泛函分析考試題型及答案

泛函分析考試題型及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.設(shè)X是賦范線性空間，x,y∈X，若||x+y||=||x||+||y||，則（）A.x與y線性相關(guān)B.x=0或y=0C.||x-y||=||x||-||y||D.||x-y||=||x||+||y||答案：A2.下列哪個(gè)空間是完備的（）A.有理數(shù)集Q（在通常距離下）B.開(kāi)區(qū)間(0,1)（在通常距離下）C.閉區(qū)間[0,1]（在通常距離下）D.整數(shù)集Z（在離散距離下，d(m,n)=1,m≠n）答案：C3.設(shè)T是從賦范線性空間X到賦范線性空間Y的線性算子，若T在某一點(diǎn)x0∈X連續(xù)，則（）A.T在X上有界B.T僅在x0的鄰域內(nèi)有界C.T在X上無(wú)界D.T僅在包含x0的子空間上有界答案：A4.設(shè)H是希爾伯特空間，{en}是H中的標(biāo)準(zhǔn)正交系，對(duì)于x∈H，若x=∑n=1∞αnen，則αn=（）A.(x,en)B.||x||(en,x)C.||en||(x,en)D.(en,x)/||x||答案：A5.泛函分析主要研究的對(duì)象是（）A.有限維向量空間B.無(wú)限維向量空間C.歐式空間中的幾何圖形D.離散數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)答案：B6.設(shè)X,Y是賦范線性空間，T:X→Y是線性算子，T的范數(shù)||T||定義為（）A.sup{||Tx||:x∈X,||x||=1}B.inf{||Tx||:x∈X,||x||=1}C.sup{||Tx||:x∈X,||x||≤1}D.inf{||Tx||:x∈X,||x||≤1}答案：A7.在巴拿赫空間中，下列說(shuō)法正確的是（）A.每個(gè)柯西列都不收斂B.每個(gè)收斂列都是柯西列，但柯西列不一定收斂C.每個(gè)柯西列都收斂D.收斂列不一定是柯西列答案：C8.設(shè)C[a,b]表示[a,b]上的連續(xù)函數(shù)空間，對(duì)于f∈C[a,b]，定義||f||=max{|f(x)|:x∈[a,b]}，則C[a,b]是（）A.賦范線性空間B.不是賦范線性空間C.內(nèi)積空間但不是賦范線性空間D.希爾伯特空間答案：A9.設(shè)X是線性空間，p(x)是定義在X上的實(shí)值函數(shù)，若p(x)滿(mǎn)足p(x+y)≤p(x)+p(y)且p(λx)=λp(x)（λ≥0），則p(x)稱(chēng)為（）A.范數(shù)B.半范數(shù)C.內(nèi)積D.距離答案：B10.設(shè)H是希爾伯特空間，M是H的閉子空間，對(duì)于x∈H，x在M上的投影是（）A.唯一存在的向量y∈M，使得||x-y||=min{||x-z||:z∈M}B.任意向量y∈M，使得||x-y||=min{||x-z||:z∈M}C.唯一存在的向量y∈M，使得(x-y,z)=0對(duì)所有z∈M成立D.任意向量y∈M，使得(x-y,z)=0對(duì)所有z∈M成立答案：A二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列哪些是賦范線性空間的性質(zhì)（）A.||x||≥0，且||x||=0當(dāng)且僅當(dāng)x=0B.||λx||=|λ|||x||，λ為實(shí)數(shù)，x∈XC.||x+y||≤||x||+||y||D.空間中的任意向量都有內(nèi)積E.空間是完備的答案：ABC2.設(shè)X是希爾伯特空間，下列說(shuō)法正確的是（）A.存在標(biāo)準(zhǔn)正交系B.任意向量都可以表示為標(biāo)準(zhǔn)正交系的線性組合C.內(nèi)積滿(mǎn)足(x,y)=(y,x)的共軛D.對(duì)于任意兩個(gè)向量x,y，有||x+y||2=||x||2+||y||2+(x,y)+(y,x)E.若{xn}是柯西列，則{xn}收斂答案：AC3.線性算子T:X→Y（X,Y是賦范線性空間）是有界的等價(jià)條件有（）A.T將有界集映射為有界集B.存在常數(shù)M>0，使得||Tx||≤M||x||對(duì)所有x∈X成立C.T在X的某個(gè)點(diǎn)連續(xù)D.T在X上一致連續(xù)E.T的圖像{(x,Tx):x∈X}是閉集答案：ABC4.對(duì)于內(nèi)積空間中的向量x,y，下列等式成立的有（）A.||x+y||2=||x||2+||y||2+2Re(x,y)B.||x-y||2=||x||2+||y||2-2Re(x,y)C.(x,y)=(1/4)(||x+y||2-||x-y||2)D.||x||2=(x,x)E.||x+y||2+||x-y||2=2(||x||2+||y||2)答案：ABCDE5.設(shè)M是賦范線性空間X的子空間，下列關(guān)于M的閉性說(shuō)法正確的是（）A.若M中的柯西列都收斂到M中的點(diǎn)，則M是閉的B.若M是有限維的，則M是閉的C.若X是希爾伯特空間，M是凸集，則M是閉的D.若對(duì)于任意x∈X，存在y∈M使得||x-y||=inf{||x-z||:z∈M}，則M是閉的E.若M包含X中的一個(gè)開(kāi)集，則M是閉的答案：ABD6.設(shè){en}是希爾伯特空間H中的標(biāo)準(zhǔn)正交系，下列說(shuō)法正確的是（）A.對(duì)于任意x∈H，∑n=1∞|(x,en)|2≤||x||2（貝塞爾不等式）B.如果∑n=1∞|(x,en)|2=||x||2對(duì)所有x∈H成立，則{en}是完全的標(biāo)準(zhǔn)正交系C.若{en}是完全的標(biāo)準(zhǔn)正交系，則對(duì)于任意x∈H，x=∑n=1∞(x,en)enD.任意兩個(gè)不同的en之間的內(nèi)積為0E.||en||=1答案：ABCDE7.設(shè)T是從賦范線性空間X到賦范線性空間Y的線性算子，下列關(guān)于T的伴隨算子T的性質(zhì)正確的是（）A.若T是有界的，則T是有界的B.(T)=T（在適當(dāng)?shù)牡韧饬x下）C.對(duì)于x∈X,y∈Y，有(Tx,y)=(x,Ty)D.||T||=||T||E.如果T是可逆的，則T是可逆的，且(T)?1=(T?1)答案：ABCDE8.設(shè)X是賦范線性空間，下列關(guān)于X的對(duì)偶空間X的說(shuō)法正確的是（）A.X是賦范線性空間B.X中的元素是X上的線性泛函C.若X是希爾伯特空間，則X可以等距同構(gòu)地嵌入到X中D.||f||X=sup{|f(x)|:x∈X,||x||=1}（對(duì)于f∈X）E.若X是有限維的，則X與X同構(gòu)答案：ABCDE9.在巴拿赫空間中，下列關(guān)于不動(dòng)點(diǎn)定理的說(shuō)法正確的是（）A.壓縮映射一定有唯一的不動(dòng)點(diǎn)B.若T:X→X是映射，且存在0<k<1，使得||Tx-Ty||≤k||x-y||對(duì)所有x,y∈X成立，則T是壓縮映射C.不動(dòng)點(diǎn)定理可以用于求解方程的解D.若T是線性算子且是壓縮映射，則T的不動(dòng)點(diǎn)是0E.若X是希爾伯特空間，T是自伴算子且是壓縮映射，則T的不動(dòng)點(diǎn)是特征向量答案：ABC10.設(shè)C[a,b]是[a,b]上的連續(xù)函數(shù)空間，定義||f||=∫a^b|f(x)|dx，下列說(shuō)法正確的是（）A.C[a,b]是賦范線性空間B.這個(gè)范數(shù)滿(mǎn)足||f||≥0且||f||=0當(dāng)且僅當(dāng)f=0C.||λf||=|λ|||f||（λ為實(shí)數(shù)，f∈C[a,b]）D.||f+g||≤||f||+||g||E.在此范數(shù)下，C[a,b]是完備的答案：ACD三、判斷題（每題2分，共10題）1.賦范線性空間中的范數(shù)是唯一的。（）答案：錯(cuò)誤2.希爾伯特空間一定是巴拿赫空間。（）答案：正確3.線性算子在一點(diǎn)連續(xù)則在整個(gè)空間連續(xù)。（）答案：正確4.內(nèi)積空間中的標(biāo)準(zhǔn)正交系是唯一的。（）答案：錯(cuò)誤5.若T是有界線性算子，則||T||=inf{M>0:||Tx||≤M||x||對(duì)所有x∈X成立}。（）答案：錯(cuò)誤6.在賦范線性空間中，每個(gè)收斂列都是柯西列。（）答案：正確7.設(shè)M是賦范線性空間X的子空間，若M不是閉的，則M在X中的閉包是X。（）答案：錯(cuò)誤8.設(shè)X是希爾伯特空間，{en}是X中的標(biāo)準(zhǔn)正交系，若∑n=1∞(x,en)en收斂，則x=∑n=1∞(x,en)en。（）答案：錯(cuò)誤9.設(shè)T是從賦范線性空間X到賦范線性空間Y的線性算子，若T是一一的，則T的逆算子一定是有界的。（）答案：錯(cuò)誤10.設(shè)C[a,b]是[a,b]上的連續(xù)函數(shù)空間，定義||f||=max{|f(x)|:x∈[a,b]}，則C[a,b]是希爾伯特空間。（）答案：錯(cuò)誤四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.簡(jiǎn)述賦范線性空間與內(nèi)積空間的關(guān)系。答案：內(nèi)積空間是賦范線性空間，通過(guò)內(nèi)積(x,x)的平方根可定義范數(shù)||x||=√(x,x)。但賦范線性空間不一定是內(nèi)積空間，賦范線性空間成為內(nèi)積空間需滿(mǎn)足平行四邊形法則||x+y||2+||x-y||2=2(||x||2+||y||2)。2.什么是巴拿赫空間？答案：巴拿赫空間是完備的賦范線性空間，即其中的每個(gè)柯西列都收斂到該空間中的元素。3.定義線性算子的范數(shù)，并說(shuō)明其意義。答案：設(shè)T是從賦范線性空間X到賦范線性空間Y的線性算子，||T||=sup{||Tx||:x∈X,||x||=1}。它衡量了線性算子T對(duì)向量的“拉伸”程度，反映了T在單位向量上的最大“放大倍數(shù)”。4.解釋希爾伯特空間中的投影定理。答案：設(shè)H是希爾伯特空間，M是H的閉子空間。對(duì)于任意x∈H，存在唯一的y∈M和z∈M⊥，使得x=y+z，其中y稱(chēng)為x在M上的投影，且||x-y||=min{||x-u||:u∈M}。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論賦范線性空間中范數(shù)等價(jià)的概念及其意義。答案：范數(shù)||·||1和||·||2等價(jià)是指存在正數(shù)a,b使得a||x||1≤||x||2≤b||x||1對(duì)所有x成立。意義在于等價(jià)范數(shù)下的收斂性、柯西列等性質(zhì)相同，可根據(jù)具體問(wèn)題選擇合適范數(shù)研究空間結(jié)構(gòu)和算子性質(zhì)。2.分析希爾伯特空間中完全標(biāo)準(zhǔn)正交系的重要性。答案：完全標(biāo)準(zhǔn)正交系很重要。它可用于表示空間中的任意向量，通過(guò)∑n=1∞(x,en)en=x。還能用于