全國(guó)碩士研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)二試題及解析

...wd......wd......wd...2012年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題一、選擇題：1-8小題，每題4分，共32分.以下每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求的，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.〔1〕曲線漸進(jìn)線的條數(shù)〔A〕0〔B〕1〔C〕2〔D〕3〔2〕設(shè)函數(shù)，其中為正整數(shù)，則〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔3〕設(shè)，，則數(shù)列有界是數(shù)列收斂的.〔A〕充分必要條件〔B〕充分非必要條件〔C〕必要非充分條件〔D〕非充分也非必要〔4〕設(shè)，則有〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔5〕設(shè)函數(shù)為可微函數(shù)，且對(duì)任意的都有，，則使不等式成立的一個(gè)充分條件是〔A〕，〔B〕，〔C〕，〔D〕，〔6〕設(shè)區(qū)域由曲線，，圍成，則〔A〕〔B〕2〔C〕〔D〕〔7〕設(shè)，，，，其中為任意常數(shù)，則線性相關(guān)的向量組為〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔8〕設(shè)為3階矩陣，為3階可逆矩陣，且，，則〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕二、填空題：9-14小題，每題4分。請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題紙指定位置上?！?〕設(shè)是由方程所確定的隱函數(shù)，則____________〔10〕____________〔11〕設(shè)，其中函數(shù)可微，則____________〔12〕微分方程滿足條件的解為_(kāi)___________〔13〕曲線上曲率為的點(diǎn)的坐標(biāo)是____________〔14〕設(shè)為3階矩陣，，為的伴隨矩陣，假設(shè)交換的第一行與第二行得到矩陣，則____________三、解答題：15-23，共94分。請(qǐng)將解答寫(xiě)在答題紙指定位置上，解容許寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或者演算步驟。〔15〕〔此題總分值10分〕函數(shù)，記〔Ⅰ〕求的值〔Ⅱ〕假設(shè)當(dāng)時(shí)，是的同階無(wú)窮小，求?！?6〕〔此題總分值10分〕求的極值〔17〕〔此題總分值12分〕過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，切點(diǎn)為，又切線與軸交于點(diǎn)，區(qū)域由與線段及軸圍成，求區(qū)域的面積及繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。〔18〕〔此題總分值10分〕計(jì)算二重積分，其中區(qū)域?yàn)榍€與極軸圍成〔19〕〔此題總分值10分〕函數(shù)滿足方程及，〔Ⅰ〕求的表達(dá)式；〔Ⅱ〕求曲線的拐點(diǎn)?！?0〕〔此題總分值10分〕證明：?！?1〕〔此題總分值10分〕〔Ⅰ〕證明方程〔的整數(shù)〕，在區(qū)間內(nèi)有且有唯一個(gè)實(shí)根；〔Ⅱ〕記〔Ⅰ〕中的實(shí)根為，證明存在，并求此極限?！?2〕〔此題總分值11分〕設(shè)，〔Ⅰ〕求；〔Ⅱ〕當(dāng)實(shí)數(shù)為何值時(shí)，線性方程組有無(wú)窮多解，并求其通解?！?3〕〔此題總分值11分〕，二次型的秩為2.〔Ⅰ〕求實(shí)數(shù)的值〔Ⅱ〕求利用正交變換將化為標(biāo)準(zhǔn)型。2012年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題解析一、選擇題：〔1〕【答案】C【分析】此題考察漸近線的概念與求法.【詳解】水平漸近線：因?yàn)?，所以該曲線只有一條水平漸近線；垂直漸近線：函數(shù)的定義域?yàn)?，又因?yàn)?，，所以該曲線只有一條垂直漸近線；斜漸近線：因?yàn)?，所以該曲線沒(méi)有斜漸近線。故應(yīng)選(C).〔2〕【答案】A【分析】考察導(dǎo)數(shù)定義或求導(dǎo)公式。此題既可以用導(dǎo)數(shù)定義求，也可求出導(dǎo)函數(shù)再代入點(diǎn)?！驹斀狻糠ㄒ唬河深}設(shè)知而法二：因?yàn)樗裕蕬?yīng)選〔A〕〔3〕【答案】B【分析】此題考察數(shù)列的性質(zhì)和級(jí)數(shù)的性質(zhì)?！驹斀狻糠ㄒ唬撼浞中裕阂?yàn)?，所以?shù)列單調(diào)遞增，又因?yàn)閿?shù)列有界，所以數(shù)列收斂，從而。非必要性：令，則數(shù)列收斂，而數(shù)列無(wú)界；故應(yīng)選〔B〕。法二：充分性：因?yàn)?，所以?shù)列單調(diào)遞增，又因?yàn)閿?shù)列有界，所以數(shù)列收斂，從而級(jí)數(shù)收斂，有級(jí)數(shù)收斂的必要條件可得非必要性：令，則數(shù)列收斂，而數(shù)列無(wú)界；故應(yīng)選〔B〕?！?〕【答案】D【分析】考察定積分性質(zhì)、定積分換元積分法。【詳解】法一:先對(duì)比與大小由于〔因?yàn)闀r(shí)，〕，所以；再對(duì)比與的大小由于〔因?yàn)闀r(shí)，〕，所以；最后對(duì)比與的大小由于，所以；故應(yīng)選〔D〕。法二:；，因?yàn)闀r(shí)，，所以，并且連續(xù)，所以，因此；令，則從而當(dāng)時(shí)，顯然有，所以，，從而，又因?yàn)檫B續(xù)，所以有，故。綜上，故應(yīng)選〔D〕?！?〕【答案】A【分析】此題考察偏導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)數(shù)關(guān)系、單調(diào)的判定定理?！驹斀狻恳?yàn)?，假設(shè)，則；又因?yàn)?，假設(shè)，則，所以當(dāng)，時(shí)，，故應(yīng)選〔A〕〔6〕【答案】D【分析】二重積分的計(jì)算，首先應(yīng)畫(huà)出區(qū)域，觀察其是否具有某種對(duì)稱性，如具有對(duì)稱性,則應(yīng)先考慮利用對(duì)稱性化簡(jiǎn)二重積分，然后選擇適當(dāng)坐標(biāo)系化為二次積分計(jì)算?！驹斀狻糠ㄒ唬寒?huà)出積分區(qū)域的草圖如右圖所示。用曲線將劃分為如以以以下圖顯然關(guān)于軸對(duì)稱，關(guān)于軸對(duì)稱，從而由對(duì)稱性可得：故應(yīng)選〔D〕〔7〕【答案】C【分析】考察向量組線性相關(guān)的判定.三個(gè)三維向量構(gòu)成的向量組既可以用行列式是否為零來(lái)判是否線性相關(guān)，又可以利用矩陣的秩來(lái)討論。此題利用行列式判定快速、直接?！驹斀狻恳?yàn)椋?；；。由于為任意常?shù)，所以線性相關(guān)。故應(yīng)選〔C〕?！?〕【答案】B【分析】考察矩陣的運(yùn)算。將用表示，即，然后代入計(jì)算即可。【詳解】由于，所以，則，故故應(yīng)選〔B〕。二、填空題〔9〕【答案】1【分析】考察隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，常用方法是用微商或隱函數(shù)求導(dǎo)法則完成?！驹斀狻糠ㄒ唬簩⒋敕匠?，可得。方程兩端對(duì)導(dǎo)數(shù)，得，所以，故；方程兩端再對(duì)求導(dǎo)數(shù)，得，從而可以得到。法二：將代入方程，可得。方程兩端微分得：，從而，且又，從而。〔10〕【分析】考察定積分的概念及項(xiàng)和數(shù)列求極限?！驹斀狻俊?1〕【答案】0【分析】考察多元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)，利用復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t或微分完成?！驹斀狻糠ㄒ唬河捎?，，于是。法二：，從而，，故?！?2〕【答案】【分析】將變量當(dāng)做函數(shù)，變量做自變量，則方程為一階線性微分方程，用公式求出通解，代入初始條件即可?！驹斀狻糠匠炭烧頌?，將看做因變量，為一階線性非齊次微分方程，通解，即。由，解得，所以所求特解為?！?3〕【答案】【分析】考察曲率的概念與計(jì)算。代入公式計(jì)算便可?！驹斀狻坑捎?，，所以可得，解得，此時(shí)，故所求曲線上的點(diǎn)為。〔14〕【答案】【分析】考察伴隨矩陣的性質(zhì)與矩陣行列式的性質(zhì)與運(yùn)算?！驹斀狻坑捎冢?，所以。三、解答題〔15〕【分析】〔Ⅰ〕求未定式的極限，主要考察等價(jià)無(wú)窮小代換、洛必達(dá)法則或泰勒公式；〔Ⅱ〕考察無(wú)窮小對(duì)比，可用無(wú)窮小對(duì)比的定義寫(xiě)出一個(gè)極限式，由極限的逆問(wèn)題算出?！驹斀狻俊并瘛撤ㄒ唬悍ǘ骸并颉撤ㄒ唬河捎谟深}設(shè)〔非零常數(shù)〕，即〔非零常數(shù)〕所以要使上極限存在且非零，必有。法二：由于而，所以，綜上可知：，故〔16〕【分析】二元顯函數(shù)求極值，先求出所有駐點(diǎn)，然后利用無(wú)條件極值的充分條件判定每一個(gè)駐點(diǎn)是否是極值點(diǎn)，是極大還是極小，并求出極值點(diǎn)的函數(shù)值。【詳解】由于，解方程組：可得：或。所以函數(shù)全部駐點(diǎn)為、。又對(duì)駐點(diǎn)，由于，，所以，且，從而為極大值；對(duì)駐點(diǎn)，由于，，，所以，且，從而為極小值?！?7〕【分析】此題主要考察導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用與定積分的幾何應(yīng)用。先根據(jù)題設(shè)求出切點(diǎn)，進(jìn)而寫(xiě)出切線方程求出點(diǎn)坐標(biāo)，利用面積和旋轉(zhuǎn)體體積公式求出面積和體積?！驹斀狻吭O(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為，由于，由題意知曲線在點(diǎn)的切線過(guò)點(diǎn)，從而，解得，故切點(diǎn)的坐標(biāo)是，所以切線方程為，即，易求得切線與軸交點(diǎn)，從而區(qū)域的面積或繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積或〔18〕【分析】考察初等函數(shù)的二重積分，化為極坐標(biāo)系下的二次積分計(jì)算?！驹斀狻俊?9〕【分析】〔Ⅰ〕求出方程的通解代入方程確定任意常數(shù)即可，或方程兩端求導(dǎo)數(shù)與解出〔Ⅱ〕將〔Ⅰ〕中得到的函數(shù)表達(dá)式代入，然后利用常規(guī)方法求得拐點(diǎn)?！驹斀狻俊并瘛撤ㄒ唬旱奶卣鞣匠虨椋獾?所以；將代入，得，所以，，故。法二：方程兩端求導(dǎo)數(shù)得將上式代入，可得?！并颉秤捎冢瑥亩鴱亩x域內(nèi)為零或不存在點(diǎn)只有，而當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，，所以?dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?，，所以又，所以是曲線的拐點(diǎn)?！?0〕【分析】證明函數(shù)不等式，由于不等式的形狀為，故用最大最小值法完成?！驹斀狻苛睿瑒t從而單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，從而是在區(qū)間內(nèi)的最小值，從而當(dāng)時(shí)，恒有，即，亦即〔21〕【分析】〔Ⅰ〕用零點(diǎn)定理證明至少有一個(gè)實(shí)根，用單調(diào)性證明最多有一個(gè)實(shí)根；〔Ⅱ〕用單調(diào)有界準(zhǔn)則證明?！驹斀狻俊并瘛沉睿院瘮?shù)在閉區(qū)間連續(xù)，又因?yàn)?，，由零點(diǎn)定理知在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得，即方程在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根；又因?yàn)?，所以在單調(diào)增加，所以方程在內(nèi)最多有一個(gè)實(shí)根；綜上可得方程〔的整數(shù)〕，在區(qū)間內(nèi)有且有唯一個(gè)實(shí)根?！并颉秤散瘛晨芍?，從而數(shù)列有下界，又因?yàn)?，，所以從而而所以，即?shù)列單減。由單調(diào)有界準(zhǔn)則可知極限存在。由可知由于，所以，從而，記，則，從而?！?2〕【分析】考察行列式的計(jì)算、線性方程組解的存在性定理?！并瘛嘲吹谝涣姓归_(kāi)；〔Ⅱ〕對(duì)增廣矩陣進(jìn)展初等航變換化為階梯型求出，進(jìn)一步化為行最簡(jiǎn)形求通解?！驹斀狻俊并瘛场并颉硨?duì)增廣矩陣進(jìn)展初等行變換，有因?yàn)榫€性方程組有無(wú)窮多解，所以，解得。將增廣矩陣進(jìn)一步化為行最簡(jiǎn)形，有從而可知導(dǎo)出組的根基解系為，非齊次方程的特解為，所以通解為，其中為任意常數(shù)?！?3〕【分析】考察矩陣秩的概念與求法及其性質(zhì)、特征值與特征向量的求法?！并瘛忱弥鹊男再|(zhì)得到矩陣的秩為2，再利用初等行變換將化為階梯型即可求出；〔Ⅱ〕求出矩陣的特征值與全部線性無(wú)關(guān)的特征向量，將他們正交化、單位化可得到正交矩陣?！驹斀狻俊并瘛秤捎冢涡偷闹葹?，即，故。對(duì)矩陣作初等行變換化為階梯型