高中數(shù)學(xué) 第3章 直線與方程 3.1 直線的傾斜角與斜率 3.1.2 兩條直線平行與垂直的判定教材梳理素材 新人教A版必修2（通用）

1、3.1.2 兩條直線平行與垂直的判定皰丁巧解牛知識巧學(xué)一、兩直線平行的判定1.如果兩條直線的傾斜角都是90，即斜率均不存在，那么這兩條直線平行.2.如果兩條直線的傾斜角都不是90，即斜率均存在，那么有l(wèi)1l2k1=k2.3.在判斷兩條直線是否平行時，首先判斷兩條直線的斜率是否存在，若存在且相等,則二者平行；若二者斜率均不存在，仍然平行.誤區(qū)警示 這里所說的“兩條直線”是指不重合的兩條直線.以后若不加特殊說明，教材中“兩條直線”均指不重合的兩條直線.若直線l1、l2可能重合時，我們得到k1=k2用上述的結(jié)論可以證明三點共線問題.二、兩直線垂直的判定1.如果兩條直線l1、l2中的一條與x軸平行(或

2、重合)，另一條與x軸垂直(也即與y軸平行或重合)，即兩條直線一條的傾斜角為0，另一條的傾斜角為90，從而一條直線的斜率為0，另一條直線的斜率不存在，那么這兩條直線互相垂直.2.如果兩條直線l1、l2的斜率都存在，且其中一個不為0，那么l1l2k1k2=-1.方法歸納 在判斷兩條直線是否互相垂直時，如果兩條直線的斜率都存在且不為0，則由乘積是否為-1來判斷是否垂直；如果一條直線的斜率不存在，另一條的斜率為0，則二者仍垂直.問題探究問題1 三條直線兩兩相交，它們能否構(gòu)成三角形？探究:不一定，當(dāng)三條直線交于同一點時，它們就不能構(gòu)成三角形.問題2 如何由兩個二元一次方程的系數(shù)判斷所表示的直線的平行、垂

3、直、相交、重合？探究:設(shè)l1:A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0，記D1=A1B2-A2B1，D2=B1C2-C1B2，D3=A1A2-B1B2.當(dāng)D10時，l1與l2相交；當(dāng)D1=0,D20時，l1與l2平行；當(dāng)D1=D2=0時，l1與l2重合；當(dāng)D3=0時，l1與l2垂直.問題3 木工為了鋸木板，需在木板上彈出墨線.第一次彈出了一條線，記為l1，為防第一次彈線不清晰，第二次在原位置重彈一次，得直線l2；若平行移開，彈第三次線，記為l3；若換成與l2垂直方向彈線，得直線l4，問l1與l2、l3、l4的關(guān)系如何？探究:由題意容易分析判斷，l1與l2重合，而平行移開彈線，所

4、以l1與l3平行，l4與l2垂直，所以l1與l4垂直.典題熱題例1 直線l1：2x+my+4=0與直線l2：(m+1)x+3y-2=0平行，則實數(shù)m的值為( )A.2 B.-3 C.2或-3 D.-2或-3思路解析：(方法一)當(dāng)m=0時，直線l1的斜率不存在，而l2的斜率存在，所以l1與l2不平行； 當(dāng)m0時，若l1l2，則有，解得m=2或m=-3.經(jīng)驗證，當(dāng)m=2或m=-3時，兩條直線平行.故應(yīng)選C.(方法二)利用反代法.將m=2代入方程可得兩直線平行;將m=-3代入方程也可得兩直線平行.所以應(yīng)選C.答案:C誤區(qū)警示 在求解此類問題時，一定要注意當(dāng)兩直線斜率都不存在時，也有可能平行.例2 如

5、圖3-1-2所示，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OPQR的頂點按逆時針順序依次為O(0，0)、P(1，t)、Q(1-2t，2+t)、R(-2t，2)，其中t0. 試判斷四邊形OPQR的形狀.圖3-1-2思路解析：判斷四邊形的形狀，首先看每對邊的關(guān)系，再看鄰邊的關(guān)系，判斷平行只需研究其斜率之間的關(guān)系即可.公式可得:kOP=，kQR=，kOR=，kPQ=.kOP=kQR，kOR=kPQ. 從而OPQR，ORPQ.四邊形OPQR為平行四邊形. 又kOPkOR=-1，OPOR.故四邊形OPQR為矩形.方法歸納 判斷兩直線平行的方法，重點是利用過兩點的直線的斜率公式，求出相關(guān)直線的斜率，通過觀察找出其中斜率相等的直線，從而確定兩直線平行.例3 繞傾斜角為30的直線l上一點P(2，1)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)30得到直線l1，且l1與線段AB的垂直平分線互相平行，其中A(1，m-1)、B(m，2)，求m的值.思路解析：由題意，需求出直線AB的斜率，而AB的斜率與直線l1的斜率互為負(fù)倒數(shù)，直線l1的傾斜角可求，從而斜率也可求. 如圖3-1-3，直線l1的傾斜角為30+30=60，所以l1的斜率k1=tan60=.圖3-1-3 又直線AB的斜率為，所以AB的垂直平分線的斜率為.因為l1與AB的垂直平分線平行，所以.解得m=.深