2025年廣東中考數(shù)學(xué)試卷試題真題及答案詳解（精校打印版）

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)2025年廣東省初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)本試卷共7頁(yè)，23小題，滿分120分．考試用時(shí)120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必用黑色字跡的簽字筆或鋼筆將自己的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上．用2B鉛筆在“考場(chǎng)號(hào)”和“座位號(hào)”欄相應(yīng)位置填涂自己的考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)．將條形碼粘貼在答題卡“條形碼粘貼處”．2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑：如需改動(dòng)，用塑料橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上．3．非選擇題必須用黑色字跡的簽字筆或鋼筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上：如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答的答案無(wú)效．4．考生必須保持答題卡的整潔．考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．某品牌乒乓球產(chǎn)品質(zhì)量參數(shù)是，如果一只乒乓球的質(zhì)量高于標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量記作，那么低于標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量記作（

）A． B． C． D．2．依據(jù)《廣東省推動(dòng)低空經(jīng)濟(jì)高質(zhì)量發(fā)展行動(dòng)方案（2024-2026年）》，預(yù)計(jì)2026年廣東省低空經(jīng)濟(jì)規(guī)模將超過(guò)3000億元．?dāng)?shù)據(jù)3000億用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）A． B． C． D．3．計(jì)算的結(jié)果是（

）A．3 B．6 C． D．4．如圖，是由5個(gè)大小相同的正方體組成的立體圖形，它的左視圖是（

）A． B． C． D．5．如圖，點(diǎn)，，分別是各邊上的中點(diǎn)，，則（

）A． B． C． D．6．某校機(jī)器人編程團(tuán)隊(duì)參加廣東省創(chuàng)意機(jī)器人大賽，7位評(píng)委給出的分?jǐn)?shù)為95，92，96，94，95，88，95．這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)分別是（

）A．92，94 B．95，95 C．94，95 D．95，967．廣東省統(tǒng)計(jì)局的相關(guān)數(shù)據(jù)顯示，近年來(lái)高技術(shù)制造業(yè)呈現(xiàn)快速增長(zhǎng)態(tài)勢(shì)．某公司工業(yè)機(jī)器人在今年5月產(chǎn)值達(dá)到2500萬(wàn)元，預(yù)計(jì)7月產(chǎn)值將增至9100萬(wàn)元．設(shè)該公司6，7兩個(gè)月產(chǎn)值的月均增長(zhǎng)率為，可列出的方程為（

）A． B．C． D．8．在理想狀態(tài)下，某電動(dòng)摩托車(chē)充滿電后以恒定功率運(yùn)行，其電池剩余的能量與騎行里程之間的關(guān)系如圖．當(dāng)電池剩余能量小于時(shí)，摩托車(chē)將自動(dòng)報(bào)警．根據(jù)圖象，下列結(jié)論正確的是（

）A．電池能量最多可充B．摩托車(chē)每行駛消耗能量C．一次性充滿電后，摩托車(chē)最多行駛D．摩托車(chē)充滿電后，行駛將自動(dòng)報(bào)警9．如圖，在直徑為的圓內(nèi)有一個(gè)圓心角為的扇形．隨機(jī)地往圓內(nèi)投一粒米，該粒米落在扇形內(nèi)的概率為（

）A． B． C． D．10．如圖，在矩形中，，是邊上的三等分點(diǎn)，連接，相交于點(diǎn)，連接．若，，則的值是（

）A． B． C． D．二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分．11．因式分解：．12．如圖，把放大后得到，則與的相似比是．13．不解方程，判斷一元二次方程的根的情況是．14．計(jì)算的結(jié)果是．15．已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，但不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則該二次函數(shù)的表達(dá)式可以是．（寫(xiě)出一個(gè)即可）三、解答題（一）：本大題共3小題，每小題7分，共21分。16．在解分式方程時(shí)，小李的解法如下：第一步：，第二步：，第三步：，第四步：．第五步：檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，．第六步：原分式方程的解為．小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依據(jù)是什么？判斷小李的解答過(guò)程是否正確．若不正確，請(qǐng)寫(xiě)出你的解答過(guò)程．17．如圖，點(diǎn)是斜邊邊上的一點(diǎn)，以為半徑的與邊相切于點(diǎn)．求證：平分．18．如圖，某跨海鋼箱梁懸索橋的主跨長(zhǎng)，主塔高，主纜可視為拋物線，主纜垂度，主纜最低處距離橋面，橋面距離海平面約．請(qǐng)?jiān)谑疽鈭D中建立合適的平面直角坐標(biāo)系，并求該拋物線的表達(dá)式．四、解答題（二）：本大題共3小題，每小題9分，共27分．19．如圖，是斜邊上的中線，過(guò)點(diǎn)，分別作，，與相交于點(diǎn)．現(xiàn)有以下命題：命題1：若連接交于點(diǎn)，則．命題2：若連接，則．命題3：若連接，則．任選兩個(gè)命題，先判斷真假，再證明或舉反例．20．2025年2月，廣東省教育廳發(fā)布《關(guān)于保障中小學(xué)生每天綜合體育活動(dòng)時(shí)間不低于兩小時(shí)的通知》．某校為更好地落實(shí)文件精神并了解學(xué)生參加體育活動(dòng)的情況，隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，并對(duì)所得數(shù)據(jù)進(jìn)行處理．部分信息如下：調(diào)查問(wèn)卷監(jiān)理與描述1．你每天參加體育活動(dòng)（合體育課）的時(shí)間（單位：小時(shí)）（

）（單選）A．

B．C．

D．2．隨著體育活動(dòng)時(shí)間的延長(zhǎng)，學(xué)校擬增設(shè)體育活動(dòng)項(xiàng)目，你希望增設(shè)的活動(dòng)項(xiàng)目有（

）（可）多選）E．球類(lèi)

F．田徑類(lèi)G．體操類(lèi)

H．水上類(lèi)希望地設(shè)的活動(dòng)項(xiàng)目統(tǒng)計(jì)表活動(dòng)項(xiàng)目球類(lèi)田徑類(lèi)體操類(lèi)水上類(lèi)百分比根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：(1)求參與這次問(wèn)卷調(diào)查的學(xué)生人數(shù)．(2)估計(jì)該校1000名學(xué)生中每天參加體育活動(dòng)時(shí)間不低于兩小時(shí)的學(xué)生人數(shù)．(3)基于上述兩項(xiàng)調(diào)查的數(shù)據(jù)，提煉出一條信息，并向?qū)W校提出相應(yīng)的建議．21．綜合與實(shí)踐【閱讀材料】如圖，在銳角中，，，的對(duì)邊長(zhǎng)分別為，，，則有．這是解三角形的重要結(jié)論，可用于解決實(shí)際問(wèn)題．【問(wèn)題提出】萬(wàn)綠湖是廣東省重要的生態(tài)屏障和飲用水水源地．某綜合與實(shí)踐小組要繪制一幅萬(wàn)綠湖局部平面示意圖，現(xiàn)需要知道湖中，兩島間的實(shí)際距離．由于地形原因，無(wú)法利用測(cè)距儀直接測(cè)量，該小組對(duì)這一問(wèn)題進(jìn)行了探究．【方案設(shè)計(jì)】工具：測(cè)角儀、測(cè)距儀、無(wú)人機(jī)（只能測(cè)角度、水平面高度）．測(cè)量過(guò)程：步驟1：如圖，在空曠地找一點(diǎn)；步驟2：利用無(wú)人機(jī)多次測(cè)量并取平均值測(cè)得，；步驟3：利用測(cè)距儀多次測(cè)量并取平均值測(cè)得，．【問(wèn)題解決】（1）請(qǐng)你利用【閱讀材料】中的結(jié)論計(jì)算，兩島間的距離．（參考數(shù)據(jù)：，，）【評(píng)價(jià)反思】（2）設(shè)計(jì)其他方案計(jì)算，兩島間的距離．要求：選用【方案設(shè)計(jì)】中的工具，寫(xiě)出你的方案和所用的數(shù)學(xué)知識(shí)．五、解答題（三）：本大題共2小題，第22小題13分，第23小題14分，共27分．22．《九章算術(shù)》是世界上較早給出勾股數(shù)公式的著作，掌握確定勾股數(shù)組的方法對(duì)研究直角三角形具有重要意義．若直角三角形的三邊長(zhǎng)，，都是正整數(shù)，則，，為一組“勾股數(shù)”．下表中的每一組數(shù)都是勾股數(shù)．3，4，57，24，2511，60，6115，112，11319，180，1814，3，58，15，1712，35，3716，63，6520，99，1015，12，139，40，4113，84，8517，144，14521，28，356，8，1010，___，2614，48，5018，80，8222，120，122(1)請(qǐng)補(bǔ)全上表中的勾股數(shù)．(2)根據(jù)上表中數(shù)據(jù)規(guī)律，用含字母（均為正整數(shù)）的代數(shù)式分別表示，，，使該組代數(shù)式能表示上表中所有的勾股數(shù)，并證明．(3)某校計(jì)劃在一塊綠地上種花，使之構(gòu)成如圖所示的圖案，該圖案是由四個(gè)全等的直角三角形組成．種花要求：僅在三角形邊上種花，每個(gè)三角形頂點(diǎn)處都種一株花，各邊上相鄰兩株花之間的距離均為．如果每個(gè)三角形最短邊都種21株花，那么這塊綠地最少需要種植多少株花？23．定義：把某線段一分為二的點(diǎn)，當(dāng)整體線段比大線段等于大線段比小線段時(shí)，則稱(chēng)此線段被分為中外比，這個(gè)點(diǎn)稱(chēng)為中外比點(diǎn)．(1)如圖，點(diǎn)是線段的中外比點(diǎn)，，，求的長(zhǎng)．(2)如圖，用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)求作一點(diǎn)把線段分為中外比．（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）(3)如圖，動(dòng)點(diǎn)在第一象限內(nèi)，反比例函數(shù)的圖象分別與矩形的邊，相交于點(diǎn)，，與對(duì)角線相交于點(diǎn)．當(dāng)是等腰直角三角形時(shí)，探究點(diǎn)，，是否分別為，，的中外比點(diǎn)，并證明．答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)1．A【分析】本題主要考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)．根據(jù)正數(shù)和負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量，即可解答．【詳解】解：∵一只乒乓球的質(zhì)量高于標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量記作，∴那么低于標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量記作．故選：A．2．D【分析】本題考查了科學(xué)記數(shù)法，科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)，正確確定以及的值是解題的關(guān)鍵．確定的值時(shí)，要看把原數(shù)變成時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同，據(jù)此即可求解．【詳解】解：3000億．故選：D．3．B【分析】本題主要考查了二次根式的乘法，正確化簡(jiǎn)二次根式是解題關(guān)鍵．直接相乘得出答案．【詳解】．故選：B．4．C【分析】本題考查了三視圖的知識(shí)，左視圖是從物體的左面看得到的視圖．找到從左面看所得到的圖形即可．【詳解】解：從左面看得第一層有2個(gè)正方形，第二層最左邊有一個(gè)正方形．∴它的左視圖是：故選：C．5．C【分析】此題考查了三角形中位線的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，首先得到，是的中位線，得到，，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可．【詳解】∵點(diǎn)，，分別是各邊上的中點(diǎn)，∴，是的中位線∴，∴∵∴．故選：C．6．B【分析】本題考查了中位數(shù)和眾數(shù)，熟知中位數(shù)和眾數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．中位數(shù)是將數(shù)據(jù)從小到大排列后位于中間位置的數(shù)；眾數(shù)是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，據(jù)此即可求解．【詳解】解：將7個(gè)評(píng)委分?jǐn)?shù)從小到大排列為：88，92，94，95，95，95，96，中位數(shù)為第4個(gè)數(shù)，即95；數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)是95（出現(xiàn)3次），故眾數(shù)為95；∴這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)分別是95，95．故選：B．7．A【分析】本題考查一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，涉及平均增長(zhǎng)率問(wèn)題，理解題意找準(zhǔn)等量關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵．設(shè)該公司6，7兩個(gè)月產(chǎn)值的月均增長(zhǎng)率為，根據(jù)連續(xù)兩個(gè)月的月均增長(zhǎng)率建立方程即可．【詳解】解：設(shè)該公司6，7兩個(gè)月產(chǎn)值的月均增長(zhǎng)率為，根據(jù)題意，得．故選：A．8．C【分析】本題考查了實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)圖象，解題的關(guān)鍵是讀懂函數(shù)圖象，根據(jù)圖象中的數(shù)據(jù)逐項(xiàng)求解判斷即可．【詳解】由圖象可得，當(dāng)時(shí)，，∴電池能量最多可充，故A錯(cuò)誤；，∴摩托車(chē)每行駛消耗能量，故B錯(cuò)誤；由圖象可得，當(dāng)時(shí)，，∴一次性充滿電后，摩托車(chē)最多行駛，故C正確；∴摩托車(chē)充滿電后，行駛將自動(dòng)報(bào)警，故D錯(cuò)誤；故選：C．9．D【分析】如圖所示，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)D，證明出是等腰直角三角形，求出，然后得到，然后分別求出和，然后根據(jù)概率公式求解即可．【詳解】如圖所示，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)D∵是直徑∴∵∴是等腰直角三角形∵∴，∴∴，∴該粒米落在扇形內(nèi)的概率為．故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了幾何概率，求扇形面積，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，直徑所對(duì)的圓周角是直角等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn)．10．B【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，求角的正切值，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)矩形的性質(zhì)，證明，得到，然后過(guò)點(diǎn)作，得到，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例分別求出的長(zhǎng)，進(jìn)而求出的長(zhǎng)，再利用正切的定義求解即可．【詳解】解：∵矩形，，是邊上的三等分點(diǎn)，，，∴，，，，，∴，∴，∴，過(guò)點(diǎn)作，則，∴，∴，∴，，∴，∴；故選：B．11．【分析】直接提取公因式ab，進(jìn)而分解因式得出答案．【詳解】解：a2b+ab2=．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了提取公因式法分解因式，正確找出公因式是解題關(guān)鍵．12．【分析】本題考查求兩個(gè)位似圖形的相似比，根據(jù)題意，把放大后得到，則與位似，從而得到與的相似比等于對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心線段的比，即，從而得到答案，掌握相似三角形的相似比與位似圖形之間線段的比例關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【詳解】解：把放大后得到，則與位似，與的相似比為，故答案為：．13．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根【分析】本題考查了一元二次方程的根的判別式，利用一元二次方程的根的判別式判斷根的情況是解題的關(guān)鍵．先計(jì)算一元二次方程的根的判別式，得出，即可得到結(jié)論【詳解】解：∵一元二次方程，∴，，，∴，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．故答案為：有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．14．0【分析】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值以及零指數(shù)冪，熟練記憶特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．分別計(jì)算零指數(shù)冪以及代入特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算即可．【詳解】解：，故答案為：0．15．（答案不唯一）【分析】本題考查待定系數(shù)法確定二次函數(shù)表達(dá)式，先由二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，得到，再由二次函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，得到，從而得確定，若取，即可得到，從而確定函數(shù)表達(dá)式．熟練掌握待定系數(shù)法確定函數(shù)表達(dá)式的方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【詳解】解：二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，二次函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，，則，若取，則，該二次函數(shù)的表達(dá)式可以是，故答案為：（答案不唯一）．16．見(jiàn)解析【分析】此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程時(shí)要注意不要漏乘，解完后要檢驗(yàn)．先去分母，化為一元一次方程，再解一元一次方程，最后進(jìn)行檢驗(yàn)即可．【詳解】解：第一步是去分母，去分母的依據(jù)是：等式兩邊同時(shí)乘以一個(gè)不為0的數(shù)（或式子），等式仍然成立；小李的解答過(guò)程不正確，正確解答如下：，，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是增根，∴原方程無(wú)解．17．證明見(jiàn)解析【分析】本題考查了圓的切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．連接，根據(jù)圓的切線的性質(zhì)得到，則根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)得到，再由等邊對(duì)等角得到，即可等量代換求證．【詳解】證明：連接，∵與邊相切于點(diǎn)，∴，即，∵為直角三角形，∴，∴，∴，∵∴，∴，∴平分．18．該拋物線的表達(dá)式為【分析】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)表達(dá)式，先由題意，建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，從而得到、，設(shè)該拋物線的頂點(diǎn)式為，將代入解方程即可得到答案．根據(jù)題中示意圖，建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，并設(shè)出拋物線表達(dá)式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【詳解】解：建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：則拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，即，設(shè)該拋物線的表達(dá)式為，將代入得，解得，該拋物線的表達(dá)式為．19．命題1是真命題，證明見(jiàn)解析；命題2是真命題，證明見(jiàn)解析；命題3是真命題，證明見(jiàn)解析【分析】命題1：連接，交于，如圖所示，先由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半得到，判定四邊形是平行四邊形，進(jìn)而得到四邊形是菱形，再由中位線的判定與性質(zhì)得到，最后利用三角形面積公式求解即可得證；命題2：連接，交于，如圖所示，先由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半得到，判定四邊形是平行四邊形，進(jìn)而得到四邊形是菱形即可得證；命題3：連接，交于，如圖所示，先由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半得到，判定四邊形是平行四邊形，再由平行四邊形的判定與性質(zhì)得到四邊形是平行四邊形即可得證．【詳解】解：命題1：若連接交于點(diǎn)，則．命題1是真命題，證明如下：連接，交于，如圖所示：是斜邊上的中線，，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是菱形，，且，，為的中點(diǎn)，是的中位線，則，，則；命題2：若連接，則．命題2是真命題，證明如下：連接，交于，如圖所示：是斜邊上的中線，，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是菱形，；命題3：若連接，則．命題3是真命題，證明如下：連接，交于，如圖所示：是斜邊上的中線，，，，四邊形是平行四邊形，，，，四邊形是平行四邊形，．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形及特殊平行四邊形綜合，涉及直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半、平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、三角形中位線的判定與性質(zhì)、三角形面積公式等知識(shí)，熟記平行四邊形及特殊平行四邊形的判定與性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．20．(1)200人(2)375人(3)見(jiàn)解析（答案不唯一）【分析】本題考查了條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖的信息關(guān)聯(lián)，用樣本估計(jì)總體，統(tǒng)計(jì)表等知識(shí)點(diǎn)，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖得到參加體育活動(dòng)（合體育課）的時(shí)間人數(shù)，再相加即可；（2）用1000人乘以每天參加體育活動(dòng)時(shí)間不低于兩小時(shí)的學(xué)生人數(shù)占比即可；（3）答案不唯一，合理即可．【詳解】（1）解：這次問(wèn)卷調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為：（人），答：參與這次問(wèn)卷調(diào)查的學(xué)生人數(shù)有200人；（2）解：（人），答：每天參加體育活動(dòng)時(shí)間不低于兩小時(shí)的學(xué)生人數(shù)為人；（3）解：從第二項(xiàng)活動(dòng)可看出學(xué)生更加喜歡球類(lèi)活動(dòng)，建議：學(xué)?？梢赃m當(dāng)?shù)脑黾佑嘘P(guān)球類(lèi)活動(dòng)的項(xiàng)目和設(shè)施．（答案不唯一）21．（1）；（2）見(jiàn)解析【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，理解題意是解題的關(guān)鍵．（1）利用三角形內(nèi)角和定理求出，根據(jù)題意可得，代入數(shù)據(jù)求出的長(zhǎng)，即可解答；（2）運(yùn)用解直角三角形、勾股定理等數(shù)學(xué)知識(shí)設(shè)計(jì)方案即可．【詳解】解：（1）∵，，∴，由題意得，，又∵，∴，答：，兩島間的距離為．（2）工具：測(cè)角儀、測(cè)距儀、無(wú)人機(jī)（只能測(cè)角度、水平面高度）．測(cè)量過(guò)程：步驟1：如圖，在空曠地找一點(diǎn)，使得是銳角三角形；步驟2：利用無(wú)人機(jī)多次測(cè)量并取平均值測(cè)得的度數(shù)；步驟3：利用測(cè)距儀多次測(cè)量并取平均值測(cè)得，．計(jì)算過(guò)程：過(guò)點(diǎn)作，則，∵在中，，，∴，，∴，∵在中，，∴．答：，兩島間的距離為．22．(1)(2)表中第一行、第三行中為奇數(shù)：，則，；表中第二行、第四行中為偶數(shù)：，則，；其中為正整數(shù)，證明見(jiàn)解析(3)【分析】本題考查由勾股數(shù)涉及的數(shù)字規(guī)律問(wèn)題，難度中等偏上，涉及勾股數(shù)定義、整式加減乘法混合運(yùn)算、平方差公式等知識(shí)，觀察分析所給表中勾股數(shù)，分類(lèi)找準(zhǔn)規(guī)律并靈活運(yùn)算解決實(shí)際問(wèn)題是關(guān)鍵．（1）先由表中勾股數(shù)規(guī)律，令，，，由勾股數(shù)定義列方程求解即可得到答案；（2）由表中數(shù)據(jù)，分別用代數(shù)式表示出，，，再由整式混合運(yùn)算求證即可得到答案；（3）由于該圖案是由四個(gè)全等的直角三角形組成，下面只需要解決其中一個(gè)直角三角形的種植情況即可，如圖所示，結(jié)合（2）中得到的規(guī)律，分析出一個(gè)直角三角形種植花數(shù)量即可得到答案．【詳解】（1）解：由表中勾股數(shù)的規(guī)律可知，令，，，則由勾股數(shù)定義可知，即，，解得或（舍去）；（2）解：令為正整數(shù)，則由表中規(guī)律可知，表中第一行、第三行中為奇數(shù)：，則，，證明如下：，；表中第二行、第四行中為偶數(shù)：，則，，證明如下：，；（3）解：由于該圖案是由四個(gè)全等的直角三角形組成，下面只需要解決其中一個(gè)直角三角形的種植情況即可，如圖所示：，即直角三角形中最短邊為，僅在三角形邊上種花，三角形頂點(diǎn)處都種一株花，各邊上相鄰兩株花之間的距離均為，三角形最短邊種株花，，由上表規(guī)律，當(dāng)最短邊為偶數(shù)時(shí)，，解得，，，即邊上種植株花，邊上種植株花，每個(gè)三角形上種植株花，則如果每個(gè)三角形最短邊都種21株花，那么這塊綠地最少需要種植株花．23．(1)(2)見(jiàn)解析(3)當(dāng)是等腰直角三角形時(shí)，點(diǎn)，，分別為，，的中外比點(diǎn)，證明過(guò)程見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)，根據(jù)題意，得，解一元二次方程，即可求解；（2）①作線段的垂直平分線，交于點(diǎn)；②過(guò)點(diǎn)作，且；③連接；④以點(diǎn)為圓心，為半徑，畫(huà)弧，交于點(diǎn)；⑤以點(diǎn)為圓心，為半徑，畫(huà)弧，交于點(diǎn)，點(diǎn)即為線段的中外比點(diǎn)．設(shè)，根據(jù)勾股定理求得，繼而求得，，分別