2024-2025學(xué)年人教版數(shù)學(xué)八年級下冊 第17章 勾股定理 基礎(chǔ)卷

勾股定理基礎(chǔ)卷

選擇題（共4小題）

1.下列各組數(shù)據(jù)中能作為直角三角形的三邊長的是（）

A.V3,V4,V5B.1,V2,V3C.4,5,6D.1,1,V3

2.如圖所示，一根樹在離地面5米處斷裂，樹的頂部落在離底部12米處.樹折斷之前（）米.

3.如圖，長方形A8CD中，48=3,AD=1,AB在數(shù)軸上，若以點A為圓心，AC的長為半徑畫弧交數(shù)軸

于點則點M表示的數(shù)為（）

A.V5B.V5-1C.V10D.V10-1

4.如圖，小明用4個全等且面積為6的直角三角形和1個小正方形剛好拼成一個面積為25的大正方形則

每一個直角三角形的周長為（）

A.6B.12C.13D.25

—.填空題（共4小題）

5.如圖，在水池的正中央有一根蘆，池底長10尺，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊，它

的頂端恰好到達(dá)池邊的水面則這根蘆葦?shù)拈L度是.

6.如圖，一架25m長的梯子斜靠在一面豎直的墻上，這時，梯子底端距墻底端距離BC=0.7m,如果梯

子的頂端沿墻下滑04小則梯子底端2將向外移m.

7.在△ABC中，若NA=90°,AB=2,BC=4,則AC的長為.

8.如圖，在△ABC中，NC=2N8,A￡）_LBC,垂足為。,AB=5,AZ）=3,則AC=.

三.解答題(共4小題)

9.在△ABC中，NC=90°,

(1)若NA=30°,BC=3,貝i]A8=,AC=

(2)若/A=45°,BC=3,貝ijA8=,AC=

10.如圖，在△ABC中，ZACB=90°,ZA=30°,C￡?_LA8于點Q,如果8c=4,求A。的長.

11.如圖，AB=4,BD=12,8=13,AC=3,AB1AC.

(1)求證：BCLBD；

(2)求四邊形的面積.

12.如圖，折疊長方形ABC。，使點8落在對角線AC上的點尸處，若BC=12,AB=5,求:

(1)求線段CE的長；

(2)求△(?￡尸的面積.

勾股定理基礎(chǔ)卷

參考答案與試題解析

一.選擇題（共4小題）

題號1234

答案BCDB

選擇題（共4小題）

1.下列各組數(shù)據(jù)中能作為直角三角形的三邊長的是（）

A.V3,V4,V5B.1,V2,V3C.4,5,6D.1,1,V3

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷.

【解答】解：A、..?（遍/+（V4）2=7中（遙產(chǎn)，.?.不能構(gòu)成直角三角形，不符合題意；

8、：）2+12=34（遮）2,.?.能構(gòu)成直角三角形，符合題意；

C、：42+52=41/62,.?.不能構(gòu)成直角三角形，不符合題意；

。、???12+12=2#（8）2,.?.不能構(gòu)成直角三角形，不符合題意，

故選：B.

【點評】本題考查了勾股定理的逆定理，掌握利用勾股定理的逆定理判斷能否構(gòu)成直角三角形是解題的

關(guān)鍵.

2.如圖所示，一根樹在離地面5米處斷裂，樹的頂部落在離底部12米處.樹折斷之前（）米.

A.10mB.15mC.18mD.20m

【分析】根據(jù)圖形，可以知道兩直角邊的長度，從而構(gòu)造直角三角形，根據(jù)勾股定理就可求出斜邊的長.

【解答】W：V52+122=169,

.\V169=13,

.?.13+5=18（米）.

樹折斷之前有18米.

故選：C.

【點評】此題考查了勾股定理的應(yīng)用.培養(yǎng)同學(xué)們利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力，觀察題目的信息

是解題以及學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵.

3.如圖，長方形ABC。中，AB=3,AD=l,AB在數(shù)軸上，若以點A為圓心，AC的長為半徑畫弧交數(shù)軸

于點M,則點M表示的數(shù)為()

A.V5B.V5-1C.V10D.V10-1

【分析】先計算出AM的長度，AM的長度即為AC的長度，結(jié)合矩形的性質(zhì)和直角三角形勾股定理即

可解答.

【解答】解：：四邊形ABC。是矩形，AD=1,

：.BC^AD=1,/ABC=90°.

VZABC=90°,BC=\,AB=3,

.,.AC=V32+I2=V10,

；.AM=AC=V10,

...點M■所表示的數(shù)為JIU-1.

故選：D.

【點評】此題考查的是勾股定理，關(guān)鍵是分析題意，結(jié)合矩形的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行解答.

4.如圖，小明用4個全等且面積為6的直角三角形和1個小正方形剛好拼成一個面積為25的大正方形則

每一個直角三角形的周長為()

A.6B.12C.13D.25

【分析】設(shè)直角三角形直角邊的長分別a,b,斜邊長為c,根據(jù)題意，結(jié)合圖形求出而與/+戶的值,

原式利用完全平方公式化簡后代入計算即可求出值.

【解答】解：設(shè)直角三角形直角邊的長分別a,b(a>b),斜邊長為c,

根據(jù)題意得：c2—a2+b2—25,4x=4x6=24,即2ab=24,

則(a+b)2=a2+2ab+b2=25+24—49,(a-b)2—a2-2ab+b2—25-24=1,

.（a+b—7

,，la-6=1'

.[a=4

F=3，

'/c——V25=5,

，每個直角三角形的周長為5+4+3=12,

故選：B.

【點評】此題考查了勾股定理的證明，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵.

二.填空題（共4小題）

5.如圖，在水池的正中央有一根蘆，池底長10尺，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊，它

的頂端恰好到達(dá)池邊的水面則這根蘆葦?shù)拈L度是13尺.

【分析】找到題中的直角三角形，設(shè)水深為無尺，根據(jù)勾股定理解答.

【解答】解：設(shè)水深為x尺，則蘆葦長為（x+1）尺，

10

根據(jù)勾股定理得：7+（萬）2=（尤+1）2,

解得：尤=12,

蘆葦?shù)拈L度=x+l=12+l=13（尺），

故答案為：13尺.

【點評】本題考查正確運(yùn)用勾股定理.在應(yīng)用勾股定理解決實際問題時，勾股定理與方程的結(jié)合是解決

實際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖.領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合

的思想的應(yīng)用.

6.如圖，一架2.5m長的梯子斜靠在一面豎直的墻上，這時，梯子底端距墻底端距離BC=07n,如果梯

子的頂端沿墻下滑04〃，則梯子底端B將向外移0.8m.

【分析】根據(jù)勾股定理求出AC的長得出4C的長，再根據(jù)勾股定理求出B1C的長即可求解.

【解答】解：如圖，由題意可知，AB^AiBi=2.5m,BC=0.7m,AAi=0.4m,ZACB=90°,

在RtaABC中，由勾股定理得，

AC=7AB2-BC2=^2.52-0.72=2.4(m),

；.AiC=AC-A4i=2.4-0.4=2(m),

在Rt/XAiBiC中，由勾股定理得，

BiC=.B/一人也2=J2.52-22=1.5(m),

：.BB]=BiC-BC^1.5-0.7=0.8(m),

即梯子底端8將向外移0.8加，

故答案為：0.8.

【點評】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟記勾股定理是解題的關(guān)鍵.

7.在△ABC中，若NA=90°,AB=2,2C=4,則AC的長為2g.

【分析】根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

【解答】解：在△ABC中，ZA=90°,AB=2,8C=4,

；.AC=yjBC2-AB2=V42-22=2后

故答案為：26

【點評】本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

25

8.如圖，在△ABC中，NC=2/B,ADLBC,垂足為。，AB=5,A￡)=3,則AC=—.

-8-

【分析】根據(jù)/C=2N8作出輔助線，證明全等三角形，將AC轉(zhuǎn)化為AE,根據(jù)勾股定理列方程求解

即可.

【解答】解：在8。上取一點E,使得。E=C￡),

VADXBC,

ZADE=ZAZ)C=90°,

AZAED=ZC,AE=ACf

VZC=2ZB,

???NAED=2/B,

ZAED=NB+NBAE,

：.ZB=ZBAEf

：.BE=AE,

VAB=5,AD=3,

.'.Z)B=V52-32=4,

設(shè)3E=AE=x,貝!)ED=4-x,

???在RtAAED中，AE1=AD2+ED1,

即/=32+(4-x)2,解得x=餐,

25

：.AE=AC=^-.

25

故答案為：".

【點評】此題考查勾股定理，解題關(guān)鍵是作出輔助線，根據(jù)勾股定理列方程求解.

三.解答題(共4小題)

9.如圖，在△A8C中，ZC=90°,ZA=30°,

(1)若BC=3,則48=6,AC=_3V3_；

(2)若AC=3,求A8和BC的長.

BC

【分析】(1)根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)求解的長，再利用勾股定理可求得AC的長;

(2)根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得A8=2BC,再利用勾股定理可求得AB,AC的長.

【解答】解：(1)在△ABC中，NC=90°,ZA=30°,

VBC=3,

：.AB=2BC=6,

：

.AC=7AB2-BC2=462-32=3A/3,

故答案為：6；3V3；

(2)在△ABC中，NC=90°,NA=30°,

：.AB2-BC2^AC2,AB=2BC,

：AC=3,

(2BC)2-BC2=32,

解得BC=V3,

：.AB=2BC=2V3.

【點評】本題主要考查含30。角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，掌握含30°角的直角三角形的性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵.

10.如圖，在△ABC中，ZACB=90°,NA=30°,CD_LAB于點。，如果8C=4,求A。的長.

【分析】先在Rt^ABC中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得A8=8,ZB=60°,再根據(jù)垂直

定義可得/CDB=90°,從而可得NBC￡)=30°,然后在中，利用利用含30度角的直角三角

形的性質(zhì)可得8。=2,從而利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計算，即可解答.

【解答】解：VZACB=90°,ZA=30°,BC=4,

.,.AB=22C=8,48=90°-ZA=60",

'：CD±AB,

：.ZCDB=90°,

；./BCD=90°-ZB=30°,

1

：.BD=^BC=2f

：.AD=AB-BD=S-2=6.

【點評】本題考查了含30度角的直角三角形，直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形進(jìn)

行分析是解題的關(guān)鍵.

11.例如圖，AB=4,BD=n,CZ)=13,AC=3,AB±AC.

(1)求證：BCLBD-,

(2)求四邊形的面積.

【分析】(1)先根據(jù)勾股定理求出的長度，然后根據(jù)勾股定理的逆定理，即可證明BCLBD

(2)根據(jù)四邊形ABC。的面積=的面積的面積列式計算即可求解.

【解答】解：(1)：AB=4,AC=3,AB±AC,

BC=y/AB2+AC2=V42+32=5,

又BD=12,C￡)=13,

：.BD2+BC2=CD2,

：.BC±BD；

(2)四邊形ABC。的面積=4ABC的面積+4BC。的面積

11

=^x4X3+jx5X1