：第一個(gè)炮要響；第二個(gè)條件是：若前一個(gè)響，則后一個(gè)也響，該條件可轉(zhuǎn)化為：假設(shè)第個(gè)炮響張，第個(gè)炮一定響。學(xué)生類比鞭炮全響的原理，探究出證明有關(guān)正整數(shù)命題的方法（建立數(shù)學(xué)模型）。（1）n取第一個(gè)值(例如)時(shí)命題成立;（2）假設(shè)n=k(k)命題成立，利用它證明n=k+1時(shí)命題也成立。滿足這兩個(gè)條件后，命題對(duì)一切n均成立?，F(xiàn)在你能不能利用這種思想（遞推思想）來(lái)證明等差數(shù)列通項(xiàng)公式呢？三．方法嘗試（學(xué)生共答，教師板書）證明：（1）當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，等式是成立的。（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)等式成立，就是，下面看看是否能推出時(shí)等式也成立，那么等于什么？生：由可得。師：看來(lái)時(shí)等式也成立，這樣做對(duì)嗎？生：（齊答）不對(duì)。師：用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)命題時(shí)，難點(diǎn)和關(guān)鍵都在第二步，而這一步主要在于合理運(yùn)用歸納假設(shè)，即以“n=k時(shí)命題成立”為條件，證明“證時(shí)命題也成立”。這里容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是證明中不使用“n=k時(shí)命題成立”這個(gè)條件，而直接將n=k+1代入命題，便斷言此命題成立，從而得出原命題成立的結(jié)論。下面請(qǐng)同學(xué)們給出正確的證明過(guò)程。（學(xué)生齊答，教師繼續(xù)板書）。這就是說(shuō)，當(dāng)時(shí)，等式也成立，大家說(shuō)有了這兩步，是不是就證明了等差數(shù)列通項(xiàng)公式的正確性了呢？生：時(shí)等式成立時(shí)等式成立時(shí)等式成立……所以取任何正整數(shù)等式都成立。師：我再補(bǔ)充一點(diǎn)：完成第一步、第二步后，必須要下結(jié)論，其格式為：根據(jù)⑴⑵可知公式對(duì)任意都成立.四、理解升華師：上面這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法，數(shù)學(xué)歸納法一般被用于證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，下面請(qǐng)同學(xué)們總結(jié)一下用數(shù)學(xué)歸納法證題的步驟。學(xué)生交流后，共同總結(jié)，教師板書：（1）證明當(dāng)取第一個(gè)值（例如或2等）時(shí)結(jié)論正確；（2）假設(shè)當(dāng)（，且）時(shí)結(jié)論正確，證明當(dāng)時(shí)結(jié)論也正確。根據(jù)（1）和（2），可知命題對(duì)從開(kāi)始的所有正整數(shù)都正確。概括起來(lái)就是“兩個(gè)步驟，一個(gè)結(jié)論?！睅煟河脭?shù)學(xué)歸納法證題時(shí)，兩個(gè)步驟各起到了怎樣的作用呢？生：第一步是命題遞推的基礎(chǔ)，第二步是命題遞推的根據(jù)。師：回答的很好，我再?gòu)?qiáng)調(diào)一點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法證題時(shí)這兩個(gè)步驟缺一不可，只有把兩個(gè)步驟中的結(jié)論結(jié)合起來(lái)，才能斷定命題成立.五、數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用師：我們已經(jīng)知道，由不完全歸納法得到的結(jié)論未必可靠，因而必須作出證明。若命題是與正整數(shù)有關(guān)的，證明可考慮用數(shù)學(xué)歸納法。下面請(qǐng)同學(xué)們看一道例題。例1：用數(shù)學(xué)歸納法證明：本例主要由學(xué)生完成，教師適時(shí)作必要引導(dǎo)。這樣處理有利于培養(yǎng)學(xué)生用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力。教師主要引導(dǎo)學(xué)生參與討論的內(nèi)容是：1

當(dāng)時(shí)，證明的目標(biāo)是什么？2當(dāng)時(shí)，能否這樣證明：例2：在數(shù)列{}中,＝1,(n∈),先計(jì)算，，的值，再推測(cè)通項(xiàng)的公式,最后證明你的結(jié)論．本例要求學(xué)生先猜想后證明，意在使學(xué)生經(jīng)歷一次數(shù)學(xué)研究與發(fā)現(xiàn)的完整過(guò)程，并一步熟悉數(shù)學(xué)歸納法。教學(xué)中可先讓學(xué)生思考3分鐘，然后讓兩位學(xué)生在黑板上板書解題過(guò)程，最后師生共同分析兩位學(xué)生的解法。六、小結(jié)（師生共同完成）（一）給出以下問(wèn)題：1本節(jié)課的主要內(nèi)容是什么？（數(shù)學(xué)歸納法證明命題的步驟、關(guān)鍵、核心，要注意的問(wèn)題）2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法與歸納法的關(guān)系（歸納法是有一系列特殊事例得出一邊結(jié)論的推理方法，它屬于歸納推理。而數(shù)學(xué)歸納法它是一種演繹推理方法，是一種證明命題的方法！因此，它不屬于“不完全歸納法”！甚至連“歸納法”都不是！）3．從這節(jié)課的學(xué)習(xí)中你有何感