【課件】三角形全等的判定(第5課時HL)+課件-2025-2026學年人教版八年級數(shù)學上冊

第十四章

全等三角形第5課時“HL”14.2三角形全等的判定1.理解并掌握直角三角形全等的判定方法“HL”；2.能運用“HL”判定兩個直角三角形全等.1.兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等(簡寫為“邊角邊”或“SAS”).2.兩角和它們的夾邊分別相等的兩個三角形全等(簡寫為“角邊角”或“ASA”).3.兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等.

(簡寫成“角角邊”或“AAS”).4.三邊分別相等的兩個三角形全等(簡寫為“邊邊邊”或“SSS”).復習

我們已經(jīng)學習的三角形全等的判定方法有哪些？前面學習的三角形全等的判定方法，對滿足條件的三角形都是適用的，同樣也適用于直角三角形.因為兩個直角三角形的直角相等，所以對于兩個直角三角形，滿足一直角邊和它相對（或相鄰）的銳角分別相等，或斜邊和一銳角分別相等，或兩直角邊分別相等，這兩個直角三角形就全等了，如果滿足斜邊和一直角邊分別相等，這兩個直角三角形全等嗎？思考(1)如圖，已知AC=A′C′，BC=B′C′，∠B=∠B′，△ABC≌△A′B′C′

嗎？ABCB′C′A′我們知道，證明三角形全等不存在“SSA”

定理，所以無法證明△ABC≌△A′B′C′.思考(2)如果這兩個三角形都是直角三角形，能判定△ABC≌△A′B′C′

嗎？ABCA′B′C′ABCB′C′A′探究

如圖，在△ABC和△A′B′C′中，∠C′=∠C=90°，且A′B′=AB，B′C′=BC，這兩個三角形全等嗎？我們可以用畫圖的方法.（1）先畫∠DC′E=90°.（2）在射線C′E上截取B′C′=BC.（3）以點B′為圓心，AB為半徑作弧，交射線C′D于點A′.（4）連接A′B′.E

C′DABC

B′A′是不是這樣的點A′一定會與點A重合呢？EC′D

B′A′ABC

為了判斷點A′與點A是否重合，我們討論射線CA上除點C，A外的點與點B的連線和邊AB的大小關(guān)系.E(C′)D

(B′)A(A')BC①設(shè)點M在直角邊AC(不包括端點)上，連接BM，則∠BMA＞∠C，∠BMA是鈍角．②若過點M且垂直于BM的直線與線段AB相交于點M′，則有AB＞BM′＞BM．M外角的性質(zhì).M'垂線段最短.在點A下方時，長度<AB.③設(shè)點N在線段CA的延長線上，連接BN，同理可得BN>AB.

因此，在射線CA上，與點B的連線長度等于AB的點只有一個.再由點A′在射線CA上，A′B′=AB，可知點A′與點A重合．在點A上方時，長度>AB.E(C′)D

(B′)A(A')BCMM'NEC′D

B′A′ABC△A'B'C'的三個頂點與△ABC的三個頂點分別重合，△A'B'C'與△ABC能夠完全重合，因而△A'B'C'≌△ABC.思考

通過上面的探究，你能得出什么結(jié)論？斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）.幾何語言：AB=A′B′,BC=B′C′,在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∴Rt△ABC≌

Rt△A′B′C′(HL).ABCA′B′C′例1如圖，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分別為C，D，

AC=BD.求證：BC=AD.ABDC分析：如果能證明Rt△ABC≌Rt△BAD，就可以得出BC=AD.由題意可知，Rt△ABC和Rt△BAD具備“斜邊、直角邊”的條件.例1如圖，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分別為C，D，

AC=BD.求證：BC=AD.ABDC證明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠C=∠D

=90°.在Rt△ABC和Rt△BAD中，AB=BA，AC=BD，∴Rt△ABC≌Rt△BAD

(HL)，

∴BC=AD.跟蹤訓練

如圖，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F(xiàn)為AB延長線上一點，點E在BC上，且AE=CF.求證：△ABE≌△CBF.證明：∵∠ABC=90°∠ABC+∠CBF=180°，∴∠CBF=90°.在Rt△ABE和Rt△CBF中，AE=CF，AB=CB，∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL).1.如圖，C是路段AB的中點，兩人從C同時出發(fā)，以相同的速度分別沿兩條直線行走，并同時到達D，E兩地，且DA⊥AB，EB⊥AB.D，E到路段AB的距離相等嗎？為什么？解：由題意得CD=CE，∵點C是路段AB的中點，∴AC=CB，∵DA⊥AB，EB⊥AB，∴∠A=∠B=90°，ABCEDABCED在Rt△ACD和Rt△BCE中，CD=CE，AC=BC，∴Rt△ACD≌Rt△BCE(HL).∴AD=BE.∴D，E到路段AB的距離相等.1.如圖，C是路段AB的中點，兩人從C同時出發(fā)，以相同的速度分別沿兩條直線行走，并同時到達D，E兩地，且DA⊥AB，EB⊥AB.D，E到路段AB的距離相等嗎？為什么？2.如圖，AB=CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分別為E，F(xiàn)，CE=BF.求證：AE=DF.ABCEDF證明：∵AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠DFC=∠AEB=90°.∵CE=BF，CE-EF=BF-EF，∴CF=BE.在Rt△DFC和Rt△AEB中，CD=BA，CF=BE，∴Rt△DFC≌Rt△AEB(HL)，∴AE=DF.3.如圖，兩根長度為12米的繩子，一端系在旗桿上，另一端分別固定在地面兩個木樁上，兩個木樁離旗桿底部的距離相等嗎？請說明你的理由.ACBD解：∵∠ADB=∠ADC=90°,在Rt△ABD和Rt△ACD中,AB=AC,AD=AD,所以Rt△ABD≌Rt△ACD(HL),所以BD=CD.4.如圖，已知AD，AF分別是△ABC和△ABE的高，如果AD=AF，AC=AE.求證：BC=BE.證明：∵AD，AF分別是△ABC和△ABE的高，∴∠ADC=∠AFE=90°.在Rt△ADC和Rt△AFE中，∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL).AC=AE，AD=AF，AFEBCD∴CD=EF.在Rt△ABD和Rt△ABF中，AD=AF，AB=AB，∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL).∴BD=BF.∴BD-CD=BF-EF.

∴BC=BE.4.如圖，已知AD，AF分別是兩個鈍角△AB