中考數(shù)學高頻考點專項練習：二次函數(shù)綜合訓練 （三）

中考數(shù)學高頻考點專項練習：專題十一二次函數(shù)綜合訓練

1.如圖，某校的圍墻由一段相同的凹曲拱組成，其拱狀圖形為拋物線的一部分，柵欄的跨徑

A3間，按相同間隔0.2米用5根立柱加固，拱高。。為0.36米，則立柱ER的長為()

A.0.4米B.0.16米C.0.2米D.0.24米

2.如圖，一次函數(shù)％=x與二次函數(shù)%=依2+〃x+c圖象相交于尸、Q兩點，則函數(shù)

y=?%2+3-l)x+c的圖象可能是()

3.某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴大銷售，增加

盈利，盡快減少庫存，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價1

元，商場平均每天可多售出2件.有下列結論：

①降價8元時，數(shù)量為36件.

②若商場平均每天要盈利1200元，每件襯衫應降價10元.

③商場平均每天盈利最多為1250元.

正確結論的個數(shù)是()

A.OB.lC.2D.3

4.已知點A(a,2),8(42),C(c,7)都在拋物線y=(x-l)?一2上，點A在點3左側，下列選項

正確的是()

A.若c<0,則a<c<Z?B.若c<0,則a</?<c

C.若c>0,貝D.若c>0,則a<Z?<c

5.如圖，在"BC中，ZB=90。，AB=4cm,3c=8cm.動點P從點A出發(fā)，沿邊A3向點3以

Icm/s的速度移動（不與點3重合），同時動點。從點3出發(fā)，沿邊向點C以2cm/s的

速度移動（不與點C重合）.當四邊形APQC的面積最小時，經(jīng)過的時間為（）

A.lsB.2sC.3sD.4s

6.如圖①，點A,B是O上兩定點，圓上一動點P從圓上一定點3出發(fā)，沿逆時針方向勻速

運動到點A,運動時間是x（s）,線段AP的長度是y（cm）.圖②是y隨x變化的關系圖象，則圖

中冽的值是（）

C.6

3唁

N,C三點的坐標分別為g1

7.如圖，在平面直角坐標系中，M,(3,1),(3,0),點A為線段

上的一個動點，連接AC,過點A作AS,AC交y軸于點3,當點A從〃運動到N時，點

3隨之運動.設點3的坐標為（0"）,則人的取值范圍是（）

919

C.--<b<-D.—<b<l

424

8.我們定義一種新函數(shù)：形如y=|62+法+4（。。0,/—4a>0）的函數(shù)叫做“鵲橋”函數(shù).數(shù)學

興趣小組畫出一個，鵲橋”函數(shù)y=,+法+c|的圖象如圖所示，則下列結論正確的是（）

B.當x=l時，函數(shù)的最大值是4

C.當直線y=與該圖象恰有三個公共點時，則加=1

D.關于x的方程,+bx+c\=3的所有實數(shù)根的和為4

9.如圖，等邊△ABC的邊長為4cm,直線/經(jīng)過點A且直線AC,直線/從點A出發(fā)沿

A-C以lcm/s的速度向點C移動，直到經(jīng)過點C即停止，直線/分別與A3或交于點

M,與AC交于點N,若△4VW的面積為'(cm?),直線/的移動時間為x(s),則下面最能反

映y與x之間函數(shù)關系的大致圖象是()

10.如圖，一名學生推鉛球，鉛球行進高度y(單位：m)與水平距離x(單位：m)之間的關

系是y=-2(x-10)(x+4),則鉛球推出的距離OA=m.

0Ax/m

11.如圖1,拋物線的頂點為M平行于x軸的直線與該拋物線交于點A,5（點A在點8左側），根據(jù)

對稱性恒為等腰三角形,我們規(guī)定:當AAA因為直角三角形時，就稱為該拋物線

的“完美三角形”.如圖2,則拋物線丁=龍的“完美三角形"斜邊AB的長.

12.如圖，拋物線y=/+2尤-3與x軸交于A,B兩點,與y軸交于點C,點尸是拋物線對稱軸

上任意一點，若點。，E,E分別是BC,BP,PC的中點，連接。E,DF,則DE+Q廣的最小

①abc<0；

②4ac>0；

③a+Z?+c=0；

?am2+bm<（a-2b^（其中—）；

⑤若和3（%2，%）均在該函數(shù)圖象上，且西〉》2>1，則X〉%.

14.某班級在一次課外活動中設計了一個彈珠投箱子的游戲（長方體無蓋箱子放在水平地面

上）.同學們受游戲啟發(fā)，將彈珠抽象為一個動點，并建立了如圖所示的平面直角坐標系（X

軸經(jīng)過箱子底面中心，并與其一組對邊平行，矩形。EFG為箱子的截面示意圖），某同學將

彈珠從A（1,O）處拋出，彈珠的飛行軌跡為拋物線L:y=o?+bx+|（單位長度為1m）的一部

分，且當彈珠的高度為士m時，對應的兩個位置的水平距離為2m.已知。E=lm,

2

EF=—m,ZM=4.7m.

2

歹八

M\、

DEOAx

（1）求拋物線L的解析式和頂點坐標.

（2）請通過計算說明該同學拋出的彈珠能投入箱子.

（3）若彈珠投入箱內(nèi)后立即向左上方彈起，沿與拋物線L形狀相同的拋物線M運動，且無

阻擋時最大高度可達則彈珠能否彈出箱子？請說明理由.

2

15.如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=g—+6x+c的圖象經(jīng)過點4（0,2）,與軸的交點

為點以"0）和點C

（1）求這個二次函數(shù)的表達式；

（2）點E,G在y軸正半軸上，OG=2OE,點。在線段。C上，以線段

0E為鄰邊作矩形。。在，連接GD,設OE=a.

①連接RC,當△GOD與△￡0（?相似時，求的值；

②當點。與點C重合時，將線段GD繞點、G按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60。后得到線段GH,連接

FH,FG,將△GFH繞點口按順時針方向旋轉(zhuǎn)W180。）后得到△G'FH',點G,H的

對應點分別為G'、H',連接DE當△G'EH'的邊與線段DE垂直時，請直接寫出點H'的橫坐

標.

答案以及解析

1.答案：C

解析：如圖，以C坐標系的原點，0C所在直線為y軸建立坐標系,

由題知，圖象過6(0.6,0.36),

代入得：0.36=0.36。，

...Q=1,

??y=%2.

R點橫坐標為-0.4,

二當x=-0.4時，y=0.16,

.?衣=0.36-0.16=0.2米.

故選：C.

2.答案：A

解析：點P在拋物線上，設點+fcv+c),又因點P在直線y=x上，

x=ax2+bx+c,

ax2+(〃-l)x+c=0；

由圖象可知一次函數(shù)y=x與二次函數(shù)丁=以2+法+。交于第一象限的P、Q兩點,

方程ox?+(6-l)x+c=0有兩個正實數(shù)根.

函數(shù)y=?2+(。一i)x+c與x軸有兩個交點，

b

又--->0,。>0,

2。

b-1/71_

=+——>0,

2a--2a2a

〃一]

二.函數(shù)y=?2+(。一i)x+c的對稱軸x=------->0,

2a

??.A符合條件，

故選A.

3.答案：C

解析：每件襯衫每降價1元，商場平均每天可多售出2件，

二降價8元時，每天售出的件數(shù)為：20+2x8=36(件)，故①正確，符合題意；

設每件襯衫應降價x元，則每天多銷售2x件，

由題意得：(40-%)(20+2x)=1200,

整理得：工2—30%+200=0,

解得：X]=10,x2—20,

盡快減少庫存，

.'.x=20,

二若商場平均每天要盈利1200元，每件襯衫應降價20元，故②錯誤，不符合題意；

設商場每天的盈利為w元，

由題意得：w=(40-%)(20+2x)=-2x2+60%+800=-2(%-15)2+1250,

a=—2<0,

.?.當x=15時，w最大為1250元，故③正確，符合題意；

綜上所述，正確的有①③，共2個，

故選：C.

4.答案：D

解析：拋物線y=(x-1--2的對稱軸為直線x=l,且開口向上，,當x>l時，y隨x的增大

而增大，當％<1時，y隨x的增大而減小.點A(a,2),3(42)都在拋物線y=(x--2上，

點A在點3左側，:.a<Q,/?>0.若0<0,yA<yc>:.a>c,:.c<a<b,故選項A,B都

不符合題意.若c>0,?「為<”"，:?Ob，，a<b<c，故選項C不符合題意，選項D符合題

思.

5.答案：B

解析：設運動時間為xs,四邊形APQC的面積為yen?,則AP=xcm,3Q=2xcm,

BP=^-x)cm,y=SAABC-S^PBQ=^BCAB-^BQBP,即

22

y=lx8x4-1x2xx(4-x)=x-4.r+16=(x-2)+12,.?.當x=2時，y有最小值，為12,故選B.

6.答案：D

解析：根據(jù)圖②得：當x=2時，y=AP=6,此時AP為:。的直徑；當兀=加時，

y=AP=3,

.?.圓的半徑OA=Q3=^AP=3,

2

當尤=0時，AP=AB=3母,

OA2+OB2^AB2,

鉆是等腰直角三角形，

當P點走到點A,O,P三點共線的位置，即點M處時，如圖，

圖①

此時點P走過的弧長為％1"兀.=之兀(而,

1802

3jr3JT

點P的運動速度為—4-2=—cm/s,

24

,當x=加時，y=AP=3,

止匕時OA=OB=AP=3,

此時△AOP是等邊三角形，

ZAOP=60°,

、r,,i,>(180-60+90)XKX37

.?.當y=3時n，點P走過的3弧NT長為---------』-----=-

1802

73〃14

m=—7T4-——=—.

243

故選：D.

7.答案：B

解析：如圖，延長交y軸于尸點，則軸.連接CN.

在與川。!中，

[ZAPB=ZCNA=90°

|/PAB=ANCA=90°-/CAN

:./\PAB\/\NCA,

.PBPA

??麗一麗‘

設9=x,則Ai4=PN—刈=3—天，設尸B=y,

3-x1

Q-l<0,1<x<3,

.?.X=3時，y有最大值2,此時6=1-2=一9,

2444

當x=3時，y有最小值0,此時。=1,

「2的取值范圍是-」4641.故選：B.

4

8.答案：D

解析：(-1,0),(3,0)是函數(shù)圖象和x軸的交點,

l-Z?+c=0

9+3/?+c=0

b——2

解得：，

c--3

be=(-2)x(-3)=6>0,

故A錯誤；

由圖象可得，函數(shù)沒有最大值，故B錯誤；

如圖，當直線y=與該圖象恰有三個公共點時，應該有2條直線,

關于x的方程+Z?x+c|=3,即無2—2%—3=3或X?—2%—3=—3,

一2

當x-2x-3—3日寸，X]+X,=——=2,

一2

當x~-2x-3-—3日寸，/+%=——=2,

二關于x的方程尸+法+4=3的所有實數(shù)根的和為2+2=4,故D正確,

故選：D.

9答案:C

解析：過點3作AC于點。，

等邊AABC的邊長為4cm,

AB=BC=AC=4cm,AD=CD=2cm,

BD=A/42-22=2同cm）,

???Sw=；A?3D=2Gcm2,

.，直線/LAC,

J.MNUBD,

由題意得：AN-xcm,

CN=AC-AN=（4-x）cm,

如圖1,當0<xW2時，

mi

：.Z\AMN^/\ABD,

網(wǎng)］,即3=仕］

SAABDLAD；2GUJ

解得>=且必，此函數(shù)圖象是開口向上的拋物線的一部分;

2

如圖2,當2<%<4時，

MNCNMN4-x

——=——，即m一產(chǎn)=----,

BDCD2也2

解得MN=_A+4A/L

:.y=^AN.MN=-瓜+4坨=-與x?+2底,此函數(shù)圖象是開口向下的拋物線的一部

分；

觀察四個選項可知，只有選項C符合題意，

故選：C.

10.答案：10

解析：令y=o,則0=—,(x—10)(x+4),解得X］=10,%=—4,故OA=10m.

1L答案：2.

解析:過點3作BNLx軸于N,如圖所示：

圖2

由題意得△495為等腰直角三角形，

.?.NABO=45。，

AB//x軸，

:ABON是等腰直角三角形，

設點3坐標為(“,“)，

點5在拋物線丁=必上，

/.n2=n,

，"=1或九=0(不合題意,舍去)

.,.點3坐標為(1,1),

.,.點A坐標為

:.AB=2.

故答案為2

12.答案：逆

2

解析：連接AG交對稱軸于點P,則此時PC+M最小，點、D,E,尸分別是BP,PC

的中點，.?.?￡?=」PC,DF=--PB,拋物線y=/+2無-3與x軸交于A,3兩點，由

22

0=*+2X-3,解得占=-3,三=1,A(-3,0),3(1,0).則04=3.當x=0時，丫=一3,C(0,-3),

故CO=3,AC=PB+PC=3y/2,故DE+0式的最小值為逑.

2

解析：拋物線的對稱軸為直線x=-g,且拋物線與x軸的一個交點坐標為(-2,0),

拋物線與x軸的另一個交點坐標為(1,0),

把(一2,0)(1,0)代入y=依?+fov+c(Qw0),可得：

4〃一2b+c=0

V,

a+b+c-Q

解得J",

c=-2a

.\a+b+c=a-\-a-2a=0,故③正確;

拋物線開口方向向下，

:.a<Q,

:.b—a<Q,c——2Q>0,

abc>0,故①錯誤；

拋物線與x軸兩個交點，

.,.當y=0時，方程加+區(qū)+°=0有兩個不相等的實數(shù)根,

:.b2-4ac>0,故②正確；

am2+bm=am2+am=a(m+—)2——a,

24

a—2Z?—ci—2Q=—a9

13

/.am2+bm-(a-2b)=4z(m+—)2+—tz,

3^〃<0,m手—，

2

1

4z(m+—)9<0,-6Z<0,

4

即am2+Zwt<(〃-2Z?)(其中mw-g),故④正確；

拋物線的對稱軸為直線%=-工，且拋物線開口朝下,

2

.?.可知二次函數(shù)，在九〉時，y隨工的增大而減小，

2

?1

'/Xj>%2——,

;.%<%,故⑤錯誤，

正確的有②③④，共3個，

故答案為：3.

2

14.答案：(1)y=-1(x+l)+2,(-1,2)

(2)該同學拋出的彈珠能投入箱子，理由見解析

(3)不能，理由見解析

3

解析：(1)當光=0時，y=j,

當彈珠的高度為3m時，對應的兩個位置的水平距離為2m.

2

結合題圖可知拋物線L過點(-2,1),

33

把(1,0),(-2,—)分別代入y+/7X+—,

3八

〃+/77+—=01

a-——

得2c,解得<2,

33

4a-2b+-=-b=-l

22

13

拋物線L的解析式為y=-1x2-x+1.

-y=--x2-%+—=-—(%+1)~+2,

222V'

：.拋物線L的頂點坐標為(-1,2).

(2)由題意得，G(-3.7,1),F(-2.7,1).

令丁=工，^——x2—x+—=—,

2222

解得/=—1+A/3,x2=—1—A/3.

-3.7<-l-V3<-2.7,

,該同學拋出的彈珠能投入箱子.

(3)不能.

13

2

理由如下：^~-—x-x+-=0,解得%i=-3,x2-l,

拋物線L與x軸負半軸交于點(-3,0).

由題意可設拋物線M的解析式為y=—-獷+g,把(-3,0)代入,

解得％=-4,h2=-2.

拋物線M的對稱軸在直線x=-3左側,

h=—49

2

：.拋物線M的解析式為y=-1(x+4)+1.

191

當x=—3.7時，y=--(-3.7+4)~+-=0.455<0.5,

故彈珠不能彈出箱子.

15.答案：(l)y=g無2_瓜+2

(2)2坦+3或2#1+近或6

解析：(1)二次函數(shù)y=g/+6x+c的圖象經(jīng)過點A(O,2),與軸的交點為點8(如,0),

c=2

"1+痘+2=0'

b=-y/3

解得：

c=2

止匕拋物線的解析式為y=底+2

(2)①令y=o,則#-氐+2=0

解得：%或%=2瓜，

???C(2A/3,0)

。。=2s

OE=a,OG=2OE,OD=/OE

OG=2a,OD=6a

四邊形ODRE為矩形，

.-.EF=0D=6a,FD=0E=a

■-E(0,a),D(6a,0),F(6a,a),G(0,2a)

■-CD=OC-OD=2^>-yl3a

I當△G(9￡)s△田c時,

OGFD

OD-CD

2a_a

yfici2-\/3—y/3ci

3

??———

2

II當/\GO4ACDF時，

OGCD

OD~FD

2a2~\[^-y/3ci

拒aa

6

??a=一

5

綜上，當△GOD與△EDC相似時，的值為|■或￡；

②點。與點C重合，

-OD=OC=243

OE=2,OG=2OE=4,EF=0D=26DF=OE=2

：.EG=OE=2

EG//DF,

四邊形GEL正為平行四邊形,

22

FG=DE=slOE+OD=百+0耳=4,

:.ZGFE=30°,

ZEGF=6Q°,

ZDGH=6Q°,

:.ZEGF=ZDGH,

:.ZOGD=ZFGH.

在徵。。和徵融中,

G0=GF=4

<