《應用三角函數(shù)解實際問題的四種常見問題》專項訓練

專項訓練應用三角函數(shù)解實際問題的四種常見問題方法指導：在運用解直角三角形的知識解決實際問題時，要學會將千變?nèi)f化的實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，要善于將某些實際問題中的數(shù)量關系歸結(jié)為直角三角形中的元素(邊、角)之間的關系，若不是直角三角形，應嘗試添加輔助線，構(gòu)造出直角三角形進行解答，這樣才能更好地運用解直角三角形的方法求解．其中仰角、俯角的應用問題，方向角的應用問題，坡度、坡角的應用問題要熟練掌握其解題思路，把握解題關鍵．定位問題1．某校興趣小組坐游輪拍攝海河兩岸美景．如圖，游輪出發(fā)點A與望海樓B的距離為300m，在A處測得望海樓B位于A的北偏東30°方向，游輪沿正北方向行駛一段時間后到達C，在C處測得望海樓B位于C的北偏東60°方向，求此時游輪與望海樓之間的距離BC(eq\r(3)取1.73，結(jié)果保留整數(shù))．坡壩問題2．如圖，水壩的橫斷面是梯形ABCD，其中BC∥AD，背水坡AB的坡角∠BAD＝45°，壩高BE＝20m．汛期來臨，為加大水壩的防洪強度，將壩底從A處向后水平延伸到F處，使新的背水坡BF的坡角∠F＝30°，求AF的長度(結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈1.414，eq\r(3)≈1.732)．測距問題3．如圖，地面上小山的兩側(cè)有A，B兩地，為了測量A，B兩地的距離，讓一熱氣球從小山西側(cè)A地出發(fā)沿與AB成30°角的方向，以每分鐘40m的速度直線飛行，10分鐘后到達C處，此時熱氣球上的人測得CB與AB成70°角，請你用測得的數(shù)據(jù)求A，B兩地的距離AB長(結(jié)果用含非特殊角的三角函數(shù)和根式表示即可)．測高問題4．如圖，在大樓AB的正前方有一斜坡CD，CD＝4m，坡角∠DCE＝30°，小紅在斜坡下的點C處測得樓頂B的仰角為60°，在斜坡上的點D處測得樓頂B的仰角為45°，其中點A，C，E在同一直線上．求：(1)斜坡CD的高度DE；(2)大樓AB的高度(結(jié)果保留根號)．參考答案1．解：根據(jù)題意可知AB＝300m.如圖，過點B作BD⊥AC，交AC的延長線于點D.在Rt△ADB中，因為∠BAD＝30°，所以BD＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×300＝150(m)．在Rt△CDB中，因為sin∠DCB＝eq\f(BD,BC)，所以BC＝eq\f(BD,sin∠DCB)＝eq\f(150,sin60°)＝eq\f(300,\r(3))≈173(m)．答：此時游輪與望海樓之間的距離BC約為173m.方法指導：本題也可過C作CD⊥AB于D，由已知得BC＝AC，則AD＝eq\f(1,2)AB＝150m，所以在Rt△ACD中，AC＝eq\f(AD,cos30°)＝eq\f(150,\f(\r(3),2))≈173(m)．所以BC＝AC≈173m.2．解：在Rt△ABE中，∠BEA＝90°，∠BAE＝45°，BE＝20m，∴AE＝20m.在Rt△BEF中，∠BEF＝90°，∠F＝30°，BE＝20m，∴EF＝eq\f(BE,tan30°)＝eq\f(20,\f(\r(3),3))＝20eq\r(3)(m)．∴AF＝EF－AE＝20eq\r(3)－20≈20×1.732－20＝14.64≈15(m)．∴AF的長度約是15m.3．解：如圖，過點C作CM⊥AB交AB延長線于點M.由題意得，AC＝40×10＝400(m)．在Rt△ACM中，∵∠A＝30°，∴CM＝eq\f(1,2)AC＝200m，AM＝eq\f(\r(3),2)AC＝200eq\r(3)m.在Rt△BCM中，∠CBM＝70°，∴∠BCM＝20°.∴BM＝CM·tan20°.∴AB＝AM－BM＝200eq\r(3)－200tan20°＝200(eq\r(3)－tan20°)m，因此A，B兩地的距離AB長為200(eq\r(3)－tan20°)m.4．解：(1)在Rt△DCE中，DC＝4m，∠DCE＝30°，∠DEC＝90°，∴DE＝eq\f(1,2)DC＝2m.∴斜坡CD的高度DE為2m.(2)如圖，過點D作DF⊥AB，交AB于點F，則∠BFD＝90°，∠BDF＝45°，∴∠DBF＝45°，即△BFD為等腰直角三角形．設BF＝DF＝xm，易知四邊形DEAF為矩形，∴AF＝DE＝2m，即AB＝(x＋2)m.在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，∴BC＝eq\f(AB,sin60°)＝eq\f(x＋2,\f(\r(3),2))＝eq\f(2x＋4,\r(3))＝eq\f(\r(3)（2x＋4）,3)(m)．∵∠DCE＝30°，∠ACB＝60°，∴∠DCB＝90°.在Rt△BCD中，BD＝eq\r(2)BF＝eq\