河海大學離散數(shù)學試卷

河海大學離散數(shù)學試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.下列哪個命題公式是永真的？

A.(P→Q)∧(Q→P)

B.(P∧Q)→P

C.P→(Q→P)

D.(P∨Q)→(P∧Q)

2.在集合論中，集合A和集合B的并集記作：

A.A×B

B.A∪B

C.A∩B

D.A-B

3.下列哪個是命題邏輯的一個有效公式？

A.(P∧Q)→P

B.P∧(Q→P)

C.(P→Q)∧(Q→P)

D.(P∨Q)→(P∧Q)

4.在圖論中，一個無向圖G的補圖記作：

A.G'

B.G?1

C.G∨

D.G∧

5.下列哪個是等價式？

A.P→Q?Q→P

B.P→Q??P∨Q

C.P∧Q?Q∧P

D.P∨Q??P∧?Q

6.在集合論中，集合A的冪集記作：

A.P(A)

B.A^P

C.A×A

D.A∪A

7.下列哪個是圖論中的一個基本概念？

A.環(huán)

B.端點

C.對角線

D.虛邊

8.在命題邏輯中，下列哪個是重言式？

A.P∧?P

B.P∨?P

C.(P∧Q)→P

D.(P→Q)→P

9.在集合論中，集合A和集合B的交集記作：

A.A+B

B.A∪B

C.A∩B

D.A×B

10.在圖論中，一個有向圖G的逆圖記作：

A.G'

B.G?1

C.G∨

D.G∧

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.下列哪些是命題邏輯中的基本聯(lián)結(jié)詞？

A.與（∧）

B.或（∨）

C.非（?）

D.蘊含（→）

E.等價（?）

2.在集合論中，下列哪些是集合的基本運算？

A.并集（∪）

B.交集（∩）

C.差集（-）

D.冪集（P(A)）

E.補集（'）

3.在圖論中，下列哪些是圖的基本概念？

A.頂點（Vertex）

B.邊（Edge）

C.鄰接（Adjacency）

D.環(huán)（Loop）

E.多重邊（MultipleEdge）

4.下列哪些是等價式？

A.P∧Q?Q∧P

B.P∨Q?Q∨P

C.(P∧Q)∧R?P∧(Q∧R)

D.(P∨Q)∨R?P∨(Q∨R)

E.P∧(Q∨R)?(P∧Q)∨(P∧R)

5.在命題邏輯中，下列哪些是重言式？

A.P∨?P

B.(P∧Q)→P

C.(P→Q)→(Q→P)

D.(P→Q)?(?P∨Q)

E.(P∧?P)→Q

三、填空題（每題4分，共20分）

1.在命題邏輯中，聯(lián)結(jié)詞“非”的符號表示是______。

2.集合A包含元素1,2,3，集合B包含元素2,3,4，則A與B的并集是______。

3.在圖論中，一個有n個頂點的無向完全圖有______條邊。

4.命題公式(P→Q)∧(Q→P)是______。

5.集合A的冪集是指集合A的所有______的集合。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.已知集合A={1,2,3,4}，集合B={3,4,5,6}，集合C={2,4,6,8}。求(A∪B)∩C。

2.寫出命題公式(P∧?Q)→(R∨?P)的真值表。

3.給定一個圖G，頂點集V={v1,v2,v3,v4}，邊集E={(v1,v2),(v2,v3),(v3,v4),(v4,v1),(v1,v3)}。求圖G的度數(shù)序列。

4.證明命題公式(P→Q)?(?Q→?P)是重言式。

5.設集合A={a,b,c}，求集合A的所有非空子集。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識點總結(jié)如下

一、選擇題答案

1.B

2.B

3.A

4.A

5.C

6.A

7.B

8.B

9.C

10.B

二、多項選擇題答案

1.A,B,C,D,E

2.A,B,C,D,E

3.A,B,C,D,E

4.A,B,C,D,E

5.A,B,D,E

三、填空題答案

1.?

2.{1,2,3,4}

3.n(n-1)/2

4.等價式

5.子集

四、計算題答案

1.(A∪B)∩C={2,4}

2.真值表如下：

|P|Q|R|?Q|?P|R∨?P|P∧?Q|(P∧?Q)→(R∨?P)|

|---|---|---|----|----|--------|--------|----------------------|

|T|T|T|F|F|T|F|T|

|T|T|F|F|F|F|F|T|

|T|F|T|T|F|T|T|T|

|T|F|F|T|F|F|T|F|

|F|T|T|F|T|T|F|T|

|F|T|F|F|T|T|F|T|

|F|F|T|T|T|T|F|F|

|F|F|F|T|T|T|F|T|

3.度數(shù)序列為3,3,3,3。

4.證明：

(P→Q)?(?Q→?P)

(?P∨Q)?(??Q∨?P)

(?P∨Q)?(Q∨?P)

根據(jù)對偶律，(P→Q)與(?Q→?P)是等價的。

5.集合A的所有非空子集為：{a},,{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}。

知識點總結(jié)

離散數(shù)學是一門研究離散量結(jié)構(gòu)的數(shù)學學科，主要包含邏輯、集合論、圖論、組合數(shù)學等部分。本試卷涵蓋了這些部分的基礎(chǔ)知識，通過不同題型考察學生對這些知識點的理解和應用能力。

一、選擇題考察的知識點

1.命題邏輯的基本聯(lián)結(jié)詞和公式

2.集合論的基本運算

3.圖論的基本概念

4.等價式和重言式的判斷

二、多項選擇題考察的知識點

1.命題邏輯的基本聯(lián)結(jié)詞

2.集合論的基本運算

3.圖論的基本概念

4.等價式和重言式的判斷

5.集合的冪集和子集

三、填空題考察的知識點

1.命題邏輯的基本聯(lián)結(jié)詞

2.集合論的基本運算

3.圖論的基本概念

4.等價式和重言式的判斷

5.集合的冪集和子集

四、計算題考察的知識點

1.集合論的基本運算

2.命題邏輯的真值表

3.圖論的基本概念

4.等價式的證明

5.集合的子集

各題型所考察學生的知識點詳解及示例

一、選擇題

1.命題邏輯的基本聯(lián)結(jié)詞和公式

示例：命題公式(P→Q)∧(Q→P)是等價式，表示P與Q等價。

2.集合論的基本運算

示例：集合A={1,2,3}，集合B={2,3,4}，則A與B的并集是{1,2,3,4}。

3.圖論的基本概念

示例：一個有n個頂點的無向完全圖有n(n-1)/2條邊。

4.等價式和重言式的判斷

示例：命題公式P∨?P是重言式，因為無論P的真值如何，P∨?P總是為真。

二、多項選擇題

1.命題邏輯的基本聯(lián)結(jié)詞

示例：命題邏輯中的基本聯(lián)結(jié)詞有與（∧），或（∨），非（?），蘊含（→），等價（?）。

2.集合論的基本運算

示例：集合論中的基本運算有并集（∪），交集（∩），差集（-），冪集（P(A)），補集（'）。

3.圖論的基本概念

示例：圖論中的基本概念有頂點（Vertex），邊（Edge），鄰接（Adjacency），環(huán)（Loop），多重邊（MultipleEdge）。

4.等價式和重言式的判斷

示例：命題公式(P∧Q)?(Q∧P)是等價式，表示P與Q的順序可以交換。

5.集合的冪集和子集

示例：集合A={a,b}的冪集是{{},{a},,{a,b}}，所有非空子集是{{a},,{a,b}}。

三、填空題

1.命題邏輯的基本聯(lián)結(jié)詞

示例：聯(lián)結(jié)詞“非”的符號表示是?。

2.集合論的基本運算

示例：集合A={1,2,3}，集合B={2,3,4}，則A與B的并集是{1,2,3,4}。

3.圖論的基本概念

示例：一個有n個頂點的無向完全圖有n(n-1)/2條邊。

4.等價式和重言式的判斷

示例：命題公式(P∧?Q)→(R∨?P)是等價式。

5.集合的冪集和子集

示例：集合A={a,b,c}的所有非空子集是{{a},,{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}。

四、計算題

1.集合論的基本運算

示例：集合A={1,2,3}，集合B={2,3,4}，集合C={2,4,6}，求(A∪B)∩C={2,3,4}∩{2,4,6}={2,4}。

2.命題邏輯的真值表

示例：命題公式(P∧?Q)→(R∨?P)的真值表如上所示。

3.圖論的基本概念

示例：給定一個圖G，頂點集V={v1,v2