傳染病的擴(kuò)散和傳播模型(hgp)#特選內(nèi)容

1、流行病毒的擴(kuò)散與傳播的控制問題摘要本文以微分方程為理論基礎(chǔ)，建立流行病毒的擴(kuò)散與傳播的控制模型，進(jìn)而對疫情的蔓延趨勢進(jìn)行分析。對問題一，首先將人群劃分為五類：正常人、疑似患者、確診患者、治愈者、死亡者，前三類組成傳染系統(tǒng)。假設(shè)疑似患者包括病毒攜帶者（潛伏期患者）和非病毒攜帶者(最終為正常人)兩部分，潛伏期患者最終都會被確診，由此建立各類人群數(shù)量之間的變化關(guān)系。然后將疫情變化分為兩個階段：控制前和控制后。在控制前階段，由于病人未被隔離，相當(dāng)于自由傳染源，其每人每天接觸的個人都會成為疑似病例，因此疫情發(fā)展較迅速。在控制后階段，疑似病例被隔離，確診病人得到有效治療，傳染源減少，傳染源每天接觸的人數(shù)減

2、少，治愈人數(shù)增多，退出傳染系統(tǒng)者增多，最終疫情得到有效控制。由上，建立起微分方程模型。對問題二，代入題中限制條件求解模型得到潛伏期人數(shù)和確診患者人數(shù)隨時間變化的曲線圖，控制前時，潛伏期人數(shù)增至，確診患者人數(shù)增至為4062，并且兩者增長速度很快，控制后四五天，潛伏期人數(shù)和確診患者人數(shù)增到最大值，而后逐漸下降，在時潛伏期人數(shù)幾乎為零，當(dāng)時確診患者人數(shù)幾乎為零。這時，疫情已經(jīng)被控制。對問題三，提前一天開始控制，時，潛伏期人數(shù)達(dá)到最大值；時確診患者人數(shù)達(dá)到最大，而后也逐漸降低，到第十一天潛伏期的人數(shù)幾乎為零，第十二天患病者人數(shù)幾乎為零。對問題四，將隔離強度增強改為0.9，重復(fù)求解得：高峰期潛伏者人數(shù)確

3、診患者人數(shù)。到第九天潛伏期人數(shù)減為零，到第十天確診患者人數(shù)減為零，并根據(jù)以上分析結(jié)合實際給出一份建議報告。關(guān)鍵詞：傳染病 微分方程 潛伏期 一、問題重述近來豬流感在墨西哥爆發(fā)，引起全世界人的關(guān)注。流行病毒的擴(kuò)散與傳播的控制問題得到各國領(lǐng)導(dǎo)人和世界衛(wèi)生組織的重視。各國都采取各種措施預(yù)防豬流感病毒的傳播和蔓延。假設(shè)該病毒的潛伏期為d1至d2天，得病患者經(jīng)治療經(jīng)過d3天可以治愈，嚴(yán)重的可能引起患者死亡。該病毒可通過直接接觸、口腔飛沫進(jìn)行傳播、擴(kuò)散。設(shè)人群中每人每天的接觸人數(shù)為r。人群中的人可以分為5類：確診患者、疑似患者、治愈者、死亡人和正常人，可控制參數(shù)是隔離措施強度，即潛伏期內(nèi)的患者及疑似患者被

4、隔離的百分?jǐn)?shù)。 1.建立流行病病毒擴(kuò)散與傳播的控制模型； 2.利用所建立的模型針對如下數(shù)據(jù)進(jìn)行模擬：條件1.的d1=2, d2=7, d3=20, r=15；條件2.已經(jīng)知道出事發(fā)病人數(shù)為50人，疑似患者280人；條件3.隔離強度p=75%；條件4.患者2天后入院治療；疑似患者2天后被隔離。 試給出患者人數(shù)隨時間變化的曲線圖，并標(biāo)識圖中的一些特殊點的具體數(shù)據(jù)，分析結(jié)果的合理性。 3.若將2中條件4改為患者1天后入院治療，疑似患者1天后隔離，模擬結(jié)果如何變化？ 4.若將2中條件3改為隔離強度p=90%模擬結(jié)果如何變化？分析問題中參數(shù)對計算結(jié)果的敏感性。 5.針對以上數(shù)據(jù)給政府部門寫一份建議報告。

5、二、問題分析首先，將人群分為五類：正常人、疑似患者、確診患者、治愈者、死亡者。正常人，即沒患過該傳染病的人；疑似患者，即與確診患者接觸的人；確診患者，即被診斷患該傳染病的人；治愈者，即患了該病但被治愈的人；死亡者，即因該病而死的人。其中，疑似患者中包括一部分健康人群和一部分潛伏期人群。豬流感病毒的傳播過程大致為：疑似患者病毒攜帶者（潛伏期）確診患 者 非病毒攜帶者正常人 治愈者死亡者正常人通過分析各類人群之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，可以建立微分方程模型來刻畫豬流感傳染規(guī)律。三、模型假設(shè)1、假設(shè)人口基數(shù)不變，不受病毒傳播的影響；2、假設(shè)潛伏期的病人不具備傳染性；3、假設(shè)潛伏期的病人最終一定會被確診為患者；4

6、、假設(shè)治愈者不會被再次感染，屬于傳染系統(tǒng)退出者；5、假設(shè)將豬流感所有的傳播路徑都視為與確診患者的直接接觸。四、符號說明：時刻傳染系統(tǒng)內(nèi)的總?cè)藬?shù)； ：時刻確診患者的人數(shù)；：時刻疑似患者的人數(shù)；：時刻處于潛伏期的人數(shù)；：時刻退出傳染系統(tǒng)的人數(shù)（包括治愈者和死亡者）；: 疑似患者中潛伏期患者速戰(zhàn)的比例；：每個自由傳染源每天接觸的人數(shù)；：潛伏期人數(shù)中每日被確診患病的人數(shù)占潛伏期人數(shù)的比例；：每日退出傳染系統(tǒng)的人數(shù)。五、模型的建立與求解問題一：模型建立1、控制前階段 分析控制前階段時間內(nèi)，疫情的發(fā)展與變化。a.正常人-疑似患者： 控制前階段病人尚未被隔離，所以疫情發(fā)展比較迅速，此時病人人均每天接觸個正常

7、人，假設(shè)時刻病人人數(shù)為，則新增疑似患者人數(shù)為，。b.疑似患者-潛伏期： 疑似患者中包括病毒攜帶者和非病毒攜帶者，病毒攜帶者會進(jìn)入潛伏期，而非病毒攜帶者最終還是正常人。 設(shè)疑似患者中病毒攜帶者占疑似患者的比例為，假設(shè)時刻疑似患者人數(shù)為，潛伏期患者人數(shù)為，則，故新增潛伏期人數(shù)為。c.潛伏期-確診患者： 因為每日潛伏期病人變?yōu)榇_診患者的數(shù)量呈指數(shù)增長，用表示這一特性。那么新增確診患者人數(shù)為，現(xiàn)在要確定，如果潛伏期天數(shù)為到，假設(shè)其變化到了一個穩(wěn)定階段，那么隨著天數(shù)的增加潛伏期的病人越來越多，其概率分布呈指數(shù)穩(wěn)步增長，則每天有概率的人變?yōu)樨i流感患者，即。所以新增患者人數(shù)：。d.確診患者-治愈、死亡：設(shè)T

8、為退出系統(tǒng)人數(shù)（治愈者和死亡者），如果治愈天數(shù)設(shè)為，那么天后病人要么死亡要么被治愈，而被治愈的人產(chǎn)生抗體，不再會被傳染，所以被治愈的人和死亡的人都算作退出系統(tǒng)的人。設(shè)系統(tǒng)退出率為，則有退出人數(shù)。的求解方法與相同，即隨著天數(shù)的增加退出傳染系統(tǒng)的人數(shù)也越來越多，則。故新退出傳染系統(tǒng)的人數(shù)。根據(jù)上述a、b、c、d、的式子可進(jìn)一步得出：所以得出以下：2、控制后階段分析控制后階段時間內(nèi)，疫情的發(fā)展與變化。a.正常人-疑似患者：控制后階段，病人開始被隔離，所以疫情發(fā)展開始變慢，并受隔離強度影響，此時病人每天接觸的正常人數(shù)目也在變小，假設(shè)病人的數(shù)目為，則疑似患者數(shù)目。又因為接觸率與隔離強度有關(guān)，也呈指數(shù)分布

9、，所以，故新增疑似患者的數(shù)目。b.疑似患者-潛伏期： 控制后階段，疑似患者中病毒攜帶者占疑似患者的比例不會改變。假設(shè)時刻疑似患者人數(shù)為，潛伏期患者人數(shù)為，故新增潛伏期人數(shù)為。c.潛伏期-確診患者：潛伏期患者變?yōu)榇_診患者的過程與控制前時刻相同，所以新增患者人數(shù)。d.確診患者-治愈者、死亡者：同樣退出傳染系統(tǒng)的人數(shù)不變，則新增退出傳染系統(tǒng)的人數(shù)。根據(jù)上述a、b、c、d可進(jìn)一步求得出：整理后得：建立好了數(shù)學(xué)模型，要對實際情況求解。問題二的求解：條件1.的d1=2, d2=7, d3=20, r=15；條件2.已經(jīng)知道出事發(fā)病人數(shù)為50人，疑似患者280人；條件3.隔離強度p=75%；條件4.患者2天

10、后入院治療；疑似患者2天后被隔離。根據(jù)上述條件可得到的方程為：控制前階段：，即控制后階段 用MatLab求解可得下圖：（程序見附錄）圖1 控制前潛伏期和確診患者的人數(shù)隨時間的變化由MatLab求解可得當(dāng)天時，。由圖1圖象可以看出，當(dāng)流行病毒開始傳播而政府還沒有采取措施時，病毒迅速傳播，潛伏期人數(shù)和患病人數(shù)隨著時間而快速增長，與實際相符，控制前模型合理。圖2 控制后階段潛伏期人數(shù)和確診患者人數(shù)隨時間的變化時，潛伏期人數(shù)達(dá)到最大值，；時，確診患者人數(shù)達(dá)到最大值，。由圖2圖象可以看出流行病毒傳染兩天后，政府開始控制，在第四天潛伏期人數(shù)和患病者都達(dá)到高峰期。此后，兩者都開始下降，到達(dá)第十一天疫情基本被

11、控制住，到第十二天左右潛伏期人數(shù)幾乎為零，到第十四天患病人數(shù)幾乎為零。與實際相符，控制后模型合理。問題三求解政府在疫情發(fā)生一天后開始控制：控制前階段：，即控制后階段: 同上一問用MatLab求解微分方程可得下圖:圖3 控制前潛伏期和確診患者人數(shù)隨時間的變化由MatLab求的當(dāng)天時，Q=1584,I=370圖4 控制后潛伏期和確診患者人數(shù)隨時間的變化時，潛伏期人數(shù)達(dá)到最大值；時確診患者人數(shù)達(dá)到最大觀察圖4圖象可以看出疫情發(fā)生一天后就開始控制時，第三天疫情到達(dá)高峰期，到第九天疫情基本得到控制，到第十一天潛伏期的人數(shù)幾乎為零，第十二天患病者人數(shù)幾乎為零。與兩天后開始控制相比較，先控制可以提前到達(dá)高峰

12、期且高峰期人數(shù)比前者明顯減少，疫情發(fā)展明顯沒有前者嚴(yán)重，說明政府著手開始控制疫情越早越可以減小流行病毒的傳染。這與現(xiàn)實相符，更證明模型較合理。問題四求解 將時，重復(fù)求解。圖5 時控制后的疑似患者和確診患者的人數(shù)隨時間的變化 觀察上圖可知：隔離強度加強變?yōu)楹螅叻迤跁r的潛伏者人數(shù)，確診患者人數(shù)，與時相比潛伏期人數(shù)減少1195，確診患者人數(shù)減少1074。并且潛伏期人數(shù)提前2天減為零，確診患者人數(shù)提前1天減為零。由于政府加強隔離強度可以減小每人每天的接觸人數(shù)，從而可以更有效的控制疫情。這與實際相符合，模型正確。問題五：建議報告 隨著社會的進(jìn)步，科學(xué)技術(shù)的創(chuàng)新，越來越多的傳染病得到有效的控制和治療，但

13、新的傳染病層出不窮，面對新發(fā)的某些不完全確知的具有傳染性的病毒的突襲，我們要了解該病毒的傳播方式，做好相應(yīng)的防范措施。由本模型可知，人群的接觸人數(shù)值越大，正常人被感染的幾率越大，疫情擴(kuò)散的越快，因此在疫情期間，要避免去人群密集區(qū)，減少公共活動，降低病毒的傳播率。隔離措施強度相比較可知，值越小病情越難控制，所以政府要加強隔離措施強度，且要降低拖延患者去住院的時間，讓患者及時住院治療，從而遏制病毒的擴(kuò)散。另外，醫(yī)療是幫助確診病人恢復(fù)健康的重要因素。但由于現(xiàn)階段很多地方醫(yī)療保健措施還不得當(dāng)，導(dǎo)致出現(xiàn)不能及時就醫(yī)的情況，不利于對流感的預(yù)防和治療，從而增強了疫情蔓延的趨勢，所以完善醫(yī)療結(jié)構(gòu)，確保健康生活

14、非常重要。六、模型的評價模型優(yōu)點：1、該模型的關(guān)鍵在于對人群進(jìn)行了合理的分類。然后根據(jù)這些分類對各個參與運算的因素（正常人、疑似患者、確診患者、治愈者和死亡者）用微分方程進(jìn)行動態(tài)模擬，方法是合理的。并且，參與運算的因素及得出的結(jié)果都比較準(zhǔn)確。2、該模型針對不同隔離強度進(jìn)行分段研究，能夠方便有效的預(yù)測疫情趨勢，只需對參數(shù)進(jìn)行估計，給出初值帶入模型即可。模型缺點：1、模型沒有考慮隨著疫情的發(fā)展有效接觸率的變化；2、模型沒有考慮不同年齡段對病毒的抵抗力不同。參考文獻(xiàn)：1韓中庚.數(shù)學(xué)建模方法及其應(yīng)用.北京：高等教育出版社，2005.2陳理榮.數(shù)學(xué)建模導(dǎo)論.北京：北京郵電大學(xué)出版社，1992.3胡守信，

15、李柏年.基于MATLAB的數(shù)學(xué)實驗.北京：科學(xué)出版社,2004.附錄問題二程序function odefun=dydx(t,x) odefun=15*0.8*x(2)-(1-(0.8)*exp(-t)*x(1) (1-0.8*exp(-t)*x(1)-(1-(19/20)*exp(-t)*x(2);x0=224 50;tspan=0 2;t,x=ode45(dydx,tspan,x0);subplot(1,2,1);plot(t,x(:,1);title(控制潛伏期人數(shù));subplot(1,2,2);plot(t,x(:,2);title(控制前患者人數(shù));xfunction odefun=

16、hgp(t,x)odefun=15*0.8*exp(-0.75*t)*x(2)-(1-0.8*exp(-t)*x(1) (1-0.8*exp(-t)*x(1)-(1-(19/20)*exp(-t)*x(2)x0=15093 4062;tspan=2 20;t,x=ode45(hgp,tspan,x0);subplot(1,2,1);plot(t,x(:,1);title(控制后潛伏期人數(shù));subplot(1,2,2);plot(t,x(:,2);title(控制后患者人數(shù));x問題三程序function odefun=dydx(t,x) odefun=15*0.8*x(2)-(1-(0.8)

17、*exp(-t)*x(1) (1-0.8*exp(-t)*x(1)-(1-(19/20)*exp(-t)*x(2);x0=224 50;tspan=0 1;t,x=ode45(dydx,tspan,x0);subplot(1,2,1);plot(t,x(:,1);title(控制潛伏期人數(shù));subplot(1,2,2);plot(t,x(:,2);title(控制前患者人數(shù));xfunction odefun=hgp(t,x)odefun=15*0.8*exp(-0.75*t)*x(2)-(1-0.8*exp(-t)*x(1) (1-0.8*exp(-t)*x(1)-(1-(19/20)*e

18、xp(-t)*x(2)x0=1584 370;tspan=1 20;t,x=ode45(hgp,tspan,x0);subplot(1,2,1);plot(t,x(:,1);title(控制后潛伏期人數(shù));subplot(1,2,2);plot(t,x(:,2);title(控制后患者人數(shù));x問題四程序function odefun=dydx(t,x) odefun=15*0.8*x(2)-(1-(0.8)*exp(-t)*x(1) (1-0.8*exp(-t)*x(1)-(1-(19/20)*exp(-t)*x(2);x0=224 50;tspan=0 1;t,x=ode45(dydx,tspan,x0);subplot(1,2,1);plot(t,x(:,1);title(控制潛伏期人數(shù));subplot(1,2,2);plot