尊重學(xué)生提問遇見“美麗風(fēng)景”

1尊重學(xué)生提問，遇見“美麗風(fēng)景”摘要：核心素養(yǎng)是當前新課程中非常重要的能力要求，如何提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是每一位數(shù)學(xué)教師都要研究的課題。下面筆者來分享正、余弦定理教學(xué)時如何抓住學(xué)生的“意外”提問來培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維、提升數(shù)學(xué)核心素的案列。關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng)，學(xué)生提問，課堂思考，三角形，總結(jié)反思引言：日常的教學(xué)過程中，有時學(xué)生會提出一些與當堂內(nèi)容無關(guān)的“意外”問題，多數(shù)情況下為了在有限的時間內(nèi)完成既定的教學(xué)任務(wù)，我們會輕描淡寫地回答，或者課下給予回答。筆者認為，我們應(yīng)該分情況處理這類問題。有些問題確實意義不大，可以采用課上做個簡單回應(yīng)，課后和學(xué)生單獨交流的方式：有些問題則恰恰相反，貌似無關(guān)，實則不然，有時甚至需要我們放下所謂的教學(xué)進度和原本的計劃安排，重調(diào)教學(xué)內(nèi)容，重設(shè)教學(xué)方向。若我們處理得當，會有意外的驚喜收獲。課堂開始一段時間后，老師給出以下問題。教師：在DABC中，C為鈍角，若a=2,b=3,則c邊的取值范圍是o學(xué)生1:因為C為鈍角，由余弦定理可知。即a2+b2-c2<0,教師：這個答案正確嗎?有沒有同學(xué)要補充?學(xué)生2:我覺得不完整，用余弦定理研究邊長問題，首先應(yīng)保證該三角形是存在的，即保證該任意兩邊之和大于第三邊，故還應(yīng)限制2+3>c,2+c>3,解得1<c<5所以c的學(xué)生都覺得很有道理。于是，筆者順水推舟地對此做了強調(diào)。正當筆者想進入下一道題目時，一名學(xué)生站了起來，說出他的疑惑。學(xué)生3:老師，之前用余弦定理求邊長，從來沒有進行三角形是否存在的檢驗。如有這樣的一道題目“在DABC中，已知a=2√3,b=6,A=30°,求c的值”,根據(jù),解得c=2√3或4√3,就沒有對c的這兩個值2進行檢驗。而為什么剛才問題中根據(jù)余弦定理求得c的范圍后，還要保證這樣的c能使得三角形的任意兩邊之和大于第三邊呢?這個問題也引起了其他同學(xué)的共鳴，大家也都疑惑不解，議論隨之展開，還有些學(xué)生陷入沉思和迷茫之中。這個問題完全在筆者的意料之外，可以說是課堂的“突發(fā)”事件，坦率地講這是一個很好的問題，即用余弦定理求得三角形的邊長后，要不要檢驗所求的邊長，以保證三角形的任意兩邊之和大于第三邊呢?當時筆者陷入了糾結(jié)之中，若搪塞過去，則可以按照原定的計劃進行教學(xué)，但對不起學(xué)生既充滿疑惑又飽含渴望的眼神；若停下來處理該問題，則不僅這節(jié)課原本的計劃和節(jié)奏會被這個與本節(jié)課主旨無關(guān)的問題打亂，而且對于這個問題將會處理得如何也不得而知，但是，可以肯定一點，對這個問題的研究可以提高學(xué)生的邏輯思維能力和探究能力。于是，筆者決定放棄原有的教學(xué)計劃，引導(dǎo)學(xué)生探究這一課堂生成的“好問題”。教師：現(xiàn)在我們一起來研究這個問題，即用余弦定理求得的三角形的邊長后，要不要再保證三角形的任意兩邊之和大于第三邊?學(xué)生4:需要檢驗，因為余弦定理成立的前提是該三角形要存在，而求出的邊的值不一定滿足前提，所以需要檢驗。在學(xué)生3提的這個具體問題中，c的兩個值恰好是滿足題意的，這里有偶然的因素，不是必然的結(jié)果，所以我覺得一定要檢驗。學(xué)生5:無須檢驗，由經(jīng)驗得，利用余弦定理求得邊的值都滿足三角形的任意兩邊之和大于第三邊。其他同學(xué)基本持以上兩種觀點。教師：以上兩種觀點貌似都有一定的道理，還要做進一步的分析。學(xué)生6:我覺得利用余弦定理求三角形的邊長有這樣兩種情形：情形一是已知兩邊及它們的夾角，求第三邊；情形二是已知兩邊及其中一邊的對角，求第三邊。對于情形一，由計算和圖形都易知此時第三邊只有一解，無須檢驗，所以我們只需要研究第二種情形即可。教師：好的，對于情形二，我們可以先研究特殊的情形，再研究一般的情形，這也是我們研究問題的一般策略，即從特殊到一般(歸納推理)。我們不妨考慮下面這種特殊的情形：在DABC中，已知邊a,b邊的長和A=30°,求c邊的長，然后考察求得的邊c是否滿足三角形的任意兩邊之和大于第三邊。還可以將A角設(shè)定為45°○或者60°來研究3學(xué)生7:我選擇特殊角A=30°的情形。由余弦定理即c2√3bcb2a20,若該方程有正實數(shù)根，設(shè)為(一根或兩根),下面研究教師：學(xué)生7提出的問題想必也是我們其他同學(xué)的疑問，大家認真想一想如何驗證這三個不等式是否成立?在巡視過程中發(fā)現(xiàn)很多同學(xué)按照下面的兩種思路來嘗試驗證。思路1:將c2√3bcb2a20看作關(guān)于c的二次方程，利用求根公式將正實數(shù)根co表示出來，帶入三個不等式然后研究能否用成立。思路2:將c代入方程得等式c。2√3bgb2a20,在這樣的關(guān)系式下研究三個不等式能否成立。但是這兩個思路都很難繼續(xù)下去。此時教師要進行適時的點撥：思路1是減少變元，c。2√3b?b2a20看作一個等式，但是沒有關(guān)注到該等式和要證的不等式之間的聯(lián)系。要適當對欲證的三個不等式做變形處理，請學(xué)生繼續(xù)思考。一些學(xué)生在結(jié)合分析法研究后獲得如下思路：要證b+c。>a,只需證明(b+c)2-a2=3+2)bc>0,即(b+c)2>a2成立，故b+c>a得證；要證明acbb將以上思路板書后，學(xué)生的疑慮已解決了大半。但還沒完全解決，有學(xué)生繼續(xù)提問。學(xué)生8:那當A角為一般情形時邊c是否也滿足三角形的任意兩邊之和大于第三邊呢?(學(xué)生再次自主研究與合作探究，教師巡查指導(dǎo))有了剛才的經(jīng)驗，學(xué)生得到了如下的處理策略。4學(xué)生9:設(shè)關(guān)于c的方程A有正實數(shù)根co(一根或兩根),下面研究,a,aCb,a(b+c)2>a2成立，故b+c>a時正實數(shù)根co也能滿足三角形的任意兩邊之和大于第三邊，所以，更一般的情形下，對求得的正實數(shù)根co也無須檢驗。教師：以上，我們先對特殊情形進行研究，得到了解決這個問題的策略，然后再對A(0<A<p)的一般情形利用同樣的策略研究得到相同的結(jié)果，這一研究過程體現(xiàn)了特殊到一般的數(shù)學(xué)思想(歸納推理)。學(xué)生10:我們剛才的研究分兩種情形，情形1是已知兩邊及它們的夾角，關(guān)注求得的第三邊是否需要檢驗；情形2是已知兩邊及一邊的對角，關(guān)注求得的第三邊是否需要檢驗，其實我覺得可以將這兩種情形統(tǒng)一起來處理，方法如下：(b+c)2>a2,即b+c>a;由不等式的右邊得(b-c)2<a2,這樣，利用余弦定理求得的三角形的邊長一定能滿足三角形的任意兩邊之和大于第三邊，所以利用余弦定理求得的邊長無須檢驗。學(xué)生10很好地解決了開始提出的疑問，臺下給以了熱烈的掌聲。教師：學(xué)生10的方法非常好，簡潔明了。通過共同的研究，我們明確了一個結(jié)論：利用余弦定理求得的三角形的邊長無須檢驗。這樣，我們明確了學(xué)生3提出的問題中c的兩個值無須檢驗。那么,開始的問題中又為什么要對邊c檢驗?zāi)?(學(xué)生又一次回到研究之中)學(xué)生11:原解法中，只限制了這樣解出c√5的范圍是不1完整的，應(yīng)限制1樣用余弦定理處理就無須檢驗邊c了。 ■5學(xué)生紛紛表示贊同，至此，學(xué)生所有的疑惑和迷茫都煙消云散了，臉上洋溢著滿足的笑容。課堂教學(xué)固然需要不折不扣地完成既定的教學(xué)內(nèi)容，但適當?shù)匾越虒W(xué)內(nèi)容為載體動態(tài)地調(diào)控課堂的走向往往可以取得更好的效果。另外，課堂教學(xué)價值取向的最重要一點就是是否提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。本節(jié)課的教學(xué)任務(wù)雖然被“突發(fā)”問題耽擱，取而代之的是學(xué)生通過自我研究和相互討論弄清了利用余弦定理求得邊長無須對其檢驗的原因?？陀^上，這一問題的探究超出了教學(xué)要求，但從另一個側(cè)面來看，本節(jié)課中，學(xué)生經(jīng)過質(zhì)疑、思考、合作、探究最終解決疑問，這樣的認知過程，從知識本身層面而言，它是對余弦定理認識的進一步加深；從知識應(yīng)用層面而言，它是不等式知識的綜合運用；從數(shù)學(xué)能力層面而言，它不僅提升了運算求解、演繹證明的思維能力，也提高了學(xué)生自我提出問題、分析問題、解決問題的能力。課堂中如何開展數(shù)學(xué)探究活動?數(shù)學(xué)探究活動的根本目的是促進學(xué)生學(xué)習(xí)方式的變革，實現(xiàn)學(xué)生對知識的自主建構(gòu)。開展數(shù)學(xué)探究活動，首先要關(guān)注學(xué)生已有的知識基礎(chǔ)和已具備的能力，應(yīng)將學(xué)生的探究活動置于學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”。本節(jié)課，學(xué)生已經(jīng)具備了余弦定理和不等式的相關(guān)知識，對特殊到一般以一個協(xié)作者、促進者和指導(dǎo)者的角色參與其中，讓學(xué)生說思路、講道理，注重學(xué)生對研究過程的經(jīng)歷。在研究A=30°的特殊情形中，學(xué)生更多的是對三個不等式做變形處理遇到了障礙，此時教師應(yīng)給予必要的啟發(fā)和點撥，如給出“關(guān)注條件和悅目。教師作為課堂教學(xué)的組織者，應(yīng)該努力為學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個互助型、支持性的研究氛圍，并以恰當?shù)男问浇o予學(xué)生心理上的安全感，讓學(xué)生想說、敢說、能說。另外，教師還應(yīng)善于觀察學(xué)生，學(xué)會傾聽，給學(xué)生留足表達的空間，在學(xué)生遇到困難時給予一定的發(fā)表意見，包括朦朧的想法、遇到的困難、錯誤的思路，等等，學(xué)生各抒己見，毫不怯場，在思路的碰撞中成功地完成了這一環(huán)節(jié)，也在無形中提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。學(xué)生課堂中提出的問題是可貴的教學(xué)資源，從某種意義上來說是教學(xué)中要解決的真6正的問題。所以我們要尊重