湖南省長(zhǎng)沙市岳麓實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期7月期末數(shù)學(xué)試題 含解析

高二期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題1.某次會(huì)議安排甲、乙等六人的座位在第一排的號(hào)，其中甲的座位號(hào)為奇數(shù)，乙的座位號(hào)為偶數(shù)，且甲、乙不相鄰，則這六人不同的座位安排方法種數(shù)為（）A.48B.96C.128D.186【答案】B【解析】【分析】根據(jù)甲的座位號(hào)為奇數(shù)，乙的座位號(hào)為偶數(shù)分類結(jié)合乘法原理及排列數(shù)計(jì)算即可.【詳解】先安排甲、乙，若甲坐1號(hào)座位，則乙可以坐4號(hào)或6號(hào)座位；若甲坐3號(hào)座位，則乙可以坐6號(hào)座位；若甲坐5號(hào)座位，則乙可以坐2號(hào)座位，共有4種安排方法．在甲和乙的座位確定了的情況下，其余四人的座位安排方法有種，故這六人不同的座位安排方法種數(shù)為．故選：B．2.若直線是曲線與的公切線，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)直線與函數(shù)和的圖象相切于點(diǎn)和，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得切線方程，列出方程組，結(jié)合斜率公式，即可求解.【詳解】設(shè)直線與函數(shù)的圖象相切于點(diǎn)，與的圖象相切于點(diǎn)，因?yàn)椋?，，則曲線在處的切線方程為，曲線在處的切線方程為，第1頁(yè)/共26頁(yè)所以，解得，所以.故選：C.3.已知正方體的棱長(zhǎng)為2EFG分別為是（）①直線與直線垂直；②直線與平面平行；③點(diǎn)C與點(diǎn)G到平面的距離相等；④平面截正方體所得的截面面積為．A①②B.②③C.②④D.③④【答案】C【解析】【分析】由即為直線與直線所成的角，即可判斷①；對(duì)于②，連接，由線面平行的判定即可判斷②；由平面不過(guò)的中點(diǎn)即可判斷③；先找出截面，再計(jì)算面積即可判斷④.得即為直線與直線所成的角，連接AC平面ABCD與直線不垂直，故①不正確；第2頁(yè)/共26頁(yè)平面，平面，平面，所以∥平面，故②正確；對(duì)于③，若點(diǎn)C與點(diǎn)G到平面的距離相等，則平面必過(guò)的中點(diǎn)，連接交于不是的中點(diǎn)，則平面不過(guò)的中點(diǎn)，即點(diǎn)C與點(diǎn)G到平面的距離不相等，③不正確；對(duì)于④，因?yàn)?，，所以等腰梯形即為平面截正方體所得的截面，則，之間的距離為，則面積為，故④正確.故選：C.4.已知單位向量，滿足，則（）A.1B.2C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積得出向量的模長(zhǎng)即可.【詳解】因?yàn)樗?第3頁(yè)/共26頁(yè)故選：D.5.已知正方體的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)為，矩形內(nèi)（包括邊界）的點(diǎn)滿足，記直線與平面所成線面角為.當(dāng)最大時(shí)，過(guò)直線做平面平行于直線，則此時(shí)平面截正方體所形成圖形的周長(zhǎng)為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】作出圖形，分析可知，點(diǎn)在矩形內(nèi)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓在矩形與圓弧相切于點(diǎn)時(shí)，邊長(zhǎng)，相加可得出截面的周長(zhǎng).【詳解】如下圖所示：因?yàn)榫匦蝺?nèi)（包括邊界）的點(diǎn)滿足，則點(diǎn)在矩形內(nèi)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓在矩形內(nèi)的圓弧，第4頁(yè)/共26頁(yè)設(shè)直線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，因?yàn)槠矫妫瑒t平面，所以，與平面所成的角為，由圖可知，當(dāng)與圓弧相切于點(diǎn)時(shí)，最大，即取最大值，連接，則，易知，則，所以，是等腰直角三角形，則，在矩形中，，則，又因?yàn)?，所以，是等腰直角三角形，則，所以，，因?yàn)榍遥仕倪呅螢槠叫兴倪呅?，則，設(shè)平面分別交棱、于點(diǎn)、，連接,因?yàn)?，平面，平面，則，故，設(shè)截面分別交直線、于點(diǎn)、，因?yàn)?，，，所以，，因?yàn)槠矫妫矫?，則，設(shè)，，則，同理可得，故為等腰直角三角形，易知，而，則，則為的中點(diǎn)，所以，，則，故，因?yàn)椋?，則為等腰直角三角形，所以，，則，第5頁(yè)/共26頁(yè)因?yàn)槠矫?，、平面，則，，則，所以，，同理可得，故截面截正方體所得截面的周長(zhǎng)為，故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：計(jì)算線面角，一般有如下幾種方法：（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理，得到線面垂直，進(jìn)而確定線面角的垂足，明確斜線在平面內(nèi)的射影，即可確定線面角；（2）在構(gòu)成線面角的直角三角形中，可利用等體積法求解垂線段的長(zhǎng)度，從而不必作出線面角，則線面角滿足（（3為直線的方向向量，的正弦值為.6.已知的定義域?yàn)榈闹涤驗(yàn)闃拥暮瘮?shù)的個(gè)數(shù)為（）A.1B.2C.3D.無(wú)數(shù)個(gè)【答案】A【解析】【分析】求導(dǎo)得到單調(diào)區(qū)間，計(jì)算極值，畫(huà)出函數(shù)圖像，根據(jù)則，解得或，，解得或，得到，，再計(jì)算最值得到答案.【詳解】，，當(dāng)和時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減.第6頁(yè)/共26頁(yè)為函數(shù)的極小值，為函數(shù)的極大值，畫(huà)出函數(shù)圖像，如圖所示：的值域?yàn)榈淖蛹瑒t，解得或；，解得或，，故且，，，，當(dāng)，，，故；當(dāng)，，故，此時(shí)，不成立；當(dāng)，，不成立；綜上所述：，故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中利用，得到，，可以縮小范圍，簡(jiǎn)化運(yùn)算，是解題的關(guān)鍵.7.已知等差數(shù)列的公差的前項(xiàng)和取得最小值，則首項(xiàng)的取值范圍是A.B.第7頁(yè)/共26頁(yè)C.D.【答案】D【解析】【詳解】試題分析：利用三角函數(shù)的降冪公式將條件轉(zhuǎn)化為再利用和差化積公式轉(zhuǎn)化，求得，從而可求得等差數(shù)列的公差，根據(jù)即可求得首項(xiàng)的取值范圍．∵為等差數(shù)列，，，∵時(shí)，數(shù)列的前項(xiàng)和取得最小值，，故選D考點(diǎn)：數(shù)列與三角函數(shù)的綜合；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．【方法點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列與三角函數(shù)的綜合，利用三角函數(shù)的降冪公式與和差化積公式求得是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，繼而可求出，問(wèn)題迎刃而解，突出化歸思想與函數(shù)與方程思想的考查，屬于難題．8.如圖正方體的棱長(zhǎng)為1，A，B分別為所在棱的中點(diǎn)，則四棱錐的外接球的表面積為（）第8頁(yè)/共26頁(yè)A.B.C.D.【答案】C【解析】得外接球半徑，即可求得答案.【詳解】以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸，以與垂直的棱為y軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則,設(shè)四棱錐的外接球球心為，半徑為R，則，第9頁(yè)/共26頁(yè)解得，即外接球球心為，，驗(yàn)證，符合題意，即四棱錐的外接球，其表面積為，故選：C二、多選題9.下面關(guān)于敘述中正確的是（）A.關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B.關(guān)于直線對(duì)稱C.在區(qū)間上單調(diào)D.函數(shù)的零點(diǎn)為（）【答案】AC【解析】【分析】由題意利用正弦函數(shù)的對(duì)稱性，單調(diào)性及零點(diǎn)逐項(xiàng)判斷，得出結(jié)論【詳解】對(duì)于函數(shù)，令，求得，可得它的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故正確、不正確．區(qū)間上，,單調(diào)遞增，故正確．令，得函數(shù)的零點(diǎn)為，故不正確，故選：AC．10.已知函數(shù)，則（）A.在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)B.0是的極小值點(diǎn)第10頁(yè)/共26頁(yè)C.在區(qū)間內(nèi)存在極大值D.在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】BCD【解析】A附近，分析、、正負(fù)，時(shí)，時(shí)，所以是極小值點(diǎn)即可判斷B；對(duì)求導(dǎo)．在內(nèi)，分析各項(xiàng)正負(fù)，判斷是否存在極大值即可判斷C；在上，分析正負(fù)，再分析各項(xiàng)正負(fù)，得，單調(diào)遞減即可判斷D．【詳解】對(duì)于A：函數(shù)，令，則或或，解得，，，，在區(qū)間內(nèi)，不存在上述使的值，所以在區(qū)間內(nèi)不存在零點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：當(dāng)在附近時(shí)，，在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，，，所以；當(dāng)時(shí)，，在附近正負(fù)交替，但，所以是的極小值點(diǎn)，故B正確；對(duì)于C：函數(shù)的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，，，，，且在內(nèi)，隨著的變化，會(huì)先大于后小于，則在區(qū)間內(nèi)存在極大值，故C正確；對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，，，，則，，第11頁(yè)/共26頁(yè)在上，，，，；，，，；，，，，即，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，故D正確．故選：BCD．已知，用表示不超過(guò)的最大整數(shù)．若函數(shù)，函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)是奇函數(shù)B.函數(shù)的值域是C.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D.方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根【答案】BD【解析】【分析】借助函數(shù)奇偶性定義判斷選項(xiàng)A；通過(guò)列舉作出函數(shù)及的圖象判斷選項(xiàng)B；舉特例判斷選項(xiàng)C；通過(guò)函數(shù)的取值分類討論判斷選項(xiàng)D.【詳解】由題知，函數(shù)定義域?yàn)?，，所以函?shù)為偶函數(shù)，由得，所以函數(shù)是偶函數(shù).故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，第12頁(yè)/共26頁(yè)；所以函數(shù)的圖象如圖所示：由的解析式及圖象可知：當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以是的一個(gè)周期，所以函數(shù)的值域是，故B正確；由，，所以，所以函數(shù)的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱.故C錯(cuò)誤；第13頁(yè)/共26頁(yè)對(duì)于方程，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；所以方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，故D正確.故選：BD.三、填空題12.函數(shù)在處取得極大值-1，則______.【答案】5【解析】【分析】利用函數(shù)極值點(diǎn)的定義列方程，解方程組即可.【詳解】因?yàn)?，所以，則，解得，，則.故答案為：5【點(diǎn)睛】本題考查了極值點(diǎn)以及極值的定義，解題的關(guān)鍵是求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.13.已知均為正實(shí)數(shù)，函數(shù)．（1）若的圖象過(guò)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_____；（2）若的圖象過(guò)點(diǎn)，且恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為_(kāi)_____．【答案】①.9②.【解析】1）由的圖象過(guò)點(diǎn)得，根據(jù)基本不等式“1”的妙用計(jì)算即可；（2）由的圖象過(guò)點(diǎn)得，進(jìn)而得出，利用換元法及基本第14頁(yè)/共26頁(yè)不等式即可求得的最大值，即可得出的最小值．的圖象過(guò)點(diǎn)得，，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．（2）由恒成立得，，因?yàn)榈膱D象過(guò)點(diǎn)，則，即，當(dāng)時(shí)，不合題意舍，所以，即，則，則由得，所以，設(shè)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，則時(shí)，等號(hào)成立，故答案為：9；．的圖象過(guò)點(diǎn)得出的齊次式，換元后根據(jù)基本不等式計(jì)算可得．14.平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，，，當(dāng)四邊形的周長(zhǎng)最小時(shí)，的外接圓的方程為_(kāi)________．第15頁(yè)/共26頁(yè)【答案】【解析】的周長(zhǎng)關(guān)于軸上的點(diǎn)與和距離之和最小時(shí)，四邊形的周長(zhǎng)也最小．利用直線方程的求法，可得時(shí)，四邊形的周長(zhǎng)最?。畯亩玫降淖鴺?biāo)，再用圓方程的一般式，求出經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的圓方程，從而得到的外接圓的方程．【詳解】四邊形的周長(zhǎng)為，只需求出的最小值時(shí)的值.由于，表示軸上的點(diǎn)與和距離之和，只需該距離和最小即可.可得該距離最小為和間距離，令,故,所以直線方程為，令，得，所以.由以上討論，得四邊形的周長(zhǎng)最小時(shí)，，.設(shè)過(guò)三點(diǎn)的圓方程為.解得.故外接圓的方程為.故答案為：四、解答題15.如圖，在多面體中，四邊形是正方形，∥，，，，，為的中點(diǎn)．第16頁(yè)/共26頁(yè)（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）求二面角的大?。敬鸢浮浚?）見(jiàn)解析;（2）見(jiàn)解析;（3）【解析】1）設(shè)與交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，，，四邊形為平行四邊形，，而平面，平面;（2）由四邊形為正方形，有，又，，而，平面，，又為的中點(diǎn)，，平面，又，又，平面;（3），平面，在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，則為二面角的一個(gè)平面角，第17頁(yè)/共26頁(yè)設(shè)，則，又，,，二面角為.16.如圖，在平行四邊形ABCD中，∠D=60°，E為CD的中點(diǎn)，且AE=CE，現(xiàn)將平行四邊形沿AE折疊成四棱錐P-ABCE.（1）已知為的中點(diǎn)，求證：.（2）若平面平面，求二面角的余弦值.【答案】（12）.【解析】1）取AE中點(diǎn)N，連結(jié)EM，MN，證明面PMN，即可證明；，N為原點(diǎn)，分別為xy軸，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求解.1）證明：第18頁(yè)/共26頁(yè)取AE中點(diǎn)N，連結(jié)EM，MN，由于翻折前E為CD中點(diǎn)，∴.∵,△ADE為等邊三角形，∵N為AE中點(diǎn)，∴.同理可證：△AME為等邊三角形，故.又，∴面PMN，∴.（2）因?yàn)槠矫嫫矫媲医挥贏E，，所以平面，而平面,所以，又，，可以以N為原點(diǎn)，分別為x軸，y軸，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，第19頁(yè)/共26頁(yè)不妨設(shè)AB=4，則，，所以，設(shè)為平面EPC的一個(gè)法向量，則,即，不妨設(shè)，則.同理可求：平面EPB的一個(gè)法向量設(shè)二面角的平面角為，顯然，所以，即二面角的余弦值為【點(diǎn)睛】立體幾何解答題的基本結(jié)構(gòu)：(1)第一問(wèn)一般是幾何關(guān)系的證明，用判定定理；(2)計(jì)算．17.已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)解，且，求證：．【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）；（3）證明見(jiàn)解析.【解析】1）先求函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.（2）利用分離參數(shù)整理不等式，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)并結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系求解即可.第20頁(yè)/共26頁(yè)（3）由（1）大致作函數(shù)圖象，利用函數(shù)與方程的關(guān)系進(jìn)一步確定參數(shù)的范圍，整理不等式，分別構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合不等式性質(zhì)證明即可.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)定義域?yàn)?，求?dǎo)得，由，得或；由，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于，設(shè)，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.【小問(wèn)3詳解】當(dāng)時(shí)，，由（1）知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而，則，且，由，且切點(diǎn)，得曲線在處的切線為，由，切點(diǎn)，得曲線在處的切線為，設(shè)，求導(dǎo)得，設(shè)，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，第21頁(yè)/共26頁(yè)當(dāng)時(shí)，；時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，在上恒成立，設(shè)直線與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，則，則，，同理得，所以，得證.18.已知函數(shù)．（1）若為的極小值點(diǎn)，求a的取值范圍；（2）若有唯一的極值，證明：，．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】1）將函數(shù)求導(dǎo)之后，討論的取值范圍，進(jìn)而判斷的單調(diào)性和極值的情況，由為的極小值點(diǎn)，求出最終的取值范圍；（2）當(dāng)，為唯一的極值，得，即證，，構(gòu)造新函數(shù)，求，即可證明結(jié)論成立.【小問(wèn)1詳解】.①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞誠(chéng)，在上單調(diào)遞增，所以為極小值點(diǎn)．②當(dāng)時(shí)，由得或．（?。┊?dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn)；第22頁(yè)/共26頁(yè)（ⅱ）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以為的極小值點(diǎn)；（ⅲ）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞誠(chéng)，在上單調(diào)遞增，所以為的極大值點(diǎn)，綜上，a的取值范圍是．【小問(wèn)2詳解】根據(jù)（1）可知，為唯一的極值，所以，所以．所以即證，．設(shè)，則