高中的函數(shù)圖像大全

指數(shù)函數(shù)

概念：一般地，函數(shù)y=a^x（a>0,且arl）叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是R。

注意：1.指數(shù)函數(shù)對(duì)外形要求嚴(yán)格，前系數(shù)要為1,否則不能為指數(shù)函數(shù)。

2.指數(shù)函數(shù)的定義僅是形式定義。

指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

（1）定義域：口

性（2）值域：（0.*8）

（3）過點(diǎn)（。?1）?即，：（）時(shí)1

質(zhì)（4）在R上是增函數(shù)（4）在Rr.是減函數(shù)

規(guī)律：

1.當(dāng)兩個(gè)指數(shù)函數(shù)中的a互為倒數(shù)時(shí)，兩個(gè)函數(shù)關(guān)于丫軸對(duì)稱,但這兩個(gè)函數(shù)都不具有僉假

tto

2.當(dāng)a>l時(shí)，底數(shù)越大，圖像上升的越快，在y軸的右側(cè)，圖像越靠近y軸；

當(dāng)OVaVl時(shí)，底數(shù)越小，圖像下降的越快，在y軸的左側(cè)，圖像越靠近y軸。

在y軸右邊“底大圖高”；在y軸左邊“底大圖低”。

icr

yX

1

2

3.四字口訣：“大增小減”。即：當(dāng)a>l時(shí)，圖像在R上是增函數(shù)；當(dāng)OVaVl時(shí)，圖像在R上是減函數(shù).

4.指數(shù)函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。

比較幕式大小的方法：

1.當(dāng)?shù)讛?shù)相同時(shí)，則利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較；

2.當(dāng)?shù)讛?shù)中含有字母時(shí)要注意分類討論：

3.當(dāng)?shù)讛?shù)不同，指數(shù)也不同時(shí)，則需要引入中間量進(jìn)行比較；

4.對(duì)多個(gè)數(shù)進(jìn)行比較，可用?；?作為中間量進(jìn)行比較

底數(shù)的平移：

在指數(shù)上加上一個(gè)數(shù)，圖像會(huì)向左平移；減去一個(gè)數(shù)，圖像會(huì)向右平移。

在f(X)后加上一個(gè)數(shù)，圖像會(huì)向上平移；減去一個(gè)數(shù)，圖像會(huì)向下平移。

對(duì)數(shù)函數(shù)

1.對(duì)數(shù)函數(shù)的概念

由于指數(shù)函數(shù)y=a'在定義域(-8,+8)上是單調(diào)函數(shù)，所以它存在反函數(shù)，

我們把指數(shù)函數(shù)丫=如(2>0,aXl)的反函數(shù)稱為對(duì)數(shù)函數(shù)，并記為y=logax(a>0,a/l).

因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y二a'的定義域?yàn)?-8,+CO),值域?yàn)?0,+8),所以對(duì)數(shù)函數(shù)y=logaX的定義域?yàn)?0,+8),值

域?yàn)??8,4-00).

2.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，因此它們的圖像對(duì)稱于直線y=x.據(jù)此即可以

畫出對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像，并推知它的性質(zhì).

為了研究對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,aWl)的性質(zhì)，我們?cè)谕恢苯亲鴺?biāo)系中作出函數(shù)

y=log2X,y=logiox,y=logi0x,y=log1x,y=log?x的草圖

2io

由草圖，再結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)，可以歸納、分析出對(duì)數(shù)函數(shù)y=k)gaX(a>0,aWl)的圖像的特征和性質(zhì).

見下表.

a>la<l

X=1.X=1

圖fy：

?y=logax(a>l)

象

o

f\(lO)X

OfN.x

y=logax(0<a<1)

(l)x>0

性⑵當(dāng)x=l時(shí),y=0

質(zhì)⑶當(dāng)x>l時(shí),y>0(3)當(dāng)x>l時(shí)，y<0

0<x<l時(shí)，y<00<x<l時(shí)，y>0

(4)在(0,+8)上是增函數(shù)(4)在(0,+8)上是減函數(shù)

補(bǔ)設(shè)yi=logaXy2=logbX其中a>1,1)>1(或0<2<10<b<l)

充當(dāng)x>l時(shí)“底大圖低”即若a>b則yi>y2

性當(dāng)OVxCl時(shí)“底大圖高”即若a>b,則y>y2

質(zhì)

比較對(duì)數(shù)大小的常用方法有:

⑴若底數(shù)為同一常數(shù)，則可由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接進(jìn)行判斷.

⑵若底數(shù)為同一字母，則按對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性對(duì)底數(shù)進(jìn)行分類討論.

(3)若底數(shù)不同、真數(shù)相同，則可用換底公式化為同底再進(jìn)行比較.

(4)若底數(shù)、真數(shù)都不相同，則營(yíng)借助1、0、-1等中間量進(jìn)行比較.

3.指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)比

名稱指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)

x

一般形式y(tǒng)=a(a>0>aWl)y=logax(a>0,aWl)

定義域(-8,+8)(0,+8)

(-8,4-00)

值域(0,+°0)

當(dāng)a>l時(shí)，當(dāng)a>1時(shí)

函>l(.r>0)>O(x>l)

數(shù)

ax<=l(.r=0)log?x^=O(x=l)

值

<l(x<0)<O(x<l)

變

化當(dāng)0<a<l時(shí)，當(dāng)0<a<l時(shí)，

情<l(x>0)<0(x>1)

況

=l(x=O)log,=0(x=1)

>l(x<0)>O(x<l)

單調(diào)性當(dāng)a>l時(shí)，ax是增函數(shù)；當(dāng)a>l時(shí)，lOgaX是增函數(shù);

當(dāng)OVaVl時(shí)，a*是減函數(shù).當(dāng)OVaV1時(shí)，logaX是減函數(shù).

x

圖像y=a的和象與y=log;,x的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱.

事函數(shù)

事函數(shù)的圖像與性質(zhì)

事函數(shù)y=x”隨著〃的不同，定義域、值域都會(huì)發(fā)生變化，可以采取按性質(zhì)和圖像分類記憶的方法.熟練掌握

），二/，當(dāng)〃=±2,±1,±，,,,3的圖像和性質(zhì)，列表如下.

23

從中可以歸納出以下結(jié)論：

①它們都過點(diǎn)（1,1）,除原點(diǎn)外，任何幕函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸都不相交，任何轅函數(shù)圖像都不過第四

象限.

②〃=g,1,2,3時(shí)，基函數(shù)圖像過原點(diǎn)且在［0,+8）上是增函數(shù).

③〃=時(shí)，鬲函數(shù)圖像不過原點(diǎn)且在（0,+8）上是減函數(shù).

④何兩個(gè)尿函數(shù)最多有三個(gè)公共點(diǎn).

y=x

奇函數(shù)偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)

累函數(shù)）（XCR,a是常數(shù)）的圖像在第一象限的分布規(guī)律

是：

①所有福函數(shù)）'"丁（XGR，a是常數(shù)）的圖像都過點(diǎn)（口）；

②當(dāng)a=123,萬(wàn)時(shí)或&y=丁的副缽蹲點(diǎn)（0,0）.

③當(dāng)。=1時(shí)，>'=x"的的圖像在第一象限是第一象限的平分線（如仁）；

④當(dāng)a=2,3時(shí)，），=k的的圖像在第一豺艮是“凹型，曲線，:如G）

⑤當(dāng)"-5吐>'=1的的圖像在第一象限是“凸型”曲線（如&）

⑥當(dāng)a=-1時(shí)，>,=入”的的圖像不過^點(diǎn)、（°，°）,且在第一象限是“下滑”曲線（如的）

當(dāng)。>。時(shí)，舄僦攵丁=x“列例：

（1）圖生都通過A（°，°），（M）：

（2）在第一象限內(nèi)都是增函數(shù)；

G）在第一象限內(nèi)，時(shí)，圖象是向下凸的；°<a<1時(shí)，圖象是向上凸的；

（4）（在第一象限內(nèi)，過點(diǎn)、（口）后，圖象向右上方無(wú)限伸展。

當(dāng)a<。時(shí)，般減）'=x"<T列切拉

1）圖豺向蜩點(diǎn)（11）；

2）在第一象限內(nèi)都是減拯敝圖象是向下凸的；

3）在第一象限內(nèi)，圖象向上與''軸無(wú)限地接近：向右無(wú)限地與x軸無(wú)限地接近；

4）在第一象1艮內(nèi)，過山」）后，囤越大，圖象下落的速度越快。

無(wú)論a取任何實(shí)數(shù)，幕函數(shù)）'=x"的圖象必然經(jīng)過第一象限，并且一定不經(jīng)過第四象限。

對(duì)號(hào)函數(shù)

b

函數(shù)y=QX+-（a>0,b>0）叫做對(duì)號(hào)函數(shù)，因其在（0,+8）的圖象似符號(hào)“J”而得名，利用對(duì)號(hào)

函數(shù)的圖象及均值不等式，當(dāng)x>0時(shí)，ax+->2^（當(dāng)且僅當(dāng)ax=g即工=產(chǎn)時(shí)取等號(hào)），由此可得函數(shù)

y=ax+-（a>0,b>0,xGR+）的性質(zhì)：

當(dāng)x=J2時(shí)，函數(shù)),二辦+2(a>O,b>O,x￡R+)有最小值2、2,特別地，當(dāng)a=b=l時(shí)函數(shù)有最小值2。

VaxVa

函數(shù)v=at+2(a>0.b>0)在區(qū)間(0,J-)上是減函數(shù)，在區(qū)間(,+oo)上是增函數(shù),

xVaVa

因?yàn)楹瘮?shù)y=at+2(a>0,b>0)是奇函數(shù)，所以可得屬數(shù)y=〃x+2(a>0,b>0,xeR-)

性質(zhì)：當(dāng)x=—{5時(shí),函數(shù)y=ax+2(a>0,b>0,xER)有最大值-2^^,特別地，當(dāng)a=b=l時(shí)函數(shù)有最大值

-2。函數(shù)y=ar+2(a>0,b>0)在區(qū)間

-)上是增函數(shù)，在區(qū)間(-J-,0)上是減函

x

奇函數(shù)和偶函數(shù)

如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)X值，都有f(—X)=一(X).那么就稱f(x)為奇函數(shù).

如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)X值，都有f(一X尸f(x),那么就稱f(x)為偶函數(shù).

說明：(1)由奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義可知，只有當(dāng)f(x)的定義域是關(guān)于原點(diǎn)成對(duì)稱的若干區(qū)間時(shí)，才有可能是奇

(2)判斷是不是奇函數(shù)或偶函數(shù)，不能輕率從事，例如判斷f(x)是不易的.為了便于判斷有時(shí)可采取如下辦法:

計(jì)算f(x)+f(-x),視其結(jié)果而說明是否是奇函數(shù).用這個(gè)方法判斷此函數(shù)較為方便：f(x)

(3)判斷函數(shù)的奇偶性時(shí)，還應(yīng)注意是否對(duì)定義域內(nèi)的任何x值，

當(dāng)xHO時(shí)，顯然有f(-x)=-f(x),但當(dāng)x=0時(shí)，f(-x)=f(x)=L，f(x)為非奇非偶函數(shù).

(4)奇函數(shù)的圖象特征是關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱的中心對(duì)稱圖形；偶函數(shù)的圖象特征是關(guān)于y軸為對(duì)稱軸的對(duì)稱

圖形.

(5)函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性綜合應(yīng)月時(shí)，尤其要注意由它們的定義出發(fā)來(lái)進(jìn)行論證.

例如果函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，并且在(()，+8)上是增函數(shù)，試判斷在(一8,())上的增減性.

解設(shè)xl,x2e(-oo,0),且xlVx2Vo

則有一xl>—x2>0,

?「f(x)在(0,+8)上是增函數(shù)，.?.f(一x1)>f?(—x2)

又?.?f(x)是奇函數(shù)，，f(x)=—f(x)對(duì)任意x成立，

.'.=-f(xl)>-f(x2)

.'.f(xl)<f(x2).

，f(x)在(-8,0)上也為增函數(shù).

由此可得出結(jié)論：一個(gè)奇函數(shù)若在(0,+8)上是增函數(shù)，則在(一8,0)上也必是增函數(shù)，即奇函數(shù)在(0,+

8)上與(一8,0)上的奇偶性相同.

類似地可以證明，偶函數(shù)在(0,+8)和(一8,0)上的奇偶性恰好相反.

時(shí)，f(x)的解析式

解Vx<0,A-x>0.

乂是奇函數(shù)，—x)=-f(x).

偶函數(shù)圖象對(duì)稱性的拓廣與應(yīng)用

我們知道，如果對(duì)于函數(shù)y=f(x)定義域內(nèi)任意一個(gè)x,都有f(—x)=f(x),

那么函數(shù)y=f(