2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué)蘇教版必修5講義第二章2．2等差數(shù)列

eq\a\vs4\al(等差數(shù)列)第一課時(shí)等差數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式(1)等差數(shù)列的定義是什么？(2)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式怎樣表示？(3)如何判定一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列？eq\a\vs4\al([新知初探])1．等差數(shù)列的定義如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)減去它的前一項(xiàng)所得的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示．[點(diǎn)睛](1)“從第二項(xiàng)起”是指第1項(xiàng)前面沒(méi)有項(xiàng)，無(wú)法與后續(xù)條件中“與前一項(xiàng)的差”相吻合．(2)“每一項(xiàng)減去它的前一項(xiàng)所得的差”這一運(yùn)算要求是指“相鄰且后項(xiàng)減去前項(xiàng)”，強(qiáng)調(diào)了：①作差的順序；②這兩項(xiàng)必須相鄰．(3)定義中的“同一個(gè)常數(shù)”是指全部的后項(xiàng)減去前一項(xiàng)都等于同一個(gè)常數(shù)，否則這個(gè)數(shù)列不能稱為等差數(shù)列．2．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d.定義通項(xiàng)公式an－an－1＝d(n≥2)an＝a1＋(n－1)d(n∈N*)[點(diǎn)睛]由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝a1＋(n－1)d可得an＝dn＋(a1－d)，如果設(shè)p＝d，q＝a1－d，那么an＝pn＋q，其中p，q是常數(shù)．當(dāng)p≠0時(shí)，an是關(guān)于n的一次函數(shù)；當(dāng)p＝0時(shí)，an＝q，等差數(shù)列為常數(shù)列．eq\a\vs4\al([小試身手])1．下列數(shù)列是等差數(shù)列的是________(填序號(hào))．①5,5,5,5,5；②3,7,11,15,19；③－2，－1,0,2,4,6.解析：①所給數(shù)列是首項(xiàng)為5，公差為0的等差數(shù)列．②所給數(shù)列是首項(xiàng)為3，公差為4的等差數(shù)列．③因?yàn)?－(－1)≠2－0，所以這個(gè)數(shù)列不是等差數(shù)列．綜上，①②為等差數(shù)列．答案：①②2．已知等差數(shù)列{an}中，首項(xiàng)a1＝4，公差d＝－2，則通項(xiàng)公式為_(kāi)_______．解析：∵a1＝4，d＝－2，∴an＝4＋(n－1)×(－2)＝6－2n.答案：an＝6－2n3．已知等差數(shù)列{an}的前三項(xiàng)依次為a－1，a＋1,2a＋3，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_______．解析：由題意知：a＋1－(a－1)＝2a＋3－(a＋1)，即2＝a＋2，∴a＝0.答案：04．在－1和8之間插入兩個(gè)數(shù)a，b，使這四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則公差為_(kāi)_______．解析：由已知a－(－1)＝b－a＝8－b＝d，∴8－(－1)＝3d，∴d＝3.答案：3等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及應(yīng)用[典例]在等差數(shù)列{an}中，(1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1與d；(2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9.[解](1)∵a5＝－1，a8＝2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋4d＝－1，,a1＋7d＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－5，,d＝1.))(2)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d.由已知得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a1＋5d＝12，,a1＋3d＝7，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d＝2.))∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1，∴a9＝2×9－1＝17.在等差數(shù)列{an}中，首項(xiàng)a1與公差d是兩個(gè)最基本的元素，有關(guān)等差數(shù)列的問(wèn)題，如果條件與結(jié)論間的聯(lián)系不明顯，則均可化成有關(guān)a1，d的關(guān)系列方程組求解，但是要注意公式的變形及整體計(jì)算，以減少計(jì)算量．[活學(xué)活用]1．在等差數(shù)列{an}中，a2＝2，a3＝4，則a10＝________.解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，依題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋d＝2，,a1＋2d＝4.))由此解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝0，,d＝2.))所以a10＝a1＋9d＝18.答案：182．已知等差數(shù)列{an}中，a15＝33，a61＝217，試判斷153是不是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，如果是，是第幾項(xiàng)？解：設(shè)首項(xiàng)為a1，公差為d，則an＝a1＋(n－1)d，由已知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋15－1d＝33，,a1＋61－1d＝217，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－23，,d＝4.))所以an＝－23＋(n－1)×4＝4n－27，令an＝153，即4n－27＝153，解得n＝45∈N*，所以153是所給數(shù)列的第45項(xiàng).等差數(shù)列的判定與證明[典例]已知數(shù)列{an}滿足a1＝4，an＝4－eq\f(4,an－1)(n>1)，記bn＝eq\f(1,an－2).求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；[證明]∵bn＋1－bn＝eq\f(1,an＋1－2)－eq\f(1,an－2)＝eq\f(1,4－\f(4,an)－2)－eq\f(1,an－2)＝eq\f(an,2an－2)－eq\f(1,an－2)＝eq\f(an－2,2an－2)＝eq\f(1,2)，又∵b1＝eq\f(1,a1－2)＝eq\f(1,2)，∴數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為eq\f(1,2)，公差為eq\f(1,2)的等差數(shù)列．要判定或證明一個(gè)數(shù)列{an}是等差數(shù)列，主要是利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，證明an＋1－an＝d(常數(shù))．[活學(xué)活用]判斷下列數(shù)列是否為等差數(shù)列．(1)在數(shù)列{an}中an＝3n＋2；(2)在數(shù)列{an}中an＝n2＋n.解：(1)an＋1－an＝3(n＋1)＋2－(3n＋2)＝3(n∈N*)，由n的任意性知，這個(gè)數(shù)列為等差數(shù)列．(2)an＋1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2，不是常數(shù)，所以這個(gè)數(shù)列不是等差數(shù)列.等差數(shù)列通項(xiàng)公式的綜合應(yīng)用題點(diǎn)一：求通項(xiàng)公式中的未知項(xiàng)1．在等差數(shù)列{an}中，首項(xiàng)a1＝1，公差d≠0，若7ak＝a1＋a2＋…＋a7，則k＝________.解析：因?yàn)閍1＋a2＋…＋a7＝7a1＋21d＝7＋21d，而ak＝1＋(k－1)d，所以7ak＝7＋7(k－1)d，所以7＋7(k－1)d＝7＋21d，即k＝4.答案：4題點(diǎn)二：求通項(xiàng)公式中公差的范圍2．在等差數(shù)列{an}中，首項(xiàng)a1＝1，且從第10項(xiàng)起開(kāi)始比2大，則公差d的取值范圍為_(kāi)_______．解析：由an＝1＋(n－1)d，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a10>2，,a9≤2，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋9d>2，,1＋8d≤2))所以eq\f(1,9)<d≤eq\f(1,8).答案：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,9)，\f(1,8)))題點(diǎn)三：求通項(xiàng)公式中共同項(xiàng)3．等差數(shù)列{an}中，a1＝1，公差d＝4，若存在另一等差數(shù)列{bm}，bm＝3m－1，它們的項(xiàng)數(shù)均為100，則它們有多少對(duì)相同的項(xiàng)．解：顯然，通項(xiàng)分別為an＝4n－3，bm＝3m－1(m，n∈N*，且1≤n≤100,1≤m≤100)，令an＝bm，得4n－3＝3m－1，即n＝eq\f(3m＋2,4).由m，n∈N*,1≤n≤100,1≤m≤100，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1≤\f(3m＋2,4)≤100，,1≤m≤100，))所以m＝2,6,10，…，98.所以共有25對(duì)相同項(xiàng)．等差數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用主要使用的是方程思想，要注意公式使用時(shí)的準(zhǔn)確性與合理性，更要注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性，遇到一些復(fù)雜的方程組時(shí)，要注意整體代換思想的運(yùn)用，使運(yùn)算更加便捷．層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1．若等差數(shù)列{an}中，公差d＝eq\f(3,4)，a28＝eq\f(57,4)，則首項(xiàng)為_(kāi)_______．解析：a28＝a1＋27×eq\f(3,4)＝eq\f(57,4)，所以a1＝－6.答案：－62．若數(shù)列{an}滿足條件：an＋1－an＝eq\f(1,2)，且a1＝eq\f(3,2)，則a30＝________.解析：由已知得數(shù)列{an}是以a1＝eq\f(3,2)為首項(xiàng)，d＝eq\f(1,2)為公差的等差數(shù)列．∴an＝a1＋(n－1)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)＋eq\f(1,2)n－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)n＋1.∴a30＝eq\f(1,2)×30＋1＝16.答案：163．在等差數(shù)列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，則a6＝________.解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋2d＝7，,a1＋4d＝a1＋d＋6.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝3，,d＝2.))∴an＝a1＋(n－1)d＝3＋(n－1)×2＝2n＋1.∴a6＝2×6＋1＝13.答案：134．在等差數(shù)列{an}中，已知a3＋a8＝10，則3a5＋a7＝________.解析：設(shè)公差為d，則a3＋a8＝2a1＋9d＝10，∴3a5＋a7＝4a1＋18d＝2(2a1＋9d)＝20.答案：205．已知等差數(shù)列{an}中，a2＝6，a5＝15，若bn＝a2n，則b15等于________．解析：設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝a1＋d＝6，,a5＝a1＋4d＝15，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝3，,d＝3，))∴an＝3＋3(n－1)＝3n，bn＝a2n＝6n，∴b15＝6×15＝90.答案：906．正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足：a1＝1，a2＝2,2aeq\o\al(2,n)＝aeq\o\al(2,n＋1)＋aeq\o\al(2,n－1)(n∈N*，n≥2)，則a7＝________.解析：因?yàn)?aeq\o\al(2,n)＝aeq\o\al(2,n＋1)＋aeq\o\al(2,n－1)(n∈N＋，n≥2)，所以aeq\o\al(2,n)－aeq\o\al(2,n－1)＝aeq\o\al(2,n＋1)－aeq\o\al(2,n)＝d，所以數(shù)列{aeq\o\al(2,n)}是以aeq\o\al(2,1)＝1為首項(xiàng)，以d＝aeq\o\al(2,2)－aeq\o\al(2,1)＝3為公差的等差數(shù)列，所以aeq\o\al(2,n)＝1＋3(n－1)＝3n－2，所以an＝eq\r(3n－2)，n≥1，所以a7＝eq\r(3×7－2)＝eq\r(19).答案：eq\r(19)7．已知遞增的等差數(shù)列{an}滿足a1＝1，a3＝aeq\o\al(2,2)－4，則an＝________.解析：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則由a3＝aeq\o\al(2,2)－4，得1＋2d＝(1＋d)2－4，∴d2＝4，∴d＝±2.由于該數(shù)列為遞增數(shù)列，∴d＝2.∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.答案：2n－18．如果有窮數(shù)列a1，a2，…，am(m為正整數(shù))滿足條件：a1＝am，a2＝am－1，…，am＝a1，那么稱其為“對(duì)稱”數(shù)列．例如數(shù)列1,2,5,2,1與數(shù)列8,4,2,4,8都是“對(duì)稱”數(shù)列．已知在21項(xiàng)的“對(duì)稱”數(shù)列{cn}中，c11，c12，…，c21是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，則c2＝________.解析：因?yàn)閏11，c12，…，c21是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以c20＝c11＋9d＝1＋9×2＝19，又{cn}為21項(xiàng)的對(duì)稱數(shù)列，所以c2＝c20＝19.答案：199．已知等差數(shù)列{an}的前三項(xiàng)和為－3，前三項(xiàng)的積為8，求等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．解：設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a，公差為d，則a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a1＋3d＝－3，,a1a1＋da1＋2d＝8.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝2，,d＝－3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－4，,d＝3.))所以an＝－3n＋5或an＝3n－7.10．已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝eq\f(2an,an＋2)，則數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是否為等差數(shù)列？說(shuō)明理由．解：數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差數(shù)列，理由如下：因?yàn)閍1＝2，an＋1＝eq\f(2an,an＋2)，所以eq\f(1,an＋1)＝eq\f(an＋2,2an)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,an)，所以eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝eq\f(1,2)(常數(shù))．所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是以eq\f(1,a1)＝eq\f(1,2)為首項(xiàng)，公差為eq\f(1,2)的等差數(shù)列．層級(jí)二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1．等差數(shù)列0，－2，－4，…，－2016的項(xiàng)數(shù)是________．解析：根據(jù)題意，知等差數(shù)列0，－2，－4，…，－2016的首項(xiàng)為0，公差為－2，所以an＝0－2(n－1)＝2－2n.由2－2n＝－2016，解得n＝1009.答案：10092．已知{an}為等差數(shù)列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，則公差d＝________.解析：根據(jù)題意得：a7－2a4＝a1＋6d－2(a1＋3d)＝－a1＝－1，∴a1＝1.又a3＝a1＋2d＝1＋2d＝0，∴d＝－eq\f(1,2).答案：－eq\f(1,2)3．在數(shù)列{an}中，a1＝3，且對(duì)于任意大于1的正整數(shù)n，點(diǎn)(eq\r(an)，eq\r(an－1))都在直線x－y－eq\r(3)＝0上，則an＝________.解析：由題意得eq\r(an)－eq\r(an－1)＝eq\r(3)，所以數(shù)列{eq\r(an)}是首項(xiàng)為eq\r(3)，公差為eq\r(3)的等差數(shù)列，所以eq\r(an)＝eq\r(3)n，an＝3n2.答案：3n24．?dāng)?shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為－2，公差為4的等差數(shù)列．若an＝bn，則n的值為_(kāi)_______．解析：an＝2＋(n－1)×3＝3n－1，bn＝－2＋(n－1)×4＝4n－6，令an＝bn，得3n－1＝4n－6，∴n＝5.答案：55．設(shè)數(shù)列{an}，{bn}都是等差數(shù)列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么數(shù)列{an＋bn}的第37項(xiàng)為_(kāi)_______．解析：設(shè)等差數(shù)列{an}，{bn}的公差分別為d1，d2，則(an＋1＋bn＋1)－(an＋bn)＝(an＋1－an)＋(bn＋1－bn)＝d1＋d2，所以數(shù)列{an＋bn}仍然是等差數(shù)列，公差為d1＋d2.又d1＋d2＝(a2＋b2)－(a1＋b1)＝100－(25＋75)＝0，所以數(shù)列{an＋bn}為常數(shù)列，所以a37＋b37＝a1＋b1＝100.答案：1006．已知△ABC內(nèi)有2016個(gè)點(diǎn)，其中任意三點(diǎn)不共線，把這2016個(gè)點(diǎn)加上△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，共2019個(gè)點(diǎn)作為頂點(diǎn)組成互不相疊的小三角形，則一共可組成小三角形的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．解析：設(shè)△ABC內(nèi)有n個(gè)點(diǎn)時(shí)，小三角形有an個(gè)．現(xiàn)增加一個(gè)點(diǎn)，則此點(diǎn)必落入某一個(gè)小三角形內(nèi)，且此點(diǎn)把此小三角形分成三個(gè)與原來(lái)所有小三角形都不相疊的三個(gè)小三角形，故總數(shù)多出了兩個(gè)，即an＋1＝an＋2.因此，數(shù)列{an}是以a1＝3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，于是a2016＝3＋(2016－1)×2＝4033.答案：40337．甲、乙兩人連續(xù)6年對(duì)某縣農(nóng)村養(yǎng)雞業(yè)規(guī)模進(jìn)行調(diào)查，提供兩個(gè)不同的信息圖如圖所示．甲調(diào)查表明：從第1年每個(gè)養(yǎng)雞場(chǎng)出產(chǎn)1萬(wàn)只雞上升到第6年平均每個(gè)養(yǎng)雞場(chǎng)出產(chǎn)2萬(wàn)只雞．乙調(diào)查表明：由第1年養(yǎng)雞場(chǎng)個(gè)數(shù)30個(gè)減少到第6年10個(gè)．請(qǐng)您根據(jù)提供的信息說(shuō)明，求(1)第2年養(yǎng)雞場(chǎng)的個(gè)數(shù)及全縣出產(chǎn)雞的總只數(shù)；(2)到第6年這個(gè)縣的養(yǎng)雞業(yè)比第1年是擴(kuò)大了還是縮小了，并說(shuō)明理由．解：由題干圖可知，從第1年到第6年平均每個(gè)養(yǎng)雞場(chǎng)出產(chǎn)的雞只數(shù)成等差數(shù)列，記為數(shù)列{an}，公差為d1，且a1＝1，a6＝2；從第1年到第6年的養(yǎng)雞場(chǎng)個(gè)數(shù)也成等差數(shù)列，記為數(shù)列{bn}，公差為d2，且b1＝30，b6＝10；從第1年到第6年全縣出產(chǎn)雞的總只數(shù)記為數(shù)列{cn}，則cn＝anbn.(1)由a1＝1，a6＝2，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,a1＋5d1＝2，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d2＝0.2))?a2＝1.2.由b1＝30，b6＝10，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b1＝30，,b1＋5d2＝10，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b1＝30,d2＝－4))?b2＝26.∴c2＝a2b2＝1.2×26＝31.2.(2)c6＝a6b6＝2×10＝20<c1＝a1b1＝30，所以到第6年這個(gè)縣的養(yǎng)雞業(yè)比第1年縮小了．8．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(3x,x＋3)，數(shù)列{xn}的通項(xiàng)由xn＝f(xn－1)(n≥2且n∈N*)確定．(1)求證：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,xn)))是等差數(shù)列；(2)當(dāng)x1＝eq\f(1,2)時(shí)，求x100.解：(1)證明：xn＝f(xn－1)＝eq\f(3xn－1,xn－1＋3)(n≥2且x∈N*)，∴eq\f(1,xn)＝eq\f(xn－1＋3,3xn－1)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,xn－1)，eq\f(1,xn)－eq\f(1,xn－1)＝eq\f(1,3)(n≥2且x∈N*)．∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,xn)))是等差數(shù)列．(2)由(1)知eq\f(1,xn)＝eq\f(1,x1)＋(n－1)×eq\f(1,3)＝2＋eq\f(n－1,3)＝eq\f(n＋5,3)，∴eq\f(1,x100)＝eq\f(100＋5,3)＝35.∴x100＝eq\f(1,35).第二課時(shí)等差數(shù)列的性質(zhì)預(yù)習(xí)課本P41習(xí)題T預(yù)習(xí)課本P41習(xí)題T11～T15，思考并完成以下問(wèn)題(1)等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推廣形式是什么？該公式有哪些作用？(2)等差中項(xiàng)的定義是什么？(3)等差數(shù)列的運(yùn)算性質(zhì)是什么？應(yīng)用此性質(zhì)可以解決哪些問(wèn)題？eq\a\vs4\al([新知初探])1．等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推廣通項(xiàng)公式通項(xiàng)公式的推廣an＝a1＋(n－1)d(揭示首末兩項(xiàng)的關(guān)系)an＝am＋(n－m)d(揭示任意兩項(xiàng)之間的關(guān)系)2.等差中項(xiàng)如果a，A，b這三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，那么A＝eq\f(a＋b,2)，把A叫做a與b的等差中項(xiàng)．3．等差數(shù)列的性質(zhì)若{an}是公差為d的等差數(shù)列，正整數(shù)m，n，p，q滿足m＋n＝p＋q，則：am＋an＝ap＋aq.(1)特別地，當(dāng)m＋n＝2k(m，n，k∈N*)時(shí)，am＋an＝2ak.(2)對(duì)有窮等差數(shù)列，與首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝….(3)若{an}是公差為d的等差數(shù)列，則①{c＋an}(c為任一常數(shù))是公差為d的等差數(shù)列；②{can}(c為任一常數(shù))是公差為cd的等差數(shù)列；③{an＋an＋k}(k為常數(shù)，k∈N*)是公差為2d的等差數(shù)列．(4)若{an}，{bn}分別是公差為d1，d2的等差數(shù)列，則數(shù)列{pan＋qbn}(p，q是常數(shù))是公差為pd1＋qd2的等差數(shù)列．eq\a\vs4\al([小試身手])1．在等差數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))中，若a2＝4，a4＝2，則a6＝________.解析：∵eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))為等差數(shù)列，∴2a4＝a2＋a6，∴a6＝2a4－a2，即a6＝2×2－4＝0.答案：02．x＋1與y－1的等差中項(xiàng)為10，則x＋y＝________.解析：(x＋1)＋(y－1)＝2×10，∴x＋y＝20.答案：203．若a2＋a8＝180，求a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝________.解析：因?yàn)閍2＋a8＝2a5＝180，所以a5＝90.又因?yàn)閍3＋a7＝a4＋a6＝2a5，所以a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝5×90＝450.答案：4504．已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若a1－a5＋a9－a13＋a17＝117，則a3＋a15＝________.解析：a3＋a15＝a1＋a17＝a5＋a13，所以a9＝117，所以a3＋a15＝a9＋a9＝234.答案：234等差中項(xiàng)公式的應(yīng)用[典例](1)已知數(shù)列{xn}的首項(xiàng)x1＝3，通項(xiàng)xn＝2np＋nq(n∈N*，p，q為常數(shù))，且x1，x4，x5成等差數(shù)列．求p，q的值．(2)已知eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)成等差數(shù)列，并且a＋c，a－c，a＋c－2b均為正數(shù)，求證：lg(a＋c)，lg(a－c)，lg(a＋c－2b)也成等差數(shù)列．[解](1)由x1＝3，得2p＋q＝3，①又x4＝24p＋4q，x5＝25p＋5q，且x1＋x5＝2x4得，3＋25p＋5q＝25p＋8q，②由①②得，q＝1，p＝1.(2)證明：∵eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)成等差數(shù)列，∴eq\f(2,b)＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)，∴eq\f(2,b)＝eq\f(a＋c,ac)，即2ac＝b(a＋c)．(a＋c)(a＋c－2b)＝(a＋c)2－2b(a＋c)＝(a＋c)2－2×2ac＝a2＋c2＋2ac－4ac＝(a－c)2.∵a＋c，a＋c－2b，a－c均為正數(shù)，上式左右兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得，lg[(a＋c)(a＋c－2b)]＝lg(a－c)2，即lg(a＋c)＋lg(a＋c－2b)＝2lg(a－c)，∴l(xiāng)g(a＋c)，lg(a－c)，lg(a＋c－2b)成等差數(shù)列．(1)若三數(shù)a，b，c成等差數(shù)列，則a＋c＝2b，即b為a，c的等差中項(xiàng)，反之，也成立，這個(gè)結(jié)論在已知等差數(shù)列的題中經(jīng)常用到．(2)證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列，除利用定義證明an＋1－an＝d外，利用等差中項(xiàng)公式也是一種常用到的方法，即證：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)．[活學(xué)活用]1．等差數(shù)列{an}的前三項(xiàng)依次為x,2x＋1,4x＋2，則它的第5項(xiàng)為_(kāi)_______．解析：由已知得2(2x＋1)＝x＋4x＋2，解得x＝0.故數(shù)列前三項(xiàng)依次為0,1,2.∴an＝n－1.∴a5＝5－1＝4.答案：42．若m和2n的等差中項(xiàng)為4,2m和n的等差中項(xiàng)為5，則m與n的等差中項(xiàng)是________．解析：由m和2n的等差中項(xiàng)為4，則m＋2n＝8.又由2m和n的等差中項(xiàng)為5，則2m＋n＝10.兩式相加，得m＋n＝6.所以m與n的等差中項(xiàng)為eq\f(m＋n,2)＝eq\f(6,2)＝3.答案：33．已知正數(shù)a，b，c成等差數(shù)列，且公差d≠0，求證：eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)不可能成等差數(shù)列．證明：假設(shè)eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)成等差數(shù)列，則eq\f(2,b)＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,c).∴2ac＝b(a＋c)．∵a，b，c成等差數(shù)列．∴2b＝a＋c.∴2ac＝eq\f(a＋c2,2)，∴(a－c)2＝0.∴a＝c.又2b＝a＋c，∴a＝b＝c.這與a，b，c成等差數(shù)列且公差d≠0矛盾．故eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)不可能成等差數(shù)列.等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用[典例](1)等差數(shù)列{an}中，已知a2＋a3＋a10＋a11＝36，求a5＋a8.(2)數(shù)列{an}中，a3，a10是方程x2－3x－5＝0的兩根，若{an}是等差數(shù)列，求a5＋a8.[解](1)[法一通項(xiàng)公式法]根據(jù)題意，有(a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋9d)＋(a1＋10d)＝36，∴4a1＋22d＝36，即2a1＋11d＝18.而a5＋a8＝(a1＋4d)＋(a1＋7d)＝2a1＋11d，因此a5＋a8＝18.[法二性質(zhì)法]根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)，可得a5＋a8＝a3＋a10＝a2＋a11＝36÷2＝18.(2)由根與系數(shù)的關(guān)系知a3＋a10＝3，故a5＋a8＝a3＋a10＝3.本例求解主要用到了等差數(shù)列的性質(zhì)：若m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq.對(duì)于此性質(zhì)，應(yīng)注意必須是兩項(xiàng)相加等于兩項(xiàng)相加，否則不一定成立．例如，a15≠a7＋a8，但a6＋a9＝a7＋a8；a1＋a21≠a22，但a1＋a21＝2a11.[活學(xué)活用]已知等差數(shù)列{an}，(1)若a2＋a3＋a25＋a26＝48，求a14；(2)若a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2a5＝52，求公差d.解：(1)∵a2＋a26＝a3＋a25＝2a14，∴a2＋a3＋a25＋a26＝4a14＝48.解得a14＝12.(2)∵a2＋a5＝a3＋a4，∴a2＋a3＋a4＋a5＝2(a2＋a5)＝34.解得a2＋a5＝17. ①又已知a2a5＝52， ②聯(lián)立①②解得a2＝4，a5＝13，或a2＝13，a5＝4.當(dāng)a2＝4，a5＝13時(shí)，d＝eq\f(a5－a2,5－2)＝3；當(dāng)a2＝13，a5＝4時(shí)，d＝eq\f(a5－a2,5－2)＝－3.靈活設(shè)元求解等差數(shù)列[典例](1)三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，其和為9，前兩項(xiàng)之積為后一項(xiàng)的6倍，求這三個(gè)數(shù)．(2)四個(gè)數(shù)成遞增等差數(shù)列，中間兩項(xiàng)的和為2，首末兩項(xiàng)的積為－8，求這四個(gè)數(shù)．[解](1)設(shè)這三個(gè)數(shù)依次為a－d，a，a＋d，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－d＋a＋a＋d＝9，,a－da＝6a＋d，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,d＝－1.))∴這三個(gè)數(shù)為4,3,2.(2)法一：設(shè)這四個(gè)數(shù)為a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差為2d)，依題意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，即a＝1，a2－9d2＝－8，∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1.又四個(gè)數(shù)成遞增等差數(shù)列，所以d＞0，∴d＝1，故所求的四個(gè)數(shù)為－2,0,2,4.法二：若設(shè)這四個(gè)數(shù)為a，a＋d，a＋2d，a＋3d(公差為d)，依題意，2a＋3d＝2，且a(a＋3d)＝－8，把a(bǔ)＝1－eq\f(3,2)d代入a(a＋3d)＝－8，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,2)d))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(3,2)d))＝－8，即1－eq\f(9,4)d2＝－8，化簡(jiǎn)得d2＝4，所以d＝2或－2.又四個(gè)數(shù)成遞增等差數(shù)列，所以d＞0，所以d＝2，a＝－2.故所求的四個(gè)數(shù)為－2,0,2,4.常見(jiàn)設(shè)元技巧(1)某兩個(gè)數(shù)是等差數(shù)列中的連續(xù)兩個(gè)數(shù)且知其和，可設(shè)這兩個(gè)數(shù)為：a－d，a＋d，公差為2d；(2)三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且知其和，常設(shè)此三數(shù)為：a－d，a，a＋d，公差為d；(3)四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且知其和，常設(shè)成a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，公差為2d.[活學(xué)活用]已知成等差數(shù)列的四個(gè)數(shù)，四個(gè)數(shù)之和為26，第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)之積為40，求這個(gè)等差數(shù)列．解：設(shè)這四個(gè)數(shù)依次為a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差為2d)．由題設(shè)知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－3d＋a－d＋a＋d＋a＋3d＝26，,a－da＋d＝40，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(13,2)，,d＝\f(3,2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(13,2)，,d＝－\f(3,2).))∴這個(gè)數(shù)列為2,5,8,11或11,8,5,2.層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1．在等差數(shù)列{an}中，a1＋a9＝10，則a5＝________.解析：因?yàn)閍1＋a9＝2a5＝10，所以a5＝5.答案：52．在等差數(shù)列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，則a12＝________.解析：∵數(shù)列{an}為等差數(shù)列，∴a7＋a9＝a4＋a12，∴a12＝16－1＝15.答案：153．已知等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，則m＝________.解析：∵a3＋a13＝a6＋a10＝2a8，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，∴4a8＝32，∴a8＝8.∵d≠0，∴m＝8.答案：84．若{an}是等差數(shù)列，且a1＋a4＋a7＝45，a2＋a5＋a8＝39，則a3＋a6＋a9＝________.解析：∵a1＋a4＋a7＝3a4＝45，∴a4＝15.又∵a2＋a5＋a8＝3a5＝39，∴a5＝13，∴d＝a5－a4＝－2.∴a3＋a6＋a9＝3a6＝3(13－2)＝33.答案：335．在等差數(shù)列{an}中，a3＋a12＝60，a6＋a7＋a8＝75，則其通項(xiàng)公式an＝________.解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，∵a6＋a7＋a8＝75，∴3a7＝75.∴a7＝25.∵a3＋a12＝a7＋a8，∴a8＝60－25＝35.∴d＝a8－a7＝10.∴an＝a7＋(n－7)×d＝25＋(n－7)×10＝10n－45.答案：10n－456．若等差數(shù)列的前三項(xiàng)依次是eq\f(1,x＋1)，eq\f(5,6x)，eq\f(1,x)，那么這個(gè)數(shù)列的第101項(xiàng)是________．解析：由已知得2×eq\f(5,6x)＝eq\f(1,x＋1)＋eq\f(1,x)，解得x＝2.∴a1＝eq\f(1,3)，d＝eq\f(1,12).∴a101＝eq\f(1,3)＋100×eq\f(1,12)＝eq\f(26,3).答案：eq\f(26,3)7．在等差數(shù)列{an}中，a1＝8，a5＝2，若在每相鄰兩項(xiàng)之間各插入一個(gè)數(shù)，使之成為新的等差數(shù)列，那么新的等差數(shù)列的公差是________．解析：設(shè)新的等差數(shù)列的公差為d.由a1＝8，a5＝2，得a3＝eq\f(a1＋a5,2)＝5，a2＝eq\f(a1＋a3,2)＝eq\f(13,2)，所以d＝eq\f(a2－a1,2)＝eq\f(\f(13,2)－8,2)＝－eq\f(3,4).答案：－eq\f(3,4)8．在等差數(shù)列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，則2a10－a12的值為_(kāi)_______．解析：∵a4＋a12＝a6＋a10＝2a8，由a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120得5a8＝120，∴a8＝24，于是2a10－a12＝2(a8＋2d)－(a8＋4d)＝a8＝24.答案：249．已知等差數(shù)列{an}滿足a2＋a5＋a8＝9，a3·a5·a7＝－21，求an.解：∵a2＋a5＋a8＝9，a2＋a8＝2a5，∴3a5＝9，a5＝3，∴a3＋a7＝2a5＝6.①又a3a5a7＝－21，∴a3a7＝－7.②由①②解得a3＝－1，a7＝7或a3＝7，a7＝－1，∴a3＝－1，d＝2或a3＝7，d＝－2.由an＝a3＋(n－3)d，得an＝2n－7或an＝－2n＋13.10．有一批影碟機(jī)原銷(xiāo)售價(jià)為每臺(tái)800元，在甲、乙兩家家電商場(chǎng)均有銷(xiāo)售．甲商場(chǎng)用如下的方法促銷(xiāo)：買(mǎi)一臺(tái)單價(jià)為780元，買(mǎi)兩臺(tái)單價(jià)都為760元，依次類推，每多買(mǎi)一臺(tái)則所買(mǎi)各臺(tái)單價(jià)均再減少20元，但每臺(tái)最低價(jià)不能低于440元；乙商場(chǎng)一律都按原價(jià)的75%銷(xiāo)售．某單位購(gòu)買(mǎi)一批此類影碟機(jī)，問(wèn)去哪家商場(chǎng)買(mǎi)花費(fèi)較少．解：設(shè)單位需購(gòu)買(mǎi)影碟機(jī)n臺(tái)，在甲商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)每臺(tái)售價(jià)不低于440元，售價(jià)依臺(tái)數(shù)n成等差數(shù)列．設(shè)該數(shù)列為{an}．a(chǎn)n＝780＋(n－1)(－20)＝800－20n，解不等式an≥440，即800－20n≥440，得n≤18.當(dāng)購(gòu)買(mǎi)臺(tái)數(shù)小于等于18臺(tái)時(shí)，每臺(tái)售價(jià)為(800－20n)元，當(dāng)臺(tái)數(shù)大于18臺(tái)時(shí)，每臺(tái)售價(jià)為440元．到乙商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)，每臺(tái)售價(jià)為800×75%＝600元．作差：(800－20n)n－600n＝20n(10－n)，當(dāng)n<10時(shí)，600n<(800－20n)n，當(dāng)n＝10時(shí)，600n＝(800－20n)n，當(dāng)10<n≤18時(shí)，(800－20n)n<600n，當(dāng)n>18時(shí)，440n<600n.即當(dāng)購(gòu)買(mǎi)少于10臺(tái)時(shí)到乙商場(chǎng)花費(fèi)較少，當(dāng)購(gòu)買(mǎi)10臺(tái)時(shí)到兩商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)花費(fèi)相同，當(dāng)購(gòu)買(mǎi)多于10臺(tái)時(shí)到甲商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)花費(fèi)較少．

層級(jí)二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1．(陜西高考)中位數(shù)為1010的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，其末項(xiàng)為2015，則該數(shù)列的首項(xiàng)為_(kāi)_______．解析：設(shè)數(shù)列首項(xiàng)為a1，則eq\f(a1＋2015,2)＝1010，故a1＝5.答案：52．若a，b，c成等差數(shù)列，則二次函數(shù)y＝ax2－2bx＋c的圖象與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．解析：∵a，b，c成等差數(shù)列，∴2b＝a＋c，∴Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0.∴二次函數(shù)y＝ax2－2bx＋c的圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1或2.答案：1或23．在等差數(shù)列{an}中，若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，則a7－eq\f(1,2)a8的值為_(kāi)_______．解析：∵a2＋a10＝a4＋a8＝2a6，∴a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6＝80，∴a6＝16.∴a7－eq\f(1,2)a8＝(a6＋d)－eq\f(1,2)(a6＋2d)＝eq\f(1,2)a6＝eq\f(1,2)×16＝8.答案：84．在等差數(shù)列{an}中，若a2＋a3＝4，a4＋a5＝6，則a9＋a10＝________.解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則有(a4＋a5)－(a2＋a3)＝4d＝2，所以d＝eq\f(1,2)，又(a9＋a10)－(a4＋a5)＝10d＝5，所以a9＋a10＝(a4＋a5)＋5＝11.答案：115．已知等差數(shù)列{an}中，a3和a15是方程x2－6x－1＝0的兩個(gè)根，則a7＋a8＋a9＋a10＋a11＝________.解析：∵a3和a15是方程x2－6x－1＝0的兩根，∴a3＋a15＝2a9＝6，a9＝3，∴a7＋a8＋a9＋a10＋a11＝(a7＋a11)＋(a8＋a10)＋a9＝5a9＝15.答案：156．若方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四個(gè)根組成一個(gè)首項(xiàng)為eq\f(1,4)的等差數(shù)列，則|m－n|＝________.解析：設(shè)方程的四個(gè)根a1，a2，a3，a4依次成等差數(shù)列，則a1＋a4＝a2＋a3＝2，再設(shè)此等差數(shù)列的公差為d，則2a1＋3d＝2，∵a1＝eq\f(1,4)，∴d＝eq\f(1,2)，∴a2＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,4)，a3＝eq\f(1,4)＋1＝eq\f(5,4)，a4＝eq\f(1,4)＋eq\f(3,2)＝eq\f(7,4)，∴|m－n|＝|a1a4－a2a3|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)×\f(7,4)－\f(3,4)×\f(5,4)))＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)7．已知5個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為5，平方和為165，求這5個(gè)數(shù)．解：設(shè)這5個(gè)數(shù)分別為a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d.則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5，,a－2d2＋a－d2＋a2＋a＋d2＋a＋2d2＝165))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,5a2＋10d2＝165.))解得a＝1，d＝±4.當(dāng)a＝1，d＝4時(shí)，這5個(gè)數(shù)分別為：－7，－3,1,5,9；當(dāng)a＝1，d＝－4時(shí)，這5個(gè)數(shù)分別為：9,5,1，－3，－7.8．下表是一個(gè)“等差數(shù)陣”：47()()()…a1j…712()()()…a2j…()()()()()…a3j…()()()()()…a4j………ai1ai2ai3ai4ai5…aij………其中每行、每列都是等差數(shù)列，aij表示位于第i行第j列的數(shù)．(1)寫(xiě)出a45的值；(2)寫(xiě)出aij的計(jì)算公式，以及2017這個(gè)數(shù)在“等差數(shù)陣”中所在的一個(gè)位置．解：(1)a45表示數(shù)陣中第4行第5列的數(shù)．先看第1行，由題意4,7，…，a15，…成等差數(shù)列，公差d＝7－4＝3，則a15＝4＋(5－1)×3＝16.再看第2行，同理可得a25＝27.最后看第5列，由題意a15，a25，…，a45成等差數(shù)列，所以a45＝a15＋3d＝16＋3×(27－16)＝49.(2)該“等差數(shù)陣“的第1行是首項(xiàng)為4，公差為3的等差數(shù)列a1j＝4＋3(j－1)；第2行是首項(xiàng)為7，公差為5的等差數(shù)列a2j＝7＋5(j－1)；…第i行是首項(xiàng)為4＋3(i－1)，公差為2i＋1的等差數(shù)列，∴aij＝4＋3(i－1)＋(2i＋1)(j－1)＝2ij＋i＋j＝i(2j＋1)＋j.要求2017在該“等差數(shù)陣”中的位置，也就是要找正整數(shù)i，j，使得i(2j＋1)＋j＝2017，∴j＝eq\f(2017－i,2i＋1).又∵j∈N*，∴當(dāng)i＝1時(shí)，得j＝672.∴2017在“等差數(shù)陣”中的一個(gè)位置是第1行第672列．(答案不唯一)第三課時(shí)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和預(yù)習(xí)課本P42～46，預(yù)習(xí)課本P42～46，思考并完成以下問(wèn)題(1)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式是什么？(2)如何推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和？eq\a\vs4\al([新知初探])等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式已知量首項(xiàng)、末項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)首項(xiàng)、公差與項(xiàng)數(shù)求和公式Sn＝eq\f(na1＋an,2)Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)deq\a\vs4\al([小試身手])1．等差數(shù)列{an}中，a1＝1，d＝1，則Sn＝________.解析：∵a1＝1，d＝1，∴Sn＝n＋eq\f(nn－1,2)×1＝eq\f(2n＋n2－n,2)＝eq\f(nn＋1,2).答案：eq\f(nn＋1,2)2．等差數(shù)列{an}中，a11＝10，則S21＝________.解析：S21＝eq\f(21a1＋a21,2)＝21a11＝210.答案：2103．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2－3n(n∈N*)，則{an}的前n項(xiàng)和Sn＝________.解析：由an＝2－3n，得a1＝－1，則Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝eq\f(n－1＋2－3n,2)＝eq\f(n－3n＋1,2)＝－eq\f(3,2)n2＋eq\f(n,2).答案：－eq\f(3,2)n2＋eq\f(n,2)4．在等差數(shù)列{an}中，a4＝10，a10＝－2.若Sn＝60，則n＝________.解析：設(shè){an}的公差為d，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋3d＝10，,a1＋9d＝－2，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝16，,d＝－2.))∴Sn＝n×16＋eq\f(nn－1,2)×(－2)＝60，整理得n2－17n＋60＝0，∴n＝5或n＝12.答案：5或12等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的有關(guān)計(jì)算[典例]已知等差數(shù)列{an}．(1)a1＝eq\f(5,6)，a15＝－eq\f(3,2)，Sn＝－5，求n和d；(2)a1＝4，S8＝172，求a8和d.[解](1)∵a15＝eq\f(5,6)＋(15－1)d＝－eq\f(3,2)，∴d＝－eq\f(1,6).又Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝－5，解得n＝15或n＝－4(舍)．(2)由已知，得S8＝eq\f(8a1＋a8,2)＝eq\f(84＋a8,2)＝172，解得a8＝39，又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.等差數(shù)列中的基本計(jì)算(1)利用基本量求值．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式中有五個(gè)量a1，d，n，an和Sn，這五個(gè)量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程組，解出a1和d，便可解決問(wèn)題．解題時(shí)注意整體代換的思想．(2)結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)解題．等差數(shù)列的常用性質(zhì)：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq，常與求和公式Sn＝eq\f(na1＋an,2)結(jié)合使用．(3)一些常見(jiàn)數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：1＋2＋3＋4＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2).1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝n2.2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n2＋n.[活學(xué)活用]等差數(shù)列{an}中，a10＝30，S20＝620.(1)求an；(2)若Sn＝242，求n.解：(1)設(shè){an}的公差為d，則由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋9d＝30，,20a1＋\f(20×19,2)d＝620，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝12，,d＝2.))∴an＝a1＋(n－1)d＝2n＋10.(2)由(1)知，Sn＝eq\f(a1＋an·n,2)＝eq\f(12＋2n＋10,2)·n＝n2＋11n.∴由n2＋11n＝242，得n＝11或n＝－22(舍)．故n＝11.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和性質(zhì)[典例](1)等差數(shù)列前n項(xiàng)的和為30，前2n項(xiàng)的和為100，則它的前3n項(xiàng)的和為_(kāi)_______．(2)等差數(shù)列{an}共有2n＋1項(xiàng)，所有的奇數(shù)項(xiàng)之和為132，所有的偶數(shù)項(xiàng)之和為120，則n等于________．(3)已知{an}，{bn}均為等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，且eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(2n＋2,n＋3)，則eq\f(a5,b5)＝________.[解析](1)利用等差數(shù)列的性質(zhì)：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差數(shù)列．所以Sn＋(S3n－S2n)＝2(S2n－Sn)，即30＋(S3n－100)＝2(100－30)，解得S3n＝210.(2)因?yàn)榈炔顢?shù)列共有2n＋1項(xiàng)，所以S奇－S偶＝an＋1＝eq\f(S2n＋1,2n＋1)，即132－120＝eq\f(132＋120,2n＋1)，解得n＝10.(3)由等差數(shù)列的性質(zhì)，知eq\f(a5,b5)＝eq\f(\f(a1＋a9,2),\f(b1＋b9,2))＝eq\f(\f(a1＋a9,2)×9,\f(b1＋b9,2)×9)＝eq\f(S9,T9)＝eq\f(2×9＋2,9＋3)＝eq\f(5,3).[答案](1)210(2)10(3)eq\f(5,3)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和常用的性質(zhì)(1)等差數(shù)列的依次k項(xiàng)之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k…組成公差為k2d的等差數(shù)列．(2)數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn＝an2＋bn(a，b為常數(shù))?數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))為等差數(shù)列．(3)若S奇表示奇數(shù)項(xiàng)的和，S偶表示偶數(shù)項(xiàng)的和，公差為d，①當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n時(shí)，S偶－S奇＝nd，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(an,an＋1)；②當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n－1時(shí)，S奇－S偶＝an，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(n,n－1).[活學(xué)活用]1．一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)之和為100，前100項(xiàng)之和為10，則前110項(xiàng)之和為_(kāi)_______．解析：數(shù)列S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100成等差數(shù)列，設(shè)其公差為D，前10項(xiàng)和為10S10＋eq\f(10×9,2)·D＝S100＝10?D＝－22，∴S110－S100＝S10＋(11－1)D＝100＋10×(－22)＝－120.∴S110＝－120＋S100＝－110.答案：－1102．一個(gè)等差數(shù)列的前12項(xiàng)的和為354，前12項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)的和與奇數(shù)項(xiàng)的和的比為32∶27，則該數(shù)列的公差d＝________.解析：設(shè)等差數(shù)列的前12項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)的和為S奇，偶數(shù)項(xiàng)的和為S偶，等差數(shù)列的公差為d.由已知條件，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S奇＋S偶＝354，,S偶∶S奇＝32∶27，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S偶＝192，,S奇＝162.))又S偶－S奇＝6d，所以d＝eq\f(192－162,6)＝5.答案：53．等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝2n＋1，其前n項(xiàng)和為Sn，則數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))的前10項(xiàng)和為_(kāi)_______．解析：因?yàn)閍n＝2n＋1，所以a1＝3，所以Sn＝eq\f(n3＋2n＋1,2)＝n2＋2n，所以eq\f(Sn,n)＝n＋2，所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是公差為1，首項(xiàng)為3的等差數(shù)列，所以前10項(xiàng)和為3×10＋eq\f(10×9,2)×1＝75.答案：75與等差數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)的問(wèn)題題點(diǎn)一：求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值1．在等差數(shù)列{an}中，a1＝25，S9＝S17，求Sn的最大值．解：法一：(利用求和公式法)由題意知：S9＝9a1＋eq\f(9×8,2)d，S17＝17a1＋eq\f(17×16,2)d.∵a1＝25，S9＝S17，即9a1＋36d＝17a1＋8×17d，解得d＝－2，∴Sn＝25n＋eq\f(nn－1,2)×(－2)＝－n2＋26n，即Sn＝－(n－13)2＋169，∴當(dāng)n＝13時(shí)，Sn最大，最大值為S13＝169.法二：(正負(fù)項(xiàng)分界法)因?yàn)閍1＝25＞0，S9＝S17，所以數(shù)列{an}是遞減等差數(shù)列，若使前n項(xiàng)和最大，只需解eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1≤0))即可得出n.∵a1＝25，S9＝S17，∴9×25＋eq\f(9×8,2)d＝17×25＋eq\f(17×16,2)d，解得d＝－2.∴an＝25＋(n－1)(－2)＝－2n＋27，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2n＋27≥0，,－2n＋1＋27≤0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n≤13.5，,n≥12.5，))又n∈N*，∴n＝13.即前13項(xiàng)和最大，由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可求得S13＝169.題點(diǎn)二：求等差數(shù)列前n項(xiàng)絕對(duì)值的和2．在等差數(shù)列{an}中，a1＝－60，a17＝－12，求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和．解：等差數(shù)列{an}的公差為：d＝eq\f(a17－a1,17－1)＝eq\f(－12－－60,16)＝3，所以an＝a1＋(n－1)d＝－60＋3(n－1)＝3n－63.又因?yàn)閍n<0時(shí)，3n－63<0，n<21，所以等差數(shù)列{an}的前20項(xiàng)是負(fù)數(shù)，第20項(xiàng)以后的項(xiàng)是非負(fù)數(shù)．設(shè)Sn和Sn′分別表示數(shù)列{an}和{|an|}的前n項(xiàng)和．當(dāng)0<n≤20時(shí)，Sn′＝－Sn＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－60n＋\f(3nn－1,2)))＝－eq\f(3,2)n2＋eq\f(123,2)n；當(dāng)n>20時(shí)，Sn′＝－S20＋(Sn－S20)＝Sn－2S20＝－60n＋eq\f(3nn－1,2)－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－60×20＋\f(20×19,2)×3))＝eq\f(3,2)n2－eq\f(123,2)n＋1260.所以數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和為：Sn′＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)n2＋\f(123,2)n，n≤20，,\f(3,2)n2－\f(123,2)n＋1260，n>20.))題點(diǎn)三：利用Sn與an關(guān)系求an3．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式為Sn＝n2－23n(n∈N*)．試判斷數(shù)列{an}是否是等差數(shù)列．解：當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝－22；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n－24.此時(shí)a1＝－22適合an＝2n－24，所以an＝2n－24.又∵an＋1－an＝2(n＋1)－24－2n＋24＝2(常數(shù))，所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為－22，公差為2的等差數(shù)列．1．等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題的三種解法(1)利用an：當(dāng)a1＞0，d＜0時(shí)，前n項(xiàng)和有最大值．可由an≥0，且an＋1≤0，求得n的值；當(dāng)a1＜0，d＞0，前n項(xiàng)和有最小值，可由an≤0，且an＋1≥0，求得n的值．(2)利用Sn：由Sn＝eq\f(1,2)dn2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(1,2)d))n二次函數(shù)配方法求得最值時(shí)n的值．(3)利用二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性．2．求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和等差數(shù)列的各項(xiàng)取絕對(duì)值后組成數(shù)列{|an|}，若原數(shù)列{an}中既有正項(xiàng)又有負(fù)項(xiàng)，則{|an|}不再是等差數(shù)列，求和的關(guān)鍵是找到數(shù)列{an}中正、負(fù)項(xiàng)的分界點(diǎn)處n的值，再分段求和．3．由an與Sn的關(guān)系求an的解題步驟第一步：n＝1時(shí)，計(jì)算a1＝S1；第二步：n≥2時(shí)，計(jì)算an＝Sn－Sn－1；第三步：檢驗(yàn)a1＝S1是否適合an＝Sn－Sn－1(n≥2)．若a1適合an＝Sn－Sn－1(n≥2)時(shí)，通項(xiàng)公式可合并成一個(gè)式子，即an＝Sn－Sn－1；否則，通項(xiàng)公式應(yīng)寫(xiě)成分段函數(shù)的形式，即an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1n＝1，,Sn－Sn－1n≥2.))層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1．若等差數(shù)列{an}的前5項(xiàng)和S5＝25，且a2＝3，則a7＝________.解析：由題意得S5＝eq\f(5a1＋a5,2)＝5a3＝25，故a3＝5，公差d＝a3－a2＝2，a7＝a2＋5d＝3＋5×2＝13.答案：132．在數(shù)列{an}中，若a1＝－2，且對(duì)任意的n∈N*有2an＋1＝1＋2an，則數(shù)列{an}前10項(xiàng)的和為_(kāi)_______．解析：由2an＋1＝1＋2an得an＋1－an＝eq\f(1,2)，所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為－2，公差為eq\f(1,2)的等差數(shù)列．∴S10＝10a1＋eq\f(10×9,2)d＝10×(－2)＋eq\f(10×9,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(5,2).答案：eq\f(5,2)3．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2＋n，那么它的通項(xiàng)公式為an＝________.解析：當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋n)－[(n－1)2＋(n－1)]＝2n；當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝2也適合上式，∴an＝2n(n∈N*)．答案：2n4．在等差數(shù)列{an}中，已知a3∶a5＝eq\f(3,4)，則S9∶S5的值是________．解析：eq\f(S9,S5)＝eq\f(\f(9,2)a1＋a9,\f(5,2)a1＋a5)＝eq\f(9×2a5,5×2a3)＝eq\f(9,5)×eq\f(a5,a3)＝eq\f(9,5)×eq\f(4,3)＝eq\f(12,5).答案：eq\f(12,5)5．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若eq\f(S4,12)－eq\f(S3,9)＝1，則公差為_(kāi)_______．解析：法一：依題意得S4＝4a1＋eq\f(4×3,2)d＝4a1＋6d，S3＝3a1＋eq\f(3×2,2)d＝3a1＋3d，于是有eq\f(4a1＋6d,12)－eq\f(3a1＋3d,9)＝1，由此解得d＝6，即公差為6.法二：∵{an}是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，首項(xiàng)為a1，則Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n.∴eq\f(Sn,n)＝eq\f(d,2)n＋a1－eq\f(d,2).又∵eq\f(S4,12)－eq\f(S3,9)＝1，∴eq\f(S4,4)－eq\f(S3,3)＝3，∴eq\f(d,2)＝3，∴d＝6.答案：66．設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若eq\f(S3,S6)＝eq\f(1,3)，則eq\f(S6,S12)＝________.解析：設(shè)S3＝k，則S6＝3k，∴S6－S3＝2k.由等差數(shù)列的性質(zhì)：S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9也成等差數(shù)列．∴S9－S6＝3k，S12－S9＝4k.∴S9＝6k，S12＝10k.∴eq\f(S6,S12)＝eq\f(3,10).答案：eq\f(3,10)7．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知前6項(xiàng)和為36，最后6項(xiàng)的和為180，Sn＝324(n>6)，求數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)n＝________.解析：由題意知a1＋a2＋…＋a6＝36，①an＋an－1＋an－2＋…＋an－5＝180，②①＋②得(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(a6＋an－5)＝6(a1＋an)＝216，∴a1＋an＝36，又Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝324，∴18n＝324，∴n＝18.答案：188．已知兩個(gè)等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項(xiàng)和分別為An和Bn，且eq\f(An,Bn)＝eq\f(7n＋45,n＋3)，則使eq\f(an,bn)為整數(shù)的正整數(shù)n有________個(gè)．解析：eq\f(an,bn)＝eq\f(2n－1an,2n－1bn)＝eq\f(A2n－1,B2n－1)＝eq\f(72n－1＋45,2n－1＋3)＝eq\f(7n＋19,n＋1)＝eq\f(7n＋1＋12,n＋1)＝7＋eq\f(12,n＋1).∴n＝1,2,3,5,11，共有5個(gè)．答案：59．已知等差數(shù)列{an}的公差d>0，前n項(xiàng)和為Sn，且a2a3＝45，S4＝28.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)若bn＝eq\f(Sn,n＋c)(c為非零常