高一數(shù)學(xué)高一數(shù)學(xué)北師大版期末復(fù)習(xí)教案（通用）

1、一. 教學(xué)內(nèi)容：高一數(shù)學(xué)北師大版期末復(fù)習(xí)本講是必修二的復(fù)習(xí)提要，主要內(nèi)容包括：立體幾何初步與平面解析幾何初步。二. 學(xué)習(xí)目標(biāo)： 1、立體幾何部分：通過對空間幾何體的整體觀察，認識空間圖形；以長方體為載體，直觀認識和理解空間點、線、面的位置關(guān)系；能用數(shù)學(xué)語言表述有關(guān)平行、垂直的性質(zhì)與判定，并對某些結(jié)論進行論證；了解一些簡單幾何體的表面積與體積的計算方法；2、解析幾何部分：通過在平面直角坐標(biāo)系中研究直線和圓的方程（代數(shù)方程），運用代數(shù)方法研究其幾何性質(zhì)及其相互位置關(guān)系；了解空間直角坐標(biāo)系；體會數(shù)形結(jié)合的思想，初步形成用代數(shù)方法解決幾何問題的能力。三. 知識要點：I、立體幾何初步（一）空間點、線、面

2、的位置關(guān)系1、點與直線：點在直線上，記作；點在直線外，記作；2、點與平面：點在平面上，記作；點在平面外，記作；3、直線與直線：直線共面，包括平行（記作lm）和相交（記作）；直線異面；4、直線與平面：直線在平面內(nèi)，記作；直線在平面外，包括平行（記作）和相交（記作）；5、平面與平面：平面與平面相交（記作）或平行（記作）注意：中學(xué)立體幾何中，如果不加特殊說明，兩個平面、兩條直線均不包括重合。（二）空間圖形的公理1、公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在這個平面內(nèi)（即直線在平面內(nèi)）；2、公理2：經(jīng)過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面（即可以確定一個平面）；3、公理3

3、：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條通過這個點的公共直線；4、公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行。5、等角定理：空間中，如果兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補。（三）空間關(guān)系的判定與性質(zhì)空間平行關(guān)系的判定與性質(zhì)1、直線與平面平行的判定：若平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；2、平面與平面平行的判定：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行；3、直線與平面平行的性質(zhì)：如果一條直線與一個平面平行，那么過該直線的任意一個平面與這個平面的交線與該直線平行；4、平面與平面平行的性質(zhì)：如果兩個平行平面同時與第三個平

4、面相交，那么它們的交線平行空間垂直關(guān)系的判定與性質(zhì)1、直線與平面垂直的判定：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線和這個平面垂直；2、平面和平面垂直的判定：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直；3、直線與平面垂直的性質(zhì)：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行；4、平面與平面垂直的性質(zhì)：如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們的交線的直線垂直于另一個平面；（四）簡單幾何體的面積與體積1、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積：說明：圓臺側(cè)面積公式可作為旋轉(zhuǎn)體側(cè)面積統(tǒng)一公式。2、簡單多面體的側(cè)面積：，其中，為上、下底周長和斜高說明：正棱臺的側(cè)面積公式可作為簡單

5、多面體的側(cè)面積統(tǒng)一公式。3、體積：說明：臺體的體積公式可作為體積公式的統(tǒng)一公式。II、解析幾何初步（一）直線與直線的方程1、斜率的計算公式：2、直線的方程：點斜式：斜截式：兩點式：截距式：一般式：（二）兩條直線的位置關(guān)系1、兩條直線平行：；2、兩條直線垂直：；3、兩條直線的交點：聯(lián)立兩條直線的方程，求方程的公共解；4、點到直線的距離：（三）圓與圓的方程1、圓的方程：標(biāo)準(zhǔn)方程：一般式方程：2、直線與圓的位置關(guān)系：相離：相切：相交：3、圓與圓的位置關(guān)系：相離：相外切：相內(nèi)切：相交：內(nèi)含：（四）空間直角坐標(biāo)系1、確定空間點的坐標(biāo)的方法：由該點P向xOy平面作垂線，垂足M的橫、縱坐標(biāo)即為點P的橫、縱坐

6、標(biāo)；若點P與z軸在xOy平面的同側(cè)，則z|PM|；若點P與z軸在xOy平面的兩側(cè)，則z|PM|；若點P在xOy平面上，則z0；2、空間兩點的距離公式：四. 考點與典型例題考點一 共點、共線或共面問題例1. 點P、Q、R分別在三棱錐ABCD的三條側(cè)棱上，且PQBCX，QRCDZ，PRBDY。求證：X、Y、Z三點共線。證明：P、Q、R三點不共線，P、Q、R三點可以確定一個平面。XPQ，PQ，X，又XBC，BC平面BCD，X平面BCD。點X是平面和平面BCD的公共點。同理可證，點Y、Z都是這兩個平面的公共點，即點X、Y、Z都在平面和平面BCD的交線上。說明：證明點共線的基本方法是利用公理2，證明這些

7、點是兩個平面的公共點。證明線共點的基本方法是證明其中兩線的交點在第三條直線上；證明面共點的基本方法是證明兩個平面的交線與第三個平面相交?？键c二 平行關(guān)系的研究例2. 如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，P是C1D1的中點，M、N分別是對角線AC、DA1上的點，且滿足AMMCDNNA112。證明：（1）BD1MN；（2）BD1平面MND；（3）平面PB1C平面MND。證明：（1）連結(jié)D1N并延長交AD于Q， A1D1NDQN，且DNNA112， Q為AD的中點，連QB交AC于M，易證M與M重合，在QD1B中， QNND1QMMB12， MNBD1。（2）由（1）證得MNBD1，又 BD1面

8、MND，MN面MND， BD1面MND。（3）連結(jié)B1C， A1B1CD，四邊形A1B1CD是平行四邊形， A1DB1C， A1D面PB1C。延長DM交AB于，則為AB中點，取CD中點L，易證DBL，BLPB1， DPB1， D面PB1C，又 A1D與D是面MND的兩條相交直線，故面PB1C面MND。說明：判斷平行關(guān)系主要根據(jù)平行的判定定理和定義；另外，可根據(jù)面面平行的性質(zhì)證明線線平行，根據(jù)面面平行的傳遞性、垂直于同一條直線的兩個平面平行等結(jié)論可證明面面平行（具體可參看第14講）考點三 垂直關(guān)系的研究例3. 直角ABC所在平面外一點S，且SASBSC，D為AC中點。求證：面SAC面ABC；若直

9、角邊BABC，求證：BD面SAC證明：（1）連結(jié)SD，則由SASC可知：SA2AD2SD2且SDAC（*）。又BD是RtABC斜邊上中線，故BDAD，從而SA2AD2SD2BD2SD2。又SA2SB2，故SB2BD2SD2，即SDBD（*）。由（*）、（*）可知：SD平面ABC，故平面SAC平面ABC；（2）若BABC，則BDAC；又由（1）可知：SD平面ABC從而有：SDBD，故BD平面SAC。說明：垂直關(guān)系中最重要的是線線垂直，無論是線面垂直還是面面垂直，大多數(shù)情況下都是通過線線垂直研究的；但證明線線垂直除了定義法，計算法外，很多情況下又是通過線面垂直進行判斷的?？键c四 面積和體積的求解例

10、4. 正六棱柱的一條較長對角線長是13cm，側(cè)面積為180cm2，求棱柱的體積。解：設(shè)底面邊長為a，高為h，則S側(cè)6ah180，故ah30。因為較長對角線長為13，故有：132（2a）2h2，解得：a6或2.5。代入。說明：求面積和體積的問題一般先將其分解為求線段長度和夾角兩種基本題型，然后再利用相關(guān)公式進行求解。在求線段和夾角前需要考慮選擇哪個公式（面積公式或體積公式），這樣才能確定求哪條線段和哪個角?？键c五 求直線方程 例5. 求直線關(guān)于直線對稱的直線方程。解：設(shè)所求的對稱直線上任意一點坐標(biāo)為（x，y）關(guān)于直線的對稱點為，則解得因為在直線上所以即說明：求直線方程的主要思路有直接法、公式法（

11、待定系數(shù)法）、相關(guān)點法、直線系法等。本題屬相關(guān)點法?？键c六 研究兩直線位置關(guān)系例6. 已知兩直線l1：xm2y60，l2：（m2）x3my2m0，當(dāng)m為何值時，l1與l2：（1）相交；（2）平行；（3）重合?解：當(dāng)m0時，l1：x60，l2：x0，l1l2。當(dāng)m2時，l1：x4y60，l2：3y20，l1與l2相交。當(dāng)m0且m2時，由得m1或m3，由得m3。故（1）當(dāng)m1，m3且m0時，l1與l2相交；（2）當(dāng)m1或m0時，l1l2；（3）當(dāng)m3時，l1與l2重合。說明：研究兩直線的位置關(guān)系（包括求交點和夾角），主要通過直線方程的系數(shù)間的關(guān)系進行判斷?？键c七 圓的方程與性質(zhì)例7. 已知圓A的圓

12、心在曲線上，圓A與y軸相切，又與另一圓相外切，求圓A的方程。解：設(shè)圓A的圓心坐標(biāo)為，半徑為r，依題有解之得：或 所求圓A的方程為：或考點八 直線與圓及圓與圓的位置關(guān)系例8. 由點P（0，1）引圓x2y24的割線l，交圓于A，B兩點，使AOB的面積為（O為原點），求直線l的方程。解：設(shè)直線l的方程為ykx1 將代入圓的方程整理得（1k2）x22kx30 設(shè)其兩實數(shù)根為x1，x2，由根與系數(shù)的關(guān)系得 x1x2，x1x2設(shè)點A（x1，y1），B（x2，y2）即解得k，故直線l的方程為yx1說明：直線與圓的關(guān)系主要研究相切、相交的相關(guān)問題，如方程、弦長及參數(shù)范圍的求解等?？键c九 空間坐標(biāo)例9. 證明：

13、頂點是A（2，4，3），B（4，1，9），C（10，1，6）的三角形是直角三角形并求出各邊的長和各內(nèi)角的大小。 證明：即： 又： 故各邊長為：各內(nèi)角為：五. 本講涉及的主要數(shù)學(xué)思想方法立體幾何是對三維空間關(guān)系的研究，我們將在立體幾何的學(xué)習(xí)中認識一些空間圖形，培養(yǎng)和發(fā)展空間想象能力、推理論證能力、運用圖形語言進行交流能力以及幾何直觀能力；解析幾何的學(xué)習(xí)中主要掌握解析法，其本質(zhì)是用代數(shù)方法研究圖形的幾何性質(zhì)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要數(shù)學(xué)思想方法?！灸M試題】（答題時間：50分鐘）一、選擇題1. 若一個幾何體的三視圖都是等腰三角形，則這個幾何體可能是（ ）A. 圓錐 B. 正四棱錐 C. 正三棱錐 D.

14、 正三棱臺 2. 長方體三個面的面積為，則長方體的對角線長（ ）A. B. C. D. 3. 已知直線axbyc0（abc0）與圓x2y21相切，則三條邊長分別為的三角形（ ）A. 是銳角三角形 B. 是直角三角形 C. 是鈍角三角形 D. 不存在4. 點（0，5）到直線y2x的距離為（ ）A. B. C. D. 5. 若三棱錐PABC的三條側(cè)棱與底面所成的角都相等，則點P在底面ABC上的射影一定是DABC的（ ）A. 外心 B. 垂心 C. 內(nèi)心 D. 重心 6. （2020全國）如圖，正四棱柱中，則異面直線所成角的余弦值為（ ）A. B. C. D. 7. 過點P（2，1）作圓C：x2y2

15、ax2ay2a10的切線有兩條，則a的取值范圍為（ ）A. a3 B. a3 C. 3a D. 3a或a2二、填空題8. （2020）一個等腰直角三角形的三個頂點分別在正三棱柱的三條側(cè)棱上。已知正三棱柱的底面邊長為2，則該三角形的斜邊長為 。9. （山東理）與直線和曲線都相切的半徑最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 。三、解答題10. （2020山東改）已知O的方程是，O的方程是，由動點向O和O所引的切線長相等，求動點的軌跡方程。11. （2020全國改）四棱錐SABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面SBC底面ABCD。已知ABC45，SASB。證明：SABC。12. （2020湖北改）由直線上的一點向圓引切線，求切線長的最小值。 13. （2020全國改）如圖，在四棱錐SABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)棱SD底面ABCD，E、F分別是AB、SC的中點。（）求證：EF平面SAD；（）設(shè)SD2CD，求二面角AEFD的正切值；試題答案一、選擇題：CDBBC DD二、填空題：8. 。解答：一個等腰直角三角形DEF的三個頂點分別在正三棱柱的三條側(cè)棱上，EDF90，已知正三棱柱的底面邊長為AB2，則該三角形的斜邊EF上的中線DG， 斜邊EF的長為2。9. 解答：曲線化為，其圓心到直線的距離為所求的最小圓的圓心在直線上，其到直線的距離為，圓心坐標(biāo)為標(biāo)準(zhǔn)方程為。三、解答題10. 解：O：圓心，半徑