冪函數(shù)教學(xué)設(shè)計

2.3.1冪函數(shù)【教學(xué)三位目標】1.知識與技能通過實例，了解冪函數(shù)的概念，結(jié)合函數(shù)的圖像，了解他們的變化情況，掌握研究一般冪函數(shù)的方法和思想.2.過程與方法使學(xué)生通過觀察函數(shù)的圖像來總結(jié)性質(zhì)，并通過已學(xué)的知識對總結(jié)出的性質(zhì)進行解釋，從而達到掌握研究冪函數(shù)性質(zhì)的一般方法.3.情感、態(tài)度、價值觀通過引導(dǎo)學(xué)生主動參與作圖，分析圖像的過程，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神，在研究函數(shù)的變化過程中滲透辯證唯物主義觀點。【教學(xué)重點】冪函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì).【教學(xué)難點】將函數(shù)圖像的感性認識上升到理性認識，歸納概括成函數(shù)的性質(zhì).【教學(xué)方法與手段】自主探究，合作交流，借助多媒體【教學(xué)基本流程】從實例觀察引入課題→構(gòu)建冪函數(shù)的概念→畫出代表性函數(shù)圖像→探索簡單的冪函數(shù)性質(zhì)→總結(jié)一般性研究方法→應(yīng)用舉例和課堂練習(xí)→小結(jié)與作業(yè)【教學(xué)過程設(shè)計】（一）實例觀察，引入新課(1)如果張紅購買了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需要支付P=W元P是W的函數(shù)（y=x）(2)如果正方形的邊長為a,那么正方形的面積S=a2S是a的函數(shù)（y=x2）(3)如果正方體的邊長為a,那么正方體的體積V=a3S是a的函數(shù)（y=x3）(4)如果一個正方形場地的面積為S,那么正方形的邊長a=a是S的函數(shù)（y=）(5)如果某人ts內(nèi)騎車行進1km,那么他騎車的平均速度v=t-1V是t的函數(shù)（y=x-1）問題一：以上問題中的函數(shù)具有什么共同特征?學(xué)生反應(yīng)：底數(shù)都是自變量，指數(shù)都是常數(shù).【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生從具體的實例中進行總結(jié)，從而自然引出冪函數(shù)的一般特征.（二）類比聯(lián)想，探究新知1.冪函數(shù)的定義一般地，函數(shù)叫做冪函數(shù)(powerfunction)，其中x為自變量，a為常數(shù)。注意:冪函數(shù)的解析式必須是的形式，其特征可歸納為“系數(shù)為１，只有１項”．（讓學(xué)生判斷y=2x2y=（x+1）2y=x2+1是否為冪函數(shù)）【設(shè)計意圖】加深學(xué)生對冪函數(shù)定義和呈現(xiàn)形式的理解.2.冪函數(shù)的圖像與簡單性質(zhì)同前面的指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)一樣，先畫出函數(shù)的圖像，再由圖像來研究冪函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)（定義域，值域，單調(diào)性，奇偶性，定點）不妨也找出典型的函數(shù)作為代表：y=xy=x2y=x3y=y=x-1讓學(xué)生自主動手，在同一坐標系中畫出這5個函數(shù)的圖像問題三：所有圖像都過第幾象限，所有圖像都不過第幾象限，為什么？學(xué)生反應(yīng)：都過第一象限，而都不過第四象限，因為當(dāng)x>0時所有冪函數(shù)都有意義,且函數(shù)值都為正.問題四:第一象限內(nèi)函數(shù)圖像的變化趨勢與指數(shù)有什么關(guān)系,為什么？學(xué)生反應(yīng):當(dāng)指數(shù)為正時是增函數(shù),指數(shù)為負時是減函數(shù).為什么卻講不清楚.教師講解：指數(shù)為正分為正分數(shù)和正整數(shù)，正無理數(shù)我們高中不做研究，當(dāng)是正整數(shù)時很顯然遞增，當(dāng)是正分數(shù)時，可以化成根式，很顯然當(dāng)被開方數(shù)為正時，被開方數(shù)越大，整個根式值越大。而負指數(shù)可以化為正指數(shù)的倒數(shù)，分母遞增，整個函數(shù)遞減。問題五：所有圖像都過哪些點，為什么？學(xué)生反應(yīng)：都過點（1,1），因為1的任何指數(shù)冪都為1.問題六:對于原點，什么樣的冪函數(shù)過，什么樣的冪函數(shù)不過，為什么？學(xué)生反應(yīng)：指數(shù)為正過，為負則不過，因為負指數(shù)冪可以化成分數(shù)形式，分母不能為零，所以在原點沒有意義.問題七：圖像在第一象限的位置關(guān)系是什么樣子的，為什么？學(xué)生反應(yīng)：當(dāng)0<x<1時，指數(shù)小的圖像在上方，當(dāng)x>1時，指數(shù)大的圖像在上方，對于原因大部分學(xué)生不能很快反應(yīng)過來.教師活動：在0<x<1內(nèi)任取個x值，例如a，肯定有o<a<1,此時聯(lián)系到指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，有指數(shù)小的函數(shù)值越大，同樣，當(dāng)x>1時，指數(shù)大的函數(shù)值就大.【總結(jié)】冪函數(shù)不同于指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)擁有共同的定義域，所以冪函數(shù)的性質(zhì)不可能全部總結(jié)清楚，但我們在探索性質(zhì)的過程中知道了研究方法：指數(shù)是分數(shù)則化為根式，指數(shù)為負數(shù)則化為分式，這樣對于定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性都可以很容易看出來，不過要嚴格判斷單調(diào)性和奇偶性還要用定義進行證明,接下來不看圖像很快得出5個冪函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)：函函數(shù)性質(zhì)y=xy=x2y=x3y=y=x-1定義域RRR[0，+∞){x︱x≠0}值域R[0，+∞)R[0，+∞){y︱y≠0}單調(diào)性增(-∞,0)增[0，+∞)減增增(-∞,0)減（0+∞)減奇偶性奇偶奇非奇非偶奇公共點（1,1）【設(shè)計意圖】通過創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)學(xué)生的思維，并在新知探究的過程中自然形成一般方法的呈現(xiàn)，使學(xué)生易于領(lǐng)悟和接受.（三）新知應(yīng)用【練習(xí)1】證明冪函數(shù)y=在[0，+∞)上是增函數(shù)證明：（定義法)證法二：任取x1,x2∈［0，+∞）,且x1<x2；即所以教師活動：強調(diào)教材中此例題的地位和作用：（1）復(fù)習(xí)定義證明單調(diào)性的過程.(2)冪函數(shù)的單調(diào)性很容易觀察，強調(diào)嚴格判斷的時候要用單調(diào)性進行證明。（3）冪函數(shù)的單調(diào)性很容易觀察，以至于在證明中直接用到了單調(diào)性，如直接判斷【練習(xí)2】已知一個函數(shù)是冪函數(shù)，且在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)是減函數(shù)，求滿足條件的實數(shù)m的集合。解：依題意,得解方程,得m=2或m=-1檢驗:當(dāng)m=2時,函數(shù)為符合題意.當(dāng)m=-1時，不合題意,舍去.所以m=2【設(shè)計意圖】增強學(xué)生對新知的應(yīng)用能力，從而達到能力的轉(zhuǎn)型和對知識理解的深化.【練習(xí)3【練習(xí)3】如圖所示，曲線是冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象，已知k分別取四個值-1、1、1/2、2，則相應(yīng)圖象依次為:________解題思路：一般地，冪函數(shù)的圖象在直線x=1的右側(cè)，大指數(shù)在上，小指數(shù)在下，在Y軸與直線x=1之間正好相反。那么C4<C3<C2<C1,所以本題所對函數(shù)圖像依次為C4、C2、C3、C1。【設(shè)計意圖】增強學(xué)生對新知的應(yīng)用能力，并學(xué)會從圖像中找規(guī)律，更好的解題。（四）課堂小結(jié)，歸納提升（1）知識總結(jié)：回顧冪函數(shù)的定義和一些簡單的冪函數(shù)性質(zhì).（2）思想方法：主要涉及到了歸納總結(jié)的思想，回顧研究一般具體冪函數(shù)的可行方法.（五）課后作業(yè)，鞏固訓(xùn)練P79習(xí)題2.3：1