2025年北京市豐臺(tái)區(qū)高二（下）期末考試數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第1頁/共1頁2025北京豐臺(tái)高二（下）期末數(shù)學(xué)2025.07第一部分（選擇題共40分）一．選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中,選出符合題目要求的一項(xiàng)。1．已知集合，，則（A） （B）（C）（D）2．下列四幅散點(diǎn)圖中，所對(duì)應(yīng)的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)的是（A）（B）（C）（D）3．若，則（A） （B）（C）（D）4．已知數(shù)列是等比數(shù)列，若，則（A） （B）（C） （D）5．已知函數(shù)，則（A）（B） （C） （D）6.已知某班級(jí)有女生16人，男生14人，女生中喜歡羽毛球運(yùn)動(dòng)的有8人，男生中喜歡羽毛球運(yùn)動(dòng)的有10人.現(xiàn)從這個(gè)班級(jí)隨機(jī)抽取一名學(xué)生，已知抽到的是女生，則該生喜歡羽毛球運(yùn)動(dòng)的概率為（A）（B）（C）（D）7.“”是“”的（A）充分不必要條件（B）必要不充分條件（C）充要條件（D）既不充分也不必要條件8.已知函數(shù)，則（A）是偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增（B）是奇函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減（C）是偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增（D）是奇函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減9.某校組織大型校慶活動(dòng)，有甲、乙、丙3名志愿者負(fù)責(zé)A，B，C，D共4項(xiàng)任務(wù).每人至少負(fù)責(zé)一項(xiàng)任務(wù)，每項(xiàng)任務(wù)有且只有一人負(fù)責(zé)，那么甲不負(fù)責(zé)A任務(wù)的分配方法共有（A）12種 （B）18種 （C）24種 （D）36種10．已知函數(shù)，則下列四個(gè)結(jié)論不正確的是（A），有極小值（B），恰有2個(gè)零點(diǎn)（C），使得不等式恒成立（D），使得關(guān)于的方程有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解第二部分（非選擇題共110分）二．填空題共5小題，每小題5分，共25分。11.在的展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)是.（用數(shù)字作答）12.已知函數(shù)，且的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則.13.用數(shù)字0、1、2、3、4組成的無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為.（結(jié)果用數(shù)字作答）14.某手機(jī)銷售店只銷售甲、乙兩個(gè)品牌的手機(jī)，其中甲品牌的銷售量占本店手機(jī)銷售量的40%，優(yōu)質(zhì)率為80%，乙品牌的優(yōu)質(zhì)率為90%.從該店中隨機(jī)買一部手機(jī)，則“買到的是優(yōu)質(zhì)品”的概率為.15.已知數(shù)列滿足，，給出下列四個(gè)結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，都有；②當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，都有；③當(dāng)時(shí)，存在，使數(shù)列是常數(shù)列；④當(dāng)時(shí)，存在，使數(shù)列是遞減數(shù)列.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是____________．

三．解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。16.（本小題13分）已知函數(shù).（Ⅰ）求曲線在處的切線方程；（Ⅱ）求在區(qū)間上的最小值和最大值；（Ⅲ）寫出不等式的解集.（不用說明理由）17.（本小題14分）2025年4月25日下午，第十五屆北京國(guó)際電影節(jié)AIGC電影單元榮譽(yù)盛典在中國(guó)傳媒大學(xué)隆重舉行.本屆活動(dòng)共收到1502部參賽作品，經(jīng)過激烈角逐，最終79部佳作入圍社會(huì)組、高校組、青少年組及中石化主題賽四大競(jìng)賽板塊.青少年組的入圍作品有5部，其中有4部榮獲“優(yōu)秀影片”，1部榮獲“最佳影片”.（Ⅰ）從參賽作品中隨機(jī)選取1部，求恰好選到入圍佳作的概率；（Ⅱ）現(xiàn)有1名同學(xué)從青少年組獲獎(jiǎng)的5部影片中隨機(jī)選取3部觀看，設(shè)選到“最佳影片”部數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.18.（本小題14分）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)為和為（），．再?gòu)臈l件①，條件②和條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得數(shù)列唯一確定并解答以下問題：（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．條件①：成等差數(shù)列；條件②：；條件③：．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．

19.（本小題14分）2025年3月14日（第六個(gè)國(guó)際數(shù)學(xué)日），某校開展了“站擂臺(tái)”、“史探秘”、“日海報(bào)”、“徽設(shè)計(jì)”、“帽設(shè)計(jì)”共5項(xiàng)挑戰(zhàn)活動(dòng)，每名學(xué)生至少參與其中一項(xiàng)活動(dòng).為了解該校上述活動(dòng)的參與情況，現(xiàn)從高一、高二、高三學(xué)生中各隨機(jī)選取100名學(xué)生作為樣本進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查數(shù)據(jù)如下表：參與人數(shù)挑戰(zhàn)活動(dòng)站擂臺(tái)史探秘日海報(bào)徽設(shè)計(jì)帽設(shè)計(jì)高一8045557545高二4060608040高三1550402030通過樣本估計(jì)該校全體學(xué)生參與活動(dòng)的情況.（Ⅰ）從5項(xiàng)活動(dòng)中隨機(jī)選擇1項(xiàng)，估計(jì)此項(xiàng)活動(dòng)全校參與的人數(shù)大于該?？?cè)藬?shù)的一半的概率；（Ⅱ）從該校高一年級(jí)中隨機(jī)選取1名學(xué)生，高二年級(jí)中隨機(jī)選取2名學(xué)生，求這3名學(xué)生中恰有2名學(xué)生參與“徽設(shè)計(jì)”的概率；（Ⅲ）假設(shè)高一某班參加挑戰(zhàn)活動(dòng)的情況如下：挑戰(zhàn)活動(dòng)站擂臺(tái)史探秘日海報(bào)徽設(shè)計(jì)帽設(shè)計(jì)參與人數(shù)79當(dāng)數(shù)據(jù)7，，9，，的方差最小時(shí)，寫出，，的值.（結(jié)論不要求證明）20.（本小題15分）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）設(shè)（為的導(dǎo)數(shù)），求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）求的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).

21.（本小題共15分）已知集合和（）且.集合由元素或構(gòu)成，其中，，且與恰有一個(gè)屬于.定義，其中定義，其中（Ⅰ）若，且，寫出，及的值；（Ⅱ）從中任意刪去一個(gè)數(shù)，并從中任意刪去一個(gè)數(shù)，記剩下個(gè)數(shù)的和為，證明：；（Ⅲ）若，且，設(shè)為中滿足的元素個(gè)數(shù)，為中滿足的元素個(gè)數(shù)，證明：.

參考答案一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．題號(hào)12345678910答案ADBCCBADCC二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11．2412．13．9614．0.8615．①③④三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.（本小題14分）解：（Ⅰ），，又，所以曲線在處的切線方程為；……5分（Ⅱ）令得，，當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：1-0+↘↗又，，所以在區(qū)間上的最小為，最大值為2.………11分（Ⅲ）不等式的解集為或.……………14分17.（本小題13分）解：（Ⅰ）設(shè)A=“從參賽作品中隨機(jī)選取1部，恰好選到入圍佳作”，則.…………4分（Ⅱ）X的可能取值為0,1，，.X的分布列如下表所示：X01PX的均值為.………………13分18.（本小題14分）解：（Ⅰ）選擇②：因?yàn)?，?shù)列為等比數(shù)列，顯然，所以，即，，所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，即（）.選擇③：因?yàn)?，?shù)列為等比數(shù)列，所以（以下同條件=2\*GB3②）……………7分（Ⅱ）因?yàn)椋?，所以?shù)列是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，所以.……………14分19.（本小題15分）解：（Ⅰ）設(shè)A=“從5項(xiàng)活動(dòng)中隨機(jī)選擇1項(xiàng)，此項(xiàng)活動(dòng)全校參與的人數(shù)大于該?？?cè)藬?shù)的一半”，則………………5分（Ⅱ）從該校高一年級(jí)中隨機(jī)選取1名學(xué)生參與“徽設(shè)計(jì)”的概率為，從高二年級(jí)中隨機(jī)選取1名學(xué)生參與“徽設(shè)計(jì)”的概率為，設(shè)B=“從高一年級(jí)隨機(jī)選取1名學(xué)生，高二年級(jí)隨機(jī)選取2名學(xué)生，這3名學(xué)生中恰有2名學(xué)生參與徽設(shè)計(jì)”，則.………12分（Ⅲ）.…………15分20.（本小題15分）解：（Ⅰ），因?yàn)榍€在點(diǎn)處的切線方程為，所以所以所以.…………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，的定義域?yàn)椋?，令得，，所以的變化情況如下表+0-+↗↘↗所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，，單調(diào)遞減區(qū)間是.…10分（Ⅲ）的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)就是的變號(hào)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即的變號(hào)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).因?yàn)?，，，，，所以存在唯一的，使得，存在唯一的，使?的變化情況如下表：0(01)-0+0--0+↘↗0↘↘↗所以的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.…………………15分21.（本小題14分）解：（Ⅰ）.…………4分（Ⅱ）由定義，恒有成立.所以不妨設(shè)刪去的數(shù)是和，則有，和分別取得的最大值為和，下證兩個(gè)最值不能同時(shí)取到.