高中數(shù)學(xué)圓的方程典型例題

高中數(shù)學(xué)圓的方程典型例題

類型一：圓的方程

例1求過(guò)兩點(diǎn)、且圓心在直線上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程并判斷點(diǎn)與

圓的關(guān)系.

分析：欲求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需求出圓心坐標(biāo)的圓的半徑的大小，而要

判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，只須看點(diǎn)與圓心的距離和圓的半徑的大小關(guān)

系，若距離大于半徑，則點(diǎn)在圓外；若距離等于半徑，則點(diǎn)在圓上；若距

離小于半徑，則點(diǎn)在圓內(nèi).

解法一：(待定系數(shù)法)

設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

???圓心在上，故.

???圓的方程為.

又???該圓過(guò)、兩點(diǎn).

.f(l-w)2+16=r2

*((3-?)2+4=r

解之得：，.

所以所求圓的方程為.

解法二：(直接求出圓心坐標(biāo)和半徑)

因?yàn)閳A過(guò)、兩點(diǎn)，所以圓心必在線段的垂直平分線上，又因

為，故的斜率為1,又的中點(diǎn)為，故的垂直平分線的方程為:

即.

又知圓心在直線上，故圓心坐標(biāo)為

???半徑.

故所求圓的方程為.

又點(diǎn)PQ,4）到圓心C（-1,O）的距離為

^=|pC|=7（2+l）2+4:=V25>r.

???點(diǎn)在圓外.

說(shuō)明：本題利用兩種方法求解了圓的方程，都圍繞著求圓的圓心和半

徑這兩個(gè)關(guān)鍵的量，然后根據(jù)圓心與定點(diǎn)之間的距離和半徑的大小關(guān)系來(lái)

判定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，若將點(diǎn)換成直線又該如何來(lái)判定直線與圓的位置

關(guān)系呢？

例2求半徑為4,與圓相切，且和直線相切的圓的方程.

分析：根據(jù)問(wèn)題的特征，宜用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求解.

解：則題意，設(shè)所求圓的方程為圓.

圓與直線相切，且半徑為4,則圓心的坐標(biāo)為或.

又已知圓的圓心的坐標(biāo)為，半徑為3.

若兩圓相切，則或.

（1）當(dāng)時(shí)，，或（無(wú)解），故可得.

???所求圓方程為，或.

（2）當(dāng)時(shí)，,或（無(wú)解），故.

?,?所求圓的方程為，或.

說(shuō)明：對(duì)本題，易發(fā)生以下誤解：

由題意，所求圓與直線相切且半徑為4,則圓心坐標(biāo)為，且方程形如

.又圓，即，其圓心為，半徑為3.若兩圓相切，則.故，

解之得.所以欲求圓的方程為，或

上述誤解只考慮了圓心在直線上方的情形，而疏漏了圓心在直線

下方的情形.另外，誤解中沒(méi)有考慮兩圓內(nèi)切的情況.也是不全面的.

例3求經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與直線和都相切的圓的方程.

分析：欲確定圓的方程.需確定圓心坐標(biāo)與半徑，由于所求圓過(guò)定點(diǎn)

,故只需確定圓心坐標(biāo).又圓與兩已知直線相切，故圓心必在它們的交

角的平分線上.

解：???圓和直線與相切，

???圓心在這兩條直線的交角平分線上，

又圓心到兩直線和的距離相等.

.以一2），|卜+2），|

???兩直線交角的平分線方程是或.

又丁圓過(guò)點(diǎn)，

???圓心只能在直線上.

設(shè)圓心

,/到直線的距離等于，

???^^=5產(chǎn)+（3，一5）2.

V5

化簡(jiǎn)整理得.

解得：或

圓心是，半徑為或圓心是，半徑為.

??.所求圓的方程為或.

說(shuō)明：本題解決的關(guān)鍵是分析得到圓心在已知兩直線的交角平分線上，從

而確定圓心坐標(biāo)得到圓的方程，這是過(guò)定點(diǎn)且與兩已知直線相切的圓的方

程的常規(guī)求法.

例4.設(shè)圓滿足：(1)截軸所得弦長(zhǎng)為2；(2)被軸分成兩段弧，其

弧長(zhǎng)的比為，在滿足條件(1)(2)的所有圓中，求圓心到直線的距離最

小的圓的方程.

分析：要求圓的方程，只須利用條件求出圓心坐標(biāo)和半徑，便可求得

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.滿足兩個(gè)條件的圓有無(wú)數(shù)個(gè)，其圓心的集合可看作動(dòng)點(diǎn)的

軌跡，若能求出這軌跡的方程，便可利用點(diǎn)到直線的距離公式，通過(guò)求最

小值的方法找到符合題意的圓的圓心坐標(biāo)，進(jìn)而確定圓的半徑，求出圓的

方程.

解法一：設(shè)圓心為，半徑為.

則到軸、軸的距離分別為和.

由題設(shè)知：圓截軸所得劣弧所對(duì)的圓心角為，故圓截軸所得弦長(zhǎng)

又圓截軸所得弦長(zhǎng)為2.

=?■+1.

又「P(〃,b)到直線工-2)，=()的距離為

，5d2=\a-2t\

a~+4Zr-4ab

>?2+4Z?2-2(rz2+/?2)

=lb2-a2=\

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“二”號(hào)，此時(shí)

這時(shí)有乩』

b=-\

又產(chǎn)=26=2

故所求圓的方程為(1-1)2+(y-1)2=2或(X+1)2+(y+1)2=2

解法二：同解法一，得

八叩

V5

/.a-2b=±\[5d.

??./=4/±4j%/+5/.

將代入上式得：

2從±434+5/+1=0.

上述方程有實(shí)根，故

△=8(5]-1)20,

??dN---?

5

將代入方程得.

又J.

由知、同號(hào).

故所求圓的方程為或.

說(shuō)明：本題是求點(diǎn)到直線距離最小時(shí)的圓的方程，若變換為求面積最

小呢？

類型二：切線方程、切點(diǎn)弦方程、公共弦方程

例5已知圓，求過(guò)點(diǎn)與圓相切的切線.

解：???點(diǎn)不在圓上，

???切線P7的直線方程可設(shè)為好十-2)+4

根據(jù)d=r

.??畢絲1=2

Jl+公

解得k=^-

4

所以y=1(x-2)+4

即3x-4y+10=0

因?yàn)檫^(guò)圓外一點(diǎn)作圓得切線應(yīng)該有兩條，可見另一條直線的斜率不存

在.易求另一條切線為.

說(shuō)明：上述解題過(guò)程容易漏解斜率不存在的情況，要注意補(bǔ)回漏掉的解.

本題還有其他解法，例如把所設(shè)的切線方程代入圓方程，用判別式等

于0解決(也要注意漏解).還可以運(yùn)用，求出切點(diǎn)坐標(biāo)、的值來(lái)

解決，此時(shí)沒(méi)有漏解.

例6兩圓與相交于、兩點(diǎn)，求它們的公共弦所在直線的方

程.

分析：首先求、兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)式求直線的方程，但是求

兩圓交點(diǎn)坐標(biāo)的過(guò)程太繁.為了避免求交點(diǎn)，可以采用“設(shè)而不求”的技

巧.

解：設(shè)兩圓、的任一交點(diǎn)坐標(biāo)為，則有:

飛2+）媼+〃與+6%+6=。①

X。2+為2+。2%+后2%+6=0②

①一②得：.

V、的坐標(biāo)滿足方程.

，方程是過(guò)、兩點(diǎn)的直線方程.

又過(guò)、兩點(diǎn)的直線是唯一的.

???兩圓、的公共弦所在直線的方程為.

說(shuō)明：上述解法中，巧妙地避開了求、兩點(diǎn)的坐標(biāo)，雖然設(shè)出了

它們的坐標(biāo)，但并沒(méi)有去求它，而是利用曲線與方程的概念達(dá)到了目

標(biāo).從解題的角度上說(shuō)，這是一種“設(shè)而不求”的技巧，從知識(shí)內(nèi)容的角

度上說(shuō)，還體現(xiàn)了對(duì)曲線與方程的關(guān)系的深刻理解以與對(duì)直線方程是一次

方程的本質(zhì)認(rèn)識(shí).它的應(yīng)用很廣泛.

例7、過(guò)圓外一點(diǎn)，作這個(gè)圓的兩條切線、，切點(diǎn)分別是、

,求直線的方程。

練習(xí)：

1.求過(guò)點(diǎn)，且與圓相切的直線的方程.

解：設(shè)切線方程為，即，

??,圓心到切線的距離等于半徑，

???,解得,

???切線方程為，即，

當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線的斜率不存在時(shí)，其方程為，圓心到此直線的距離等

于半徑，

故直線x=3也適合題意。

所以，所求的直線的方程是或.

2.過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)且與圓相切的直線的方程為

解：設(shè)直線方程為，即.???圓方程可化為，，圓心為（2,-1）,半

徑為.依題意有，解得或，J直線方程為或.

3.已知直線與圓相切，則的值為

解：???圓的圓心為（1,0）,半徑為1,J,解得或.

類型三：弦長(zhǎng)、弧問(wèn)題

例8、求直線1:3x-y-6=0被圓0:/+/一2%-4y=0截得的弦A5的長(zhǎng).

例9、直線瓜-+y-26=0截圓/+y2=4得的劣弧所對(duì)的圓心角為一

解：依題意得，弦心距，故弦長(zhǎng)，從而aoAB是等邊三角形，故截得

的劣弧所對(duì)的圓心角為.

例10、求兩圓/+），一x+y-2=0和/+=5的公共弦長(zhǎng)

類型四：直線與圓的位置關(guān)系

例11、已知直線和圓，判斷此直線與已知圓的位置關(guān)系.

例12.若直線與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

解：???曲線表示半圓，，利用數(shù)形結(jié)合法，可得實(shí)數(shù)的取值范圍是

或

例13圓上到直線的距離為1的點(diǎn)有幾個(gè)？

分析：借助圖形直觀求解,或先求出直線、的方程，從代數(shù)計(jì)算中

尋找解答.

解法一：圓的圓心為，半徑.

設(shè)圓心到直線的距離為，則.

如圖，在圓心同側(cè)，與直線平行且距離為1的直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn),

這兩個(gè)交點(diǎn)符合題意.

又一〃=3-2=1.

???與直線平行的圓的切線的兩個(gè)切點(diǎn)中有一個(gè)切點(diǎn)也符合題意.

???符合題意的點(diǎn)共有3個(gè).

解法二：符合題意的點(diǎn)是平行于直線，且與之距離為1的直線和圓的

交點(diǎn).設(shè)所求直線為，則，

???，即，或，也即

,或.

設(shè)圓的圓心到直線、的距離為、，則

|3x3+4x3-6||3x3+4x3-16|

4=---/—=3,=----1---=1，

???與相切，與圓有一個(gè)公共點(diǎn)；與圓相交，與圓有兩個(gè)

公共點(diǎn).即符合題意的點(diǎn)共3個(gè).

說(shuō)明：對(duì)于本題，若不留心，則易發(fā)生以下誤解：

設(shè)圓心到直線的距離為，則.

???圓到距離為1的點(diǎn)有兩個(gè).

顯然，上述誤解中的是圓心到直線的距離，，只能說(shuō)明此直線與圓

有兩個(gè)交點(diǎn)，而不能說(shuō)明圓上有兩點(diǎn)到此直線的距離為1.

到一條直線的距離等于定值的點(diǎn)，在與此直線距離為這個(gè)定值的兩條平行

直線上，因此題中所求的點(diǎn)就是這兩條平行直線與圓的公共點(diǎn).求直線與

圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)，一般根據(jù)圓與直線的位置關(guān)系來(lái)判斷，即根據(jù)圓心與直

線的距離和半徑的大小比較來(lái)判斷.

練習(xí)1:直線與圓沒(méi)有公共點(diǎn)，則的取值范圍是

解：依題意有，解得.???,A.

練習(xí)2:若直線與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則的取值范圍

是

解：依題意有，解得，二的取值范圍是.

3.圓上到直線的距離為的點(diǎn)共有（）.

（A）1個(gè)（B）2個(gè)（C）3個(gè)（D）4個(gè)

分析：把化為，圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，所以

在圓上共有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于，所以選C.

4.過(guò)點(diǎn)作直線，當(dāng)斜率為何值時(shí)，直線與圓有公共點(diǎn)，如

圖所示.

分析：觀察動(dòng)畫演示，分析思路.

解：設(shè)直線的方程為

y+4=Z（x+3）

即

展一），+3左一4二0

根據(jù)d〈廠有

1"2+3"4|<2

石+/

整理得

35_4女=0

解得

4

0<k<-.

3

類型五：圓與圓的位置關(guān)系

問(wèn)題導(dǎo)學(xué)四：圓與圓位置關(guān)系如何確定？

例14、判斷圓與圓的位置關(guān)系，

例15:圓和圓的公切線共有條。

解：??,圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑

???兩圓相交.共有2條公切線。

練習(xí)

1:若圓與圓相切，則實(shí)數(shù)的取值集合是

解：???圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，且兩圓相切,

???或，，或，解得或，或或，，實(shí)數(shù)的取值集合是

*

2:求與圓外切于點(diǎn)，且半徑為的圓的方程.

解：設(shè)所求圓的圓心為，則所求圓的方程為.???兩圓外切于點(diǎn)，

???，J,J，，所求圓的方程為.

類型六：圓中的對(duì)稱問(wèn)題

例16.圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程是

例17自點(diǎn)發(fā)出的光線射到軸上，被軸反射，反射光線所在的直線與圓相切

（1）求光線和反射光線所在的直線方程.

（2）光線自到切點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路程.

分析、略解：觀察動(dòng)畫演示，分析思路.根據(jù)對(duì)稱關(guān)系，首先求出點(diǎn)的

對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，其次設(shè)過(guò)的圓的切線方程為

y=〃（x+3）-3

根據(jù)，即求出圓的切線的斜率為

k=—^k=—

34

進(jìn)一步求出反射光線所在的直線的方程為

4x-3y+3=0或3%一4），-3二0

最后根據(jù)入射光與反射光關(guān)于軸對(duì)稱，求出入射光所在直線方程為

4x+3y+3=0或3x+4y-3=（）

光路的距離為，可由勾股定理求得.

說(shuō)明：本題亦可把圓對(duì)稱到軸下方，再求解.

類型七：圓中的最值問(wèn)題

例18:圓上的點(diǎn)到直線的最大距離與最小距離的差是

解：:圓的圓心為（2,2）,半徑，???圓心到直線的距離，，直線

與圓相離，，圓上的點(diǎn)到直線的最大距離與最小距離的差是.

例19（1）已知圓，為圓上的動(dòng)點(diǎn)，求的最大、最小值.

（2）已知圓，為圓上任一點(diǎn).求的最大、最小值，求的最大、

最小值.

分析：（1）、（2）兩小題都涉與到圓卜.點(diǎn)的坐標(biāo)，可考慮用圓的參數(shù)方

程或數(shù)形結(jié)合解決.

解：（1）（法1）由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

可設(shè)圓的參數(shù)方程為（是參數(shù)）.

則d=x2+y2=9+6cosO+cos20+16+8sin8+sii/0

（其中）.

所以，.

（法2）圓上點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大值等于圓心到原點(diǎn)的距離加上半徑

1,圓上點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值等于圓心到原點(diǎn)的距離減去半徑1.

所以4=v32+42+1=6.

所以

（2）（法1）由得圓的參數(shù)方程：是參數(shù).

則.令，

得sin夕一fcos?=2-3/，J1+產(chǎn)sin（夕一°）=2—3f

（"娟

所以，.

即的最大值為，最小值為.

此時(shí)龍一2y=-2+cos夕一2sin6=_2+V^cos（6+4）.

所以的最大值為，最小值為.

（法2）設(shè)，則.由于是圓上點(diǎn)，當(dāng)直線與圓有交點(diǎn)時(shí)，如圖所示,

兩條切線的斜率分別是最大、最小值.

由，得.

所以的最大值為，最小值為.

令，同理兩條切線在軸上的截距分別是最大、最小值.

由，得.

所以的最大值為，最小值為.

例20:已知，，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則的最小值是

解：設(shè)，則,設(shè)圓心為，則，???的最小值為.

練習(xí)：

1:已知點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng).

（1）求H的最大值與最小值；（2）求2x+y的最大值與最小值.

x-2

解：（1）設(shè)，則表示點(diǎn)與點(diǎn)（2,1）連線的斜率.當(dāng)該直線與圓相

切時(shí)，取得最大值與最小值.由，解得，工的最大值為，最小值

為,

（2）設(shè)，則表示直線在軸上的截距,當(dāng)該直線與圓相切時(shí)，取

得最大值與最小值.由，解得，工的最大值為，最小值為.

2設(shè)點(diǎn)是圓是任一點(diǎn)，求的取值范圍.

分析一：利用圓上任一點(diǎn)的參數(shù)坐標(biāo)代替、，轉(zhuǎn)化為三角問(wèn)題來(lái)

解決.

解法一：設(shè)圓上任一點(diǎn)

則有，

/.〃cos6-sine=—(〃+2).

即+lsin(6-p)=u+2(tan(p=u)

?.g\(4+2)

??sin(6^~(p)=/?

J/+1

W4-2

<1

+1

解之得：.

分析二：的幾何意義是過(guò)圓上一動(dòng)點(diǎn)和定點(diǎn)的連線的斜率，利用

此直線與圓有公共點(diǎn)，可確定出的取值范圍.

解法二：由得：，此直線與圓有公共點(diǎn)，故點(diǎn)到直線的距離.

J/+1

解得：.

另外，直線與圓的公共點(diǎn)還可以這樣來(lái)處理：

由消去后得：，

此方程有實(shí)根，故，

解之得：.

說(shuō)明：這里將圓上的點(diǎn)用它的參數(shù)式表示出來(lái)，從而將求變量的范圍問(wèn)

題轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)來(lái)求解.或者是利用其幾何意義轉(zhuǎn)化成斜率

來(lái)求解，使問(wèn)題變得簡(jiǎn)捷方便.

3.已知點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，求的最大值和最小值.

類型八：軌跡問(wèn)題

例21、基礎(chǔ)訓(xùn)練：已知點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離的比為，求點(diǎn)的

軌跡方程.

例22.已知線段的端點(diǎn)的坐標(biāo)是（4,3）,端點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，求線

段的中點(diǎn)的軌跡方程.

例23如圖所示，已知圓與軸的正方向交于點(diǎn)，點(diǎn)在直線上運(yùn)

動(dòng)，過(guò)做圓的切線，切點(diǎn)為，求垂心的軌跡.

分析：按常規(guī)求軌跡的方法，設(shè)，找的關(guān)系非常難.由于點(diǎn)隨

,點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，可考慮，，三點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系.

解：設(shè)，，連結(jié)，，

則，，是切線，

所以，，，

所以四邊形是菱形.

所以，得

又滿足，

所以即是所求軌跡方程.

說(shuō)明：題目巧妙運(yùn)用了三角形垂心的性質(zhì)與菱形的相關(guān)知識(shí).采取代入法

求軌跡方程.做題時(shí)應(yīng)注意分析圖形的幾何性質(zhì)，求軌跡時(shí)應(yīng)注意分析與

動(dòng)點(diǎn)相關(guān)聯(lián)的點(diǎn)，如相關(guān)聯(lián)點(diǎn)軌跡方程已知，可考慮代入法.

例24已知圓的方程為，圓內(nèi)有定點(diǎn)，圓周上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)、

使，求矩形的頂點(diǎn)的軌跡方程.

分析：利用幾何法求解，或利用轉(zhuǎn)移法求解，或利用參數(shù)法求解.

解法一：如圖，在矩形中，連結(jié)，交于，顯然，，

在直角三角形中，若設(shè)，則.

由|?！啊?丑時(shí)=]磔2,即

(￡^￡了+(2^)2+(y-/>)2]=/,

也即，這便是的軌跡方程.

解法二：設(shè)、、，貝U,?

又歸。2=|4耳2,即

22222

(x-a)+(y-b)=(X)-x2)+(yi-y2)=2r-2(xix2+yxy2)?①

又與的中點(diǎn)重合，故，，即

(x+a『+(y+〃/=2，+2(邛2+X)’2)②

①+②，有.

這就是所求的軌跡方程.

解法三：設(shè)、、，

由于為矩形，故與的中點(diǎn)重合，即有

,①

,②

又由卓,號(hào)有色=T③

rcosa-a/cosp-a

聯(lián)立①、②、③消去、，即可得點(diǎn)的軌跡方程為.

說(shuō)明：本題的條件較多且較隱含，解題時(shí)，思路應(yīng)清晰，且應(yīng)充分利用圖

形的幾何性質(zhì)，否則，將使解題陷入困境之中.

本題給出三種解法.其中的解法一是幾何方法，它充分利用了圖形中隱含

的數(shù)量關(guān)系.而解法二與解法三，從本質(zhì)上是一樣的，都可以稱為參數(shù)方

法.解法二涉與到了、、、四個(gè)參數(shù)，故需列出五個(gè)方程；而解

法三中，由于借助了圓的參數(shù)方程，只涉與到兩個(gè)參數(shù)、，故只需

列出三個(gè)方程便可.上述三種解法的共同之處是，利用了圖形的兒何特征,

借助數(shù)形結(jié)合的思想方法求解.

練習(xí)：

L由動(dòng)點(diǎn)向圓引兩條切線、，切點(diǎn)分別為、，二600,則動(dòng)

點(diǎn)的軌跡方程是,

解：設(shè).丁=600,??.=300.V,???,,化簡(jiǎn)得，.?.動(dòng)點(diǎn)

的軌跡方程是.

練習(xí)鞏固：設(shè)為兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到點(diǎn)的距離的比為定

值，求點(diǎn)的軌跡.

解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為.由，得，

化簡(jiǎn)得（1一/）/+2（7（1+〃2）工+/（1—々2）=｛）.

當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)得，整理得；

當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)得.

所以當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓；

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是軸.

2.已知兩定點(diǎn)，，如果動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡所包圍的面積等

于

解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是.由，得，化簡(jiǎn)得，，點(diǎn)的軌跡是以（2,

0）為圓心，2為半徑的圓，???所求面積為.

4.已知定點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，是線段上的一點(diǎn)，且，問(wèn)點(diǎn)

的軌跡是什么？

解：設(shè).???，J,

???,??..：點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，J,J,即,???點(diǎn)的軌跡方

程是.

例5.已知定點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，的平分線交于點(diǎn)，則點(diǎn)的

軌跡方程是

解：設(shè).???是的平分線，???,.由變式1可得點(diǎn)的軌跡方程

是.

練習(xí)鞏固：已知直線與圓相交于、兩點(diǎn)，以、為鄰邊作平行

四邊形，求點(diǎn)的軌跡方程.

解：設(shè)，的中點(diǎn)為.丁是平行四邊形，???是的中點(diǎn)，，點(diǎn)的

坐標(biāo)為，且J.,直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，???,???，化簡(jiǎn)得.，點(diǎn)的

軌跡方程是.

類型九：圓的綜合應(yīng)用

例25.已知圓與直線相交于、兩點(diǎn)，為原點(diǎn)，且，求實(shí)

數(shù)的值.

分析：設(shè)、兩點(diǎn)的坐標(biāo)為、，則由，可得，再利用一元二

次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解.或因?yàn)橥ㄟ^(guò)原點(diǎn)的直線的斜率為，由直線

與圓的方程構(gòu)造以為未知數(shù)的一元二次方程，由根與系數(shù)關(guān)系得出

的值，從而使問(wèn)題得以解決.

解法一：設(shè)點(diǎn)、的坐標(biāo)為、.一方面，由，得

，即，也即：.①

另一方面，、是方程組的實(shí)數(shù)解，即、是方程②

的兩個(gè)根.

二，.③

又、在直線上，

?*,y%=5◎-F）?$（3—為）二7〔9一3（X]+x）+xXy].

■4?2}

將③代入，得.④

將③、④代入①，解得，代入方程②，檢驗(yàn)成立,

/?m=3.

解法二：由直線方程可得，代入圓的方程，有

x+?+1("+2y)(x-6y)+—(x+2y)-=0,

整理，得.

由于，故可得

(4/n-27)(上尸+4(6-3)2+12+m=0?

xx

???,是上述方程兩根.故?得

,解得.

經(jīng)檢驗(yàn)可知為所求.

說(shuō)明：求解本題時(shí)，應(yīng)避免去求、兩點(diǎn)的坐標(biāo)的具體數(shù)值,除此

之外，還應(yīng)對(duì)求出的值進(jìn)行必要的檢驗(yàn)，這是因?yàn)樵谇蠼膺^(guò)程中并沒(méi)有

確保有交點(diǎn)、存在.

解法一顯示了一種解這類題的通法，解法二的關(guān)鍵在于依據(jù)直線方程構(gòu)造

出一個(gè)關(guān)于的二次齊次方程，雖有規(guī)律可循，但需一定的變形技巧，同

時(shí)也可看出，這種方法給人以一種淋漓酣暢，一氣呵成之感.

例26.已知對(duì)于圓上任一點(diǎn)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值

范圍.

分析一：為了使不等式恒成立，即使恒成立，只須使就行了.

因此只要求出的最小值，