廣西七省聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

廣西七省聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.若集合A={x|0≤x≤5}，B={x|x>3}，則A∩B等于（）

A.{x|3<x≤5}

B.{x|0≤x<3}

C.{x|0≤x≤3}

D.{x|x>5}

2.函數(shù)f(x)=log?(x-1)的定義域是（）

A.(-∞,1)

B.(1,+∞)

C.[1,+∞)

D.(-∞,1]

3.已知向量a=(3,4)，b=(1,-2)，則向量a+b的模長為（）

A.5

B.7

C.9

D.10

4.在等差數(shù)列{a_n}中，若a?=2，a?=10，則該數(shù)列的公差d等于（）

A.2

B.3

C.4

D.5

5.若sinα=1/2，且α為銳角，則cosα等于（）

A.√3/2

B.1/2

C.√2/2

D.-√3/2

6.拋擲一枚均勻的硬幣，出現(xiàn)正面的概率是（）

A.1/2

B.1/4

C.1/3

D.1

7.圓x2+y2-4x+6y-3=0的圓心坐標(biāo)是（）

A.(2,-3)

B.(-2,3)

C.(2,3)

D.(-2,-3)

8.若函數(shù)f(x)=x3-3x+1，則f(x)的極值點為（）

A.x=1

B.x=-1

C.x=0

D.x=±1

9.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，且BC=10，則AB的長度等于（）

A.5√2

B.5√3

C.10√2

D.10√3

10.已知直線l?:2x+y-1=0與直線l?:ax-3y+4=0平行，則a的值等于（）

A.6

B.-6

C.3

D.-3

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增的是（）

A.y=x2

B.y=2x+1

C.y=1/x

D.y=√x

2.在等比數(shù)列{b_n}中，若b?=1，b?=16，則該數(shù)列的前4項和S?等于（）

A.15

B.31

C.47

D.63

3.下列命題中，正確的是（）

A.若a>b，則a2>b2

B.若sinα=sinβ，則α=β

C.若函數(shù)f(x)在x=c處取得極值，則f'(c)=0

D.若直線l?與直線l?垂直，則其斜率之積為-1

4.在直角坐標(biāo)系中，點P(x,y)位于拋物線y2=4x上，則點P到直線l:x-y+1=0的距離d等于（）

A.|x-y+1|

B.√(x2+(y-1)2)

C.(x-y+1)/√2

D.√(x2+(y+1)2)/√2

5.已知三棱錐A-BCD的底面BCD為等邊三角形，且AD⊥平面BCD，若AB=AC=AD=1，則下列說法中正確的是（）

A.三棱錐A-BCD的體積為√3/12

B.AD與BC所成角的余弦值為1/2

C.平面ABD與平面ACD所成二面角的大小為60°

D.三棱錐A-BCD的表面積為√3

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若復(fù)數(shù)z=(2+i)/(1-i)，其中i為虛數(shù)單位，則z的模長|z|等于________。

2.不等式|x-1|<2的解集為________。

3.已知圓C的方程為(x-3)2+(y+2)2=16，則圓C在x軸上截得的弦長為________。

4.函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期T等于________。

5.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，且BC=6，則AC邊上的高h(yuǎn)等于________。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2x。求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,3]上的最大值和最小值。

2.解方程組：{x+2y=5{3x-y=2

3.計算不定積分：∫(x2+2x+3)/(x+1)dx

4.已知向量a=(1,2,-1)，向量b=(2,-1,1)。求向量a和向量b的夾角余弦值。

5.在等比數(shù)列{a_n}中，a?=1，a?=16。求該數(shù)列的前5項和S?。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識點總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.A

解析：A∩B表示既屬于集合A又屬于集合B的元素構(gòu)成的集合。由A={x|0≤x≤5}，B={x|x>3}，可得A∩B={x|3<x≤5}。

2.B

解析：函數(shù)f(x)=log?(x-1)有意義，則x-1>0，解得x>1。所以定義域為(1,+∞)。

3.D

解析：向量a+b=(3+1,4-2)=(4,2)，其模長|a+b|=√(42+22)=√(16+4)=√20=2√5≈10。

4.B

解析：等差數(shù)列{a_n}中，a?=a?+4d。由a?=2，a?=10，代入得10=2+4d，解得4d=8，d=2。

5.A

解析：α為銳角，且sinα=1/2，根據(jù)特殊角三角函數(shù)值可知，α=30°。cosα=cos30°=√3/2。

6.A

解析：拋擲一枚均勻的硬幣，只有兩種可能結(jié)果：出現(xiàn)正面或出現(xiàn)反面。每種結(jié)果出現(xiàn)的概率相等，均為1/2。

7.C

解析：圓的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，其中圓心坐標(biāo)為(-D/2,-E/2)。由x2+y2-4x+6y-3=0，得D=-4，E=6，圓心坐標(biāo)為(-(-4)/2,-6/2)=(2,-3)。

8.D

解析：f'(x)=3x2-3。令f'(x)=0，得3x2-3=0，解得x=±1。f''(x)=6x，f''(1)=6>0，f''(-1)=-6<0，故x=1為極小值點，x=-1為極大值點。

9.A

解析：由正弦定理，AB/BC=sinB/sinA。由角A=60°，角B=45°，BC=10，代入得AB/10=sin45°/sin60°=√2/√3，解得AB=10*√2/√3=5√2。

10.A

解析：直線l?:2x+y-1=0的斜率為-2。直線l?:ax-3y+4=0的斜率為a/3。l?與l?平行，則其斜率相等，即-2=a/3，解得a=-6。

二、多項選擇題答案及解析

1.B,D

解析：y=2x+1是一次函數(shù)，其斜率為2>0，故單調(diào)遞增。y=√x是冪函數(shù)，其指數(shù)為1/2>0，故在定義域(0,+∞)上單調(diào)遞增。y=x2是拋物線，其開口向上，故在(0,+∞)上單調(diào)遞增，但在(-∞,0)上單調(diào)遞減。y=1/x是雙曲線，在其定義域(-∞,0)∪(0,+∞)上單調(diào)遞減。

2.B

解析：等比數(shù)列{b_n}中，b?=b?*q3。由b?=1，b?=16，代入得16=1*q3，解得q=2。S?=a?*(q?-1)/(q-1)=1*(2?-1)/(2-1)=16-1=15。

3.C

解析：若函數(shù)f(x)在x=c處取得極值，根據(jù)極值存在的必要條件，必有f'(c)=0。A不一定正確，例如x=1和x=-1，a>b但a2>b2不成立。B不正確，sinα=sinβ，α=β+2kπ或α=π-β，k∈Z。D不正確，當(dāng)直線l?或l?的斜率為0或不存在時，結(jié)論不成立。

4.C

解析：點P(x,y)在拋物線y2=4x上，則y2=4x。點P到直線l:x-y+1=0的距離d=|Ax?+By?+C|/√(A2+B2)=|x-y+1|/√(12+(-1)2)=|x-y+1|/√2。

5.A,B

解析：三棱錐A-BCD的底面BCD為等邊三角形，邊長為10。由AD⊥平面BCD，AD=1。三棱錐A-BCD的體積V=(1/3)*底面積*高=(1/3)*√3/4*102*1=100√3/12=25√3/3≠√3/12。AD與BC所成角即為∠ADB，由直角三角形ADB，AD=1，BD=5（等邊三角形邊長），cos∠ADB=AD/BD=1/5≠1/2。平面ABD與平面ACD所成二面角即為∠BDC，由等邊三角形BCD，∠BDC=60°。三棱錐A-BCD的表面積S=底面積+三個側(cè)面面積=√3/4*102+3*(1/2*10*1)=25√3+15≠√3。

三、填空題答案及解析

1.√2

解析：z=(2+i)/(1-i)=(2+i)*(1+i)/(1-i)*(1+i)=(2+2i+i+i2)/(1-(-1))=(2+3i-1)/(2)=1+3i/2。|z|=√((1+3i/2)2)=√(12+(3/2)2)=√(1+9/4)=√13/2=√2。

2.(?1,3)

解析：|x-1|<2，則-2<x-1<2，解得-1<x<3。解集為(?1,3)。

3.4√3

解析：圓心坐標(biāo)為(3,?2)，半徑r=√(32+(?2)2)=√13。圓在x軸上截得的弦長為2√(r2?(?2)2)=2√(13?4)=2√9=6。更正：圓心到x軸的距離為|-2|=2，弦長=2√(r2?d2)=2√(16?4)=2√12=4√3。

4.π

解析：函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期T=2π/|ω|=2π/(2)=π。此處ω=2。

5.3√3

解析：由正弦定理，AC/BC=sinB/sinA。由角A=60°，角B=45°，BC=6，代入得AC/6=sin45°/sin60°=√2/√3，解得AC=6*√2/√3=2√6。AC邊上的高h(yuǎn)=AC*sinB=2√6*sin45°=2√6*√2/2=√12=2√3。更正：由余弦定理，AB2=AC2+BC2?2*AC*BC*cosA=62+2√62?2*6*2√6*(1/2)=36+24?24=36，AB=6。由面積公式，S=1/2*AB*BC*sinA=1/2*6*6*sin60°=18*√3/4=9√3。由S=1/2*AC*h，得9√3=1/2*2√6*h，h=9√3*2/(2√6)=9√3/√6=3√(3*3/6)=3√3。

四、計算題答案及解析

1.最大值5，最小值-1

解析：f'(x)=3x2-6x+2。令f'(x)=0，得3x2-6x+2=0，解得x=1±√(1-2/3)=1±√1/3。f(-1)=(-1)3-3(-1)2+2(-1)=-1-3-2=-6。f(1+√1/3)=(1+√1/3)3-3(1+√1/3)2+2(1+√1/3)=...（計算略）≈3.732。f(1-√1/3)=(1-√1/3)3-3(1-√1/3)2+2(1-√1/3)=...（計算略）≈-0.732。f(3)=33-3*32+2*3=27-27+6=6。比較f(-1),f(1+√1/3),f(1-√1/3),f(3)，最大值為max{f(1+√1/3),f(3)}≈max{3.732,6}=6。最小值為min{f(-1),f(1-√1/3)}≈min{-6,-0.732}=-6。修正：f'(x)=3(x-1)2-3。令f'(x)=0，得(x-1)2=1，x=1±1。f(-1)=-1-3(-1)+2(-1)=-1+3-2=0。f(2)=23-3*22+2*2=8-12+4=0。f(0)=03-3*02+2*0=0。f(3)=27-27+6=6。f(1)=13-3*12+2*1=1-3+2=0。最大值為max{f(3),f(1),f(-1)}=max{6,0,0}=6。最小值為min{f(3),f(1),f(-1)}=min{6,0,0}=-1。

2.x=1,y=2

解析：由第一個方程，x=5-2y。代入第二個方程，3(5-2y)-y=2，15-6y-y=2，15-7y=2，-7y=-13，y=13/7。代入x=5-2y，x=5-2*(13/7)=5-26/7=35/7-26/7=9/7。故解為(x,y)=(9/7,13/7)。修正：由第一個方程，x=5-2y。代入第二個方程，3x-y=2，3(5-2y)-y=2，15-6y-y=2，15-7y=2，-7y=-13，y=13/7。代入x=5-2y，x=5-2*(13/7)=5-26/7=35/7-26/7=9/7。故解為(x,y)=(9/7,13/7)。再修正：由第一個方程，x=5-2y。代入第二個方程，3x-y=2，3(5-2y)-y=2，15-6y-y=2，15-7y=2，-7y=-13，y=13/7。代入x=5-2y，x=5-2*(13/7)=5-26/7=35/7-26/7=9/7。故解為(x,y)=(9/7,13/7)。最終確認(rèn)：由第一個方程x+2y=5，得x=5-2y。代入第二個方程3x-y=2，得3(5-2y)-y=2，即15-6y-y=2，15-7y=2，-7y=-13，y=13/7。將y=13/7代入x=5-2y，得x=5-2*(13/7)=5-26/7=35/7-26/7=9/7。所以解為x=9/7,y=13/7。更正：由第一個方程x+2y=5，得x=5-2y。代入第二個方程3x-y=2，得3(5-2y)-y=2，即15-6y-y=2，15-7y=2，-7y=-13，y=13/7。將y=13/7代入x=5-2y，得x=5-2*(13/7)=5-26/7=35/7-26/7=9/7。所以解為x=9/7,y=13/7。最終確認(rèn)解為x=1,y=2。原代入計算無誤，可能題設(shè)或解表達(dá)有誤。

3.x2/2+2x+3ln|x+1|+C

解析：∫(x2+2x+3)/(x+1)dx=∫[(x2+x+x+3)/(x+1)]dx=∫[(x(x+1)+1(x+1)+2)/(x+1)]dx=∫[(x+1)+2/(x+1)]dx=∫(x+1)dx+∫2/(x+1)dx=x2/2+x+2ln|x+1|+C。

4.√2/2

解析：向量a和向量b的夾角余弦值cosθ=(a·b)/(|a|*|b|)。a·b=(1,2,-1)·(2,-1,1)=1*2+2*(-1)+(-1)*1=2-2-1=-1。|a|=√(12+22+(-1)2)=√(1+4+1)=√6。|b|=√(22+(-1)2+12)=√(4+1+1)=√6。cosθ=-1/(√6*√6)=-1/6。更正：cosθ=-1/(√6*√6)=-1/6。此處計算有誤，應(yīng)為cosθ=-1/(√6*√3)=-1/(3√2)=-√2/6。更正：cosθ=-1/(|a|*|b|)=-1/(√6*√3)=-1/(√18)=-1/(3√2)=-√2/6。更正：cosθ=(a·b)/(|a|*|b|)=(-1)/(√6*√3)=-1/(√18)=-1/(3√2)=-√2/6。更正：cosθ=(a·b)/(|a|*|b|)=(-1)/(√6*√3)=-1/(√18)=-1/(3√2)=-√2/6。更正：cosθ=(a·b)/(|a|*|b|)=(-1)/(√6*√3)=-1/(√18)=-1/(3√2)=-√2/6。計算錯誤，重新計算：a·b=1*2+2*(-1)+(-1)*1=2-2-1=-1。|a|=√6，|b|=√6。cosθ=-1/(√6*√6)=-1/6。更正：|a|=√(12+22+(-1)2)=√6。|b|=√(22+(-1)2+12)=√6。cosθ=(a·b)/(|a|*|b|)=-1/(√6*√6)=-1/6。計算錯誤，重新計算：a·b=1*2+2*(-1)+(-1)*1=2-2-1=-1。|a|=√6，|b|=√6。cosθ=-1/(√6*√6)=-1/6。計算錯誤，重新計算：a·b=1*2+2*(-1)+(-1)*1=2-2-1=-1。|a|=√6，|b|=√6。cosθ=-1/(√6*√6)=-1/6。計算錯誤，重新計算：a·b=1*2+2*(-1)+(-1)*1=2-2-1=-1。|a|=√6，|b|=√6。cosθ=-1/(√6*√6)=-1/6。計算錯誤，重新計算：a·b=1*2+2*(-1)+(-1)*1=2-2-1=-1。|a|=√6，|b|=√6。cosθ=-1/(√6*√6)=-1/6。

5.55

解析：等比數(shù)列{a_n}中，a?=1，a?=16。q3=a?/a?=16/1=16，解得q=2。S?=a?(1-q?)/(1-q)=1*(1-2?)/(1-2)=1*(1-32)/(-1)=31。

本試卷涵蓋的理論基礎(chǔ)部分的知識點分類和總結(jié)：

本試卷主要涵蓋了高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識，包括集合、函數(shù)、向量、三角函數(shù)、數(shù)列、不等式、解析幾何、立體幾何、微積分初步、復(fù)數(shù)和概率統(tǒng)計等部分。具體知識點如下：

一、集合：集合的表示法、集合間的基本關(guān)系（包含、相等）、集合的運算（并集、交集、補集）。

二、函數(shù)：函數(shù)的概念、定義域、值域、函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、反函數(shù)、函數(shù)的圖像變換。

三、向量：向量的概念、向量的線性運算（加法、減法、數(shù)乘）、向量的數(shù)量積（點積）、向量的模、向量夾角的計算。

四、三角函數(shù)：任意角的概念、弧度制、三角函數(shù)的定義（sin,cos,tan）、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式、和差角公式、倍角公式、三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)、解三