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文檔簡(jiǎn)介
數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀及實(shí)踐:《三角形的面積》教學(xué)設(shè)計(jì)(詳案)
師:同學(xué)們,我們上節(jié)課呢,跟工人叔叔一起研究了樓梯玻
璃的問(wèn)題,探究了平行四邊形的面積,那么現(xiàn)在這節(jié)課工人叔叔
又在忙什么呢?仔細(xì)觀察,你發(fā)現(xiàn)了哪些數(shù)學(xué)信息?
生1:我發(fā)現(xiàn)標(biāo)志牌它是三角形的,
生2:這個(gè)三角形標(biāo)志牌的底是9分米,高是7.8分米
師:根據(jù)這些信息,你都提出什么數(shù)學(xué)問(wèn)題?
生3:這塊三角形的面積是多少?
師:那也就是說(shuō)求誰(shuí)的面積?
生3:求標(biāo)志牌的。
師:這個(gè)問(wèn)題非常的有價(jià)值,我們今天就來(lái)研究三角形的面
積。(板書:三角形的面積)
制偉邇個(gè)銖分牌畬集多少十方分久的<?或?小猊水
師:同學(xué)們想一想,我們要研究三角形的面積,我們可以用
什么樣的方法來(lái)研究呢?
生[。3]1:我們可以用古代劉輝所說(shuō)的以盈補(bǔ)虛的方法。我查
資料想到的啊,
生2:因?yàn)槲覀兩瞎?jié)課學(xué)的平行四邊形的面積也用到了這種方
法,
師:我們上節(jié)課是不是研究了平行四邊形的時(shí)候,用到了以
盈補(bǔ)虛的方法,這位同學(xué)非常的會(huì)遷移。除了以盈補(bǔ)虛的方法,
我們還可以用什么方法呢?
生3:還可以用轉(zhuǎn)化的方法
帥:也就是我們用以盈補(bǔ)虛的方法轉(zhuǎn)化成了學(xué)過(guò)的圖形,是
不是這個(gè)意思???
師:那么大家繼續(xù)大膽的想一想,我們這些三角形可以轉(zhuǎn)化
成什么圖形呢?
生1:我認(rèn)為可以轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形
生2:我們還可以轉(zhuǎn)化成平行四邊形,
生3:我認(rèn)為還可以轉(zhuǎn)化成正方形
師:我發(fā)現(xiàn)了咱們同學(xué)說(shuō)的轉(zhuǎn)化成的圖形,都是已經(jīng)研究過(guò)
它們面積的圖形,那么想不想試一試啊?
師:我們看一看研究提示。請(qǐng)你讀一讀
研究提示
1.想一怨:你想把三角彩轉(zhuǎn)化成學(xué)
過(guò)的什么圖彩?
2.試一試:選擇合選的方法,將三
角彩轉(zhuǎn)化成學(xué)過(guò)的圖冊(cè).
3.說(shuō)一說(shuō):你是怎樣把三角彩轉(zhuǎn)化
或?qū)W過(guò)四彩的?小浦比
師:同學(xué)們,現(xiàn)在我們就根據(jù)我們課前準(zhǔn)備的這些學(xué)具,我
們兩位同學(xué)合作,根據(jù)研究提示,想一想可以把它轉(zhuǎn)化成什么圖
形。好,我們開(kāi)始吧。
師:同學(xué)們,有的同學(xué)已經(jīng)做好,哪一位同學(xué)先上來(lái)展示一
下。請(qǐng)你們那兩位同學(xué)。這兩位同學(xué)在展示的時(shí)候,其他同學(xué)認(rèn)
真聽(tīng),如果你有補(bǔ)充或者疑問(wèn),可以隨時(shí)問(wèn)他們。
第一組:我們是這么做的,請(qǐng)同學(xué)們看黑板。這是一個(gè)直角
三角形,我們先把直角三角形這上面這個(gè)地方剪下來(lái)。剪下來(lái)以
后呢,我們用以盈補(bǔ)虛的方法,把這個(gè)三角形補(bǔ)到這邊,補(bǔ)成一
個(gè)平行四邊形。
師:有沒(méi)有問(wèn)題。
生:我想提問(wèn)你一個(gè)問(wèn)題,你為什么要從中間這個(gè)中點(diǎn)剪呢?
生:因?yàn)樗臼且粋€(gè)三角形,把它就這樣對(duì)折一下,對(duì)折
以后才能知道它這個(gè)地方和高一樣,如果你不從這個(gè)地方剪的話,
往上一往下一點(diǎn),它這個(gè)高度不相等了。
師:有沒(méi)有問(wèn)題了。
4、湖小
師:沒(méi)有了?好,剛才這位同學(xué)講的特別的好,通過(guò)對(duì)折,
我們找到兩條邊的什么?
(生齊:中間(中點(diǎn)),然后我們就可以旋轉(zhuǎn)到右邊,拼成
一個(gè)平行四邊形。如果不找到中點(diǎn),能不能拼成平行四邊形?
帥:這兩位同學(xué)的想法特別的好,先謝謝你們。
師:那我們現(xiàn)在借助課件來(lái)說(shuō)一下剛才的想法。
生1:首先先把三角形對(duì)折,找出中點(diǎn)。再?gòu)闹悬c(diǎn)以上的區(qū)域
剪切下來(lái)。旋轉(zhuǎn)180度,移到另一邊,就找到了這個(gè)平行四邊形。
(教師課件動(dòng)圖演示)
師:他講的非常的明白,對(duì)不對(duì)?好了,除了這種方法,還
有沒(méi)有其他的方法。
第二組生:我們用對(duì)折的方法來(lái)找出這兩條邊的中點(diǎn)。然后
往上旋轉(zhuǎn)180度。變成一個(gè)長(zhǎng)方形。
生提問(wèn):如果這樣移了,面積還能一樣嗎?
生:當(dāng)然是一樣的,因?yàn)樗峭粔K東西,所以說(shuō)面積是一
樣的,它沒(méi)有增加或者減去面積不會(huì)變化,
師:還有人有疑問(wèn)嗎?咦,我們觀察一下剛才兩位同學(xué)的做
法。
師:上邊是我們是沿著兩個(gè)中點(diǎn)的連線剪下,這個(gè)也是找到
中點(diǎn),我們是怎么剪的呀?
生:做垂線
師:垂直剪對(duì)嗎?你看,兩位同學(xué)的方法不一樣,特別的有
智慧,為什么呢??jī)晌煌瑢W(xué)的想法跟古代數(shù)學(xué)家的想法是完全
樣,想不想看一看。
師:九張算術(shù)當(dāng)中記載,仔細(xì)觀察。這兩部分叫什么?
(生:盈)以盈補(bǔ)(生:虛)?轉(zhuǎn)化成了(長(zhǎng)方形)?所以兩位
同學(xué)的想法有沒(méi)有智慧???
第3組:請(qǐng)同學(xué)們看黑板。一個(gè)三角形,首先我們對(duì)折找出
中點(diǎn),然后把把它旋轉(zhuǎn)得長(zhǎng)方形。
生提問(wèn):你為什么要將它旋轉(zhuǎn)而不是平移到下邊呢?
生:如果平移的話。那就到這塊,不是長(zhǎng)方形了。
師:通過(guò)旋轉(zhuǎn)得到了學(xué)過(guò)的長(zhǎng)方形。大家看這種方法和這種
方法是不是一樣的?
帥:為什么他得出一個(gè)長(zhǎng)方形啊?原來(lái)是個(gè)什么三角形?
(生:直角三角形)
師:這邊呢?原來(lái)是不是個(gè)銳角三角形啊?所以銳角三角形
拼成了?(生:平行四邊形)直角三角形拼成了?(生:長(zhǎng)方形)
長(zhǎng)方形是不是特殊的平行四邊形???
師:方法也非常的。有沒(méi)有其他不同的方法好請(qǐng)你們來(lái)。
第4組:這里是兩個(gè)完全一樣的直角三角形,我們把它旋轉(zhuǎn)
一下,這樣就能拼成了一個(gè)平行四邊形,同學(xué)們還有什么疑問(wèn)嗎?
生:如果這樣,你怎么求一個(gè)直角三角形的面積呢?
師:這個(gè)問(wèn)題問(wèn)的好,我們一會(huì)研究,我們先看他怎么轉(zhuǎn)化
的,轉(zhuǎn)化的方法妙不妙???
師:他的方法和大家不一樣,他用了幾個(gè)三角形來(lái)轉(zhuǎn)化?而
且他剛才說(shuō)用兩個(gè)完全一樣的三角形拼成了一個(gè)平行四邊形,有
沒(méi)有跟他想法一樣的。
師:剛才兩位同學(xué)拿了兩個(gè)完全一樣的三角形拼成了一個(gè)平
行四邊形。那么兩個(gè)銳角三角形可不可以拼成一個(gè)平行四邊形
呢?有沒(méi)有拼銳角三角形的?我們看看課件。
---小:淞
師:重合的目的是為了干嘛呀?是不是完全一樣?得到了一
個(gè)?(生:平行四邊形。)
支合
AM
-4砌
師:那兩個(gè)鈍角三角形也可不可以這樣得到一個(gè)平行四邊形
啊,那你發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論呀?
生:兩個(gè)完全一樣的三角形可以拼成一個(gè)平行四邊形,
師:我們同學(xué)用了這不同的方法,都轉(zhuǎn)化成了我們學(xué)過(guò)的?
(生:圖形)
師:那么同學(xué)們啊,我們跟以前學(xué)過(guò)的知識(shí)對(duì)比,我們可以
發(fā)現(xiàn)有很多新的問(wèn)題。我們看看,剛才我們用了三種方法研究了
轉(zhuǎn)化,和以前學(xué)過(guò)的平行四邊形的轉(zhuǎn)化,你看有沒(méi)有相同的地方
???比較一下,你有什么新的發(fā)現(xiàn)?
/4sx一/iX/
生1:都利用了轉(zhuǎn)化的思維,把它轉(zhuǎn)化成以前學(xué)過(guò)的圖形,
師:他非常善于學(xué)習(xí)和總結(jié)。是不是都有轉(zhuǎn)化的思想?將?
生1:將新的圖形轉(zhuǎn)化成了已經(jīng)學(xué)過(guò)的圖形
生2:我發(fā)現(xiàn)他們都是用以盈補(bǔ)虛的方法來(lái)轉(zhuǎn)化的
帥:有沒(méi)有不同的意見(jiàn),都是以盈補(bǔ)虛嗎?
生3:我覺(jué)得可以重疊
師:重疊的目的是為了干嘛呀?
生3:為了把它變成已經(jīng)學(xué)過(guò)的圖形
師:同學(xué)們,我們上邊是不是以盈補(bǔ)虛的方法???
師:這個(gè)呢,我們沒(méi)有割下來(lái),沒(méi)有補(bǔ)到虛的地方。我們是
把兩個(gè)完全一樣的三角形拼成了一個(gè)平行四邊形,我們可以叫合
拼的方法。
師:好了,你看我們通過(guò)對(duì)比,知道了轉(zhuǎn)化是一種非常重要
的學(xué)習(xí)方法。那么同學(xué)們繼續(xù)思考,我們轉(zhuǎn)化已經(jīng)完成了。那么
轉(zhuǎn)化之后的圖形和原來(lái)的圖形,它們之間有什么樣的關(guān)系呢?(教
師手勢(shì)引導(dǎo))
師:那么三角形的面積到底應(yīng)該怎樣計(jì)算呢?
師:這個(gè)任務(wù)還需要你們自己探究。好嗎?好,請(qǐng)看探究單,
剛才我們用了三種方法,一會(huì),請(qǐng)你兩位同學(xué)合作,從每種方法
當(dāng)中選一種,然后進(jìn)行探究和推理,好了,開(kāi)始吧,
師:咱們同學(xué)的發(fā)現(xiàn)特別的多,剛才老師也搜集了咱們同學(xué)
的作品。我們一塊來(lái)交流一下行嗎?
師:我們先看這位同學(xué)的好,這是哪個(gè)小組的作品?
第一組:我們選擇的是第三種方法。請(qǐng)同學(xué)們看,這個(gè)平行
四邊形是由兩個(gè)銳角三角形組成的。所以說(shuō)兩個(gè)三角形的面積是,
平行四邊形的面積等于底X高,那我們要求一個(gè)三角形的面積,
就是再92就等于一個(gè)三角形的面積。同學(xué)們有什么疑問(wèn)嗎?
生提問(wèn):我覺(jué)得你們也可以直接求出來(lái)這個(gè)平行四邊形的面
積。因?yàn)槟銈儼l(fā)現(xiàn)了面積不變了,所以說(shuō)求出來(lái)平行四邊形的面
積就相當(dāng)于求出來(lái)這個(gè)三角形的面積。
第一組:它這是兩個(gè)三角形拼成的,我們要求一個(gè)三角形,
而不是兩個(gè),所以要+2。
師:聽(tīng)明白了嗎?底X高。2。底X高是求的誰(shuí)的面積?剛才
他解釋的特別好,我要求一個(gè)三角形的面積,所以必須+2,講的
非常好,我們掌聲。
師:我們看一下這兩位同學(xué)的想法,這是誰(shuí)的想法呀?
第二組:我們用的是第一種方法。大家可以看到這個(gè)三角形
對(duì)折以后,旋轉(zhuǎn)180度,就變成了一個(gè)平行四邊形。然后這個(gè)平
行四邊形的高相當(dāng)于這個(gè)三角形的高+2,所以我們直接就可以得
出三角形的高+2X底就是三角形的面積。大家有什么疑問(wèn)嗎?
生提問(wèn):剛才他們的方法是+2,你們?yōu)槭裁床辉?2?
第一組:因?yàn)檫@是一個(gè)三角形,他們是兩個(gè)三角形。
師:答的特別好,我再補(bǔ)充一點(diǎn)。大家看我們把三角形轉(zhuǎn)化
成平行四邊形,面積變了沒(méi)有?這個(gè)+2是指的是誰(shuí)+2?(生:
高)平行四邊形的高是不是三角形高的一半呀?所以這個(gè)小2是高
-2,我們?cè)谶@個(gè)轉(zhuǎn)化當(dāng)中面積變了沒(méi)有?所以能不能+2?
在這種方法(第三種)當(dāng)中面積變了沒(méi)有?(生:變了)變
成了幾個(gè)三角形?解答的特別好。
第三組:首先我們確定了這兩個(gè)圖形,它們雖然經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)化,
可是它們的面積沒(méi)變。然后原來(lái)三角形的高,我們覺(jué)得應(yīng)該等于
長(zhǎng)方形的長(zhǎng)。而原來(lái)三角形其中一條邊的長(zhǎng)度是等于它的寬的,
所以我們覺(jué)得應(yīng)該是底X高。
師:我也很想?yún)⑴c,大家看前兩點(diǎn)說(shuō)的非常對(duì),面積相等對(duì)
不對(duì)?剛才發(fā)現(xiàn)了面積相等,他說(shuō)原來(lái)三角形的高就是這個(gè)長(zhǎng)方
形的長(zhǎng),對(duì)不對(duì)?那么他說(shuō)原來(lái)三角形的邊長(zhǎng)等于拼成的寬,你
能不能介紹一下哪條邊的長(zhǎng)是這個(gè)長(zhǎng)方形的寬
第二組:在這個(gè)三角形中,從兩條邊的中點(diǎn)以下這一部分就
是它的寬。
師:好,沒(méi)關(guān)系,老師跟大家一起看好。我們看這個(gè)圖,大
家看本來(lái)三角形是這樣子的。我們沿著中點(diǎn)垂直減下,大家看啊。
長(zhǎng)方形的面積和原來(lái)三角形的面積沒(méi)多沒(méi)少,面積相等。長(zhǎng)方形
的長(zhǎng)是不是三角形的高?
師:達(dá)成共識(shí)了,關(guān)鍵我們來(lái)看寬。長(zhǎng)方形的寬在這條三角
形的底上,你看這個(gè)寬和這個(gè)底有什么樣的關(guān)系?是相等呢,還
是不相等,是什么樣的關(guān)系?把它兩個(gè)移到這邊來(lái)了,這兩條又
有什么關(guān)系?
生:就是我覺(jué)得他們之間這個(gè)長(zhǎng)方形寬的關(guān)系,就是這個(gè)三
角形的兩個(gè)中點(diǎn)之間的長(zhǎng)度。
師:這一塊長(zhǎng)度和這一塊長(zhǎng)度相不相等?那么這一塊跑到哪
去了?這一塊呢?
師:那么這兩部分加起來(lái)就是等于下邊這一塊對(duì)不對(duì)?那么
你說(shuō)長(zhǎng)方形的寬就是這個(gè)底邊的多少?
生:一半
師:所以它的面積應(yīng)該是底X高,還是底的一半乘高?
生:底的一半,
師:你們需要改一改。
師:我們終于把剛才我們的方法研究明白了。同學(xué)們,我們
剛才用了三種方法研究。剛才這種方法,跟古人的方法是完全
樣,我們看一下。(板書上的第二種方法)
“半廣以乘正從(zbng)”
七小沏水
師:半廣以乘正從。廣是指三角形的底。正從什么意思呢?
是指三角形的一條高。大家想想,根據(jù)剛才我們探究和這個(gè)圖,
你能不能解釋一下半廣以成正從什么意思?請(qǐng)你來(lái)說(shuō)
生1:半底乘高
生2:應(yīng)該是半底乘高就可以得出三角形的面積
生3:底+2義高
師:三個(gè)人的想法跟這個(gè)想法是完全一致。也是可以用底+2
X高得出三角形的面積。
師:我們把這三種方法一起來(lái)看一看。底X(高+2),底+
2X高,底X高+2。
師:哎,一個(gè)三角形出來(lái)三個(gè)公式,我們最好用一個(gè)公式對(duì)
不對(duì)?那你想用哪個(gè)公式?能不能用一個(gè)統(tǒng)一的公式來(lái)表示?
生1:我覺(jué)得用用最后一個(gè)公式比較好。因?yàn)榍皫讉€(gè)公式看上
去有點(diǎn)太麻煩,而這個(gè)公式知道底和高,然后再+2就可以了
帥:我也同意他的想法,我們看這三個(gè)公式里頭都有底X高
+2。用第三個(gè),你看我們把小2放在最后面,也沒(méi)有括號(hào)了,可
不可以?
師:那么三角形的面積可以怎么求了,找同學(xué)完整的說(shuō)一遍。
生:底X高+2。(教師板書)
師:如果我們底用a,表示高用h表示,面積用S表示。如果
用字母怎么表示這個(gè)面積公式你來(lái)說(shuō)
生:S=ah4-2o
師:同學(xué)們,我們剛才研究了三角形面積的計(jì)算方法。那我
們及時(shí)的進(jìn)行梳理,我們可以積累很多的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。我們來(lái)看一
看。
)什日博到專敘的然意過(guò)<1三育野面靴的緣比過(guò)祖
g/\-n
三杓今收*滋
底,X舄
師:我們看一下這一個(gè)三角形的探究過(guò)程。再和前面的平行
四邊形的探究過(guò)程比較一下,你有什么發(fā)現(xiàn)?
生[。5]1:那個(gè)三角形的面積多了一個(gè)+2
生2[。6]:相同點(diǎn)都是在不知道新知識(shí)的情況下,轉(zhuǎn)化成己
經(jīng)學(xué)過(guò)的舊知識(shí)
生3:它們都是用底X高,先算出來(lái)它這個(gè)圖形的面積。只不
過(guò)三角形的不同就是它要:2
生4:我認(rèn)為那個(gè)它們兩個(gè)的研究方式后面的都是一樣的。前
面的是要先把三角形轉(zhuǎn)化成平行四邊形
師:后邊是完全一樣,我們發(fā)現(xiàn)了轉(zhuǎn)化圖形以后。我們要找
好它們之間的關(guān)系,我們叫(教師板貼,生:尋找關(guān)系)
師:尋找關(guān)系,我們最后就可以推導(dǎo)公式。同學(xué)們,這種方
法在以后的梯形的研究過(guò)程當(dāng)中也會(huì)應(yīng)到。希望同學(xué)們?nèi)?yīng)用它。
師:方法知道了,我們會(huì)計(jì)算它的面積了嗎?能不能列式?
=制作這個(gè)標(biāo)志牌需要多少平方分米的鋁皮?
7.8X9+2=35.1(平方分來(lái))/\
■
師:剛才我們總結(jié)了他們的方法,現(xiàn)在我們就運(yùn)用三角形的
計(jì)算面積的方法,我們自己做幾道題。
師:這三道題當(dāng)中同學(xué)們可以自主選擇一道題來(lái)完成。
師:我們看一下答案,一起來(lái)對(duì)一下,全對(duì)?
師:老師有個(gè)疑問(wèn),最后這道題為什么不選13呀?
生:因?yàn)橛?jì)算三角形的公式是底義高?2,但是它那個(gè)8m
師:8m是哪個(gè)邊的高。(生:25米)
帥:也就是我們?cè)谶x擇這個(gè)底和高的時(shí)候,必須是什么樣的
一組底和高?。浚ㄉ簩?duì)應(yīng))
師:我們繼續(xù)看第二道題。在上這節(jié)課當(dāng)中我們知道了平行
四邊形玻璃的面積是0.84平方米,那如果我現(xiàn)在在玻璃上要做一
個(gè)藍(lán)色的噴繪,那這部分的面積是多少?怎么計(jì)算?沒(méi)有底和高
啦。
生:0.84+2=0.42。因?yàn)槿切蔚拿娣e,就是先求出平行四
邊形的面積再小2,平行四邊形可以分成兩個(gè)一樣的
師:平行四邊形正好包含兩個(gè)完全一樣三角形。那么但是他
剛才說(shuō)了一句話,你有沒(méi)有聽(tīng)到,他說(shuō)三角形是平行四邊形面積
的一半。能隨便說(shuō),任何一個(gè)三角形是平行四邊形面積一半嗎?
必須什么條件呀?也就是說(shuō)我們?cè)谄吹臅r(shí)候,這個(gè)底怎么
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