安徽省黃山市2020屆高三數(shù)學(xué)一模檢測試題 理（含解析）（通用）

1、黃山市2020屆高中畢業(yè)班第一次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)（理科）試題本試卷分第卷（選擇題60分）和第卷（非選擇題90分）兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘.注意事項：1答題前，務(wù)必在試卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的姓名、座位號，并認真核對答題卡上所粘貼的條形碼中姓名、座位號與本人姓名、座位號是否一致. 務(wù)必在答題卡背面規(guī)定的地方填寫姓名和座位號后兩位.2答第卷時，每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑. 如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.3答第卷時，必須使用0.5毫米的黑色墨水簽字筆在答題卡上書寫，要求字體工整、筆跡清晰. 作圖題可先用鉛筆在答題卡規(guī)定的位置繪出，確

2、認后再用0.5毫米的黑色墨水簽字筆描清楚. 必須在題號所指示的答題區(qū)域作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上答題無效.4考試結(jié)束，務(wù)必將試卷和答題卡一并上交.參考公式：球的表面積公式： 球的體積公式：第卷（選擇題 滿分60分）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分. 在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的請在答題卷的相應(yīng)區(qū)域答題.）1. 集合，集合，則等于A. B. C. D. 【答案】B【解析】集合 集合，.則.故選B.2. 已知復(fù)數(shù)，,是虛數(shù)單位，若是實數(shù)，則A. B. C. D. 【答案】A【解析】復(fù)數(shù)，.若是實數(shù)，則，解得.故選A.3. 若雙曲線

3、與直線無交點，則離心率的取值范圍是A. B. C. D. 【答案】D【解析】雙曲線 的漸近線為.若雙曲線 與直線無交點，則.離心率.所以.故選D.4. 如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為的扇形，是該小區(qū)的一個出入口，且小區(qū)里有一條平行于的小路已知某人從沿走到用了2分鐘，再沿著走到用了3分鐘.若此人步行的速度為每分鐘50米，則該扇形的半徑的長度為( )米. A. B. C. D. 【答案】B【解析】試題分析：設(shè)該扇形的半徑為r米，連接CO由題意，得CD=150（米），OD=100（米），CDO=60，在CDO中，即，解得（米）考點：1扇形面積公式；2余弦定理求三角形邊長5. 九章算術(shù)卷5商功記載

4、一個問題“今有圓堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺 .問積幾何？答曰：二千一百一十二尺.術(shù)曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”.這里所說的圓堡瑽就是圓柱體，它的體積為“周自相乘，以高乘之，十二而一”. 就是說：圓堡瑽（圓柱體）的體積為(底面圓的周長的平方高)，則由此可推得圓周率的取值為A. B. C. D. 【答案】A【解析】設(shè)圓柱體的底面半徑為，高為，由圓柱的體積公式得體積為：.由題意知.所以，解得.故選A.6. 下列判斷錯誤的是A. 若隨機變量服從正態(tài)分布,則；B. 若組數(shù)據(jù)的散點都在上，則相關(guān)系數(shù)；C. 若隨機變量服從二項分布：, 則；D. 是的充分不必要條件；【答案】D【解析】對于A.若隨機變

5、量服從正態(tài)分布，則，由得.,A正確；對于B.若組數(shù)據(jù)的散點都在上，則相關(guān)系數(shù)，B正確；對于C. 若隨機變量服從二項分布：, 則；對于D.若，未必有，例如當(dāng)時，充分性不成立，D錯誤.故選D.7. 執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的，則輸出的，的值分別為A. B. C. D. 【答案】C【解析】執(zhí)行程序：均為偶數(shù)，且所以；均為偶數(shù)，且所以；均為偶數(shù)，且所以；不均為偶數(shù)，且所以;不均為偶數(shù)，且所以.此時，所以輸出.故選C.點睛：本題主要考查程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖. 解決程序框圖問題時一定注意以下幾點：(1) 不要混淆處理框和輸入框；(2) 注意區(qū)分程序框圖是條件分支結(jié)構(gòu)還是循環(huán)結(jié)構(gòu)；(3) 注意區(qū)分

6、當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)和直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)；(4) 處理循環(huán)結(jié)構(gòu)的問題時一定要正確控制循環(huán)次數(shù)；(5) 要注意各個框的順序,（6）在給出程序框圖求解輸出結(jié)果的試題中只要按照程序框圖規(guī)定的運算方法逐次計算，直到達到輸出條件即可.8. 已知定義在上的函數(shù)滿足，且是偶函數(shù)，當(dāng)時，.令，若在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)有4個不相等實根，則實數(shù)的取值范圍是A. B. C. D. 【答案】C【解析】由題意知，是定義在R上的周期為2的偶函數(shù)，令,作其與y=f(x)的圖象如下，函數(shù)有4個不相等實根，等價于與y=f(x)有4個交點，所以，解得.故選C.點睛：已知函數(shù)零點(方程根)的個數(shù)，求參數(shù)取值范圍的三種常用的方法：(1)直接法，直接根據(jù)

7、題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法，先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法，先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解一是轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象的交點個數(shù)問題，畫出兩個函數(shù)的圖象，其交點的個數(shù)就是函數(shù)零點的個數(shù)，二是轉(zhuǎn)化為的交點個數(shù)的圖象的交點個數(shù)問題9. 我國的第一艘航空母艦“遼寧艦”在某次艦載機起降飛行訓(xùn)練中，有架“殲”飛機準(zhǔn)備著艦，如果乙機不能最先著艦，而丙機必須在甲機之前著艦（不一定相鄰），那么不同的著艦方法種數(shù)為A. B. C. D. 【答案】C【解析】架“殲”飛機著艦的方法共有種，乙機最先著艦

8、共有種，如果乙機不能最先著艦，而丙機必須在甲機之前著艦（不一定相鄰）有：.故選C.10. 2020年中學(xué)數(shù)學(xué)信息技術(shù)研討會,談到了圖像計算器在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用.如圖輸入曲線方程,計算器顯示線段，則線段的曲線方程為A. B. C. D. 【答案】A【解析】根據(jù)題中示例可知：之所以可以表示為之所以可以表示線段.因為方程等價于，即，即為線段.由此可得題中線段的方程為：，等價于.故選A.11. 如圖是某幾何體的三視圖，正視圖是等邊三角形，側(cè)視圖和俯視圖為直角三角形，則該幾何體外接球的表面積為 A. B. C. D. 【答案】D【解析】試題分析：由三視圖可知，這個幾何體是三棱錐.如圖所示，為球心，為等邊

9、三角形的外心，由圖可知，故外接球面積為.考點：三視圖.【思路點晴】設(shè)幾何體底面外接圓半徑為,常見的圖形有正三角形,直角三角形,矩形,它們的外心可用其幾何性質(zhì)求;而其它不規(guī)則圖形的外心,可利用正弦定理來求.若長方體長寬高分別為則其體對角線長為;長方體的外接球球心是其體對角線中點.找?guī)缀误w外接球球心的一般方法:過幾何體各個面的外心分別做這個面的垂線,交點即為球心.12. 設(shè)函數(shù)，其中,若存在唯一的整數(shù)，使得，則的取值范圍是A. B. C. D. 【答案】A【解析】設(shè).恒過(，恒過(1,0)因為存在唯一的整數(shù)，使得，所以存在唯一的整數(shù)，使得在直線下方.因為，所以當(dāng)時，,單調(diào)遞減；當(dāng)時，,單調(diào)遞增.所

10、以.作出函數(shù)圖象如圖所示：根據(jù)題意得：，解得：.故選A.點睛：利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立或存在型問題，首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，同時也可以轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象關(guān)系.第卷（非選擇題 滿分90分）二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分請在答題卷的相應(yīng)區(qū)域答題.）13. 的展開式的常數(shù)項為_【答案】70【解析】試題分析： 的展開式中第項為令可得故展開式中的常數(shù)項為，故答案為.考點：二項展開式定理的應(yīng)用.14. 將函數(shù)的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象，若在上為

11、增函數(shù)，則的最大值為_【答案】2【解析】函數(shù)的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)，y=g(x)在上為增函數(shù)，所以，即：2，所以的最大值為：2.故答案為：2.點睛：三角函數(shù)中函數(shù)圖象的平移變化是?？贾R點，也是易錯題型.首項必須看清題目中是由哪個函數(shù)平移，平移后是哪個函數(shù)；其次，在平移時，還要注意自變量x的系數(shù)是否為1，如果x有系數(shù)，需要將系數(shù)提出來求平移量，平移時遵循“左加右減”.15. 已知直線 過點，若可行域的外接圓直徑為20，則_【答案】【解析】由題意知可行域為圖中OAB及其內(nèi)部，解得，又,則AOB=30，由正弦定理得，解得.故答案為.16. 給出以下四個命題，其中所有真命題的序號為_函數(shù)在區(qū)

12、間上存在一個零點，則的取值范圍是；“”是“成等比數(shù)列”的必要不充分條件；，； 若，則.【答案】【解析】,在區(qū)間(1,1)上存在一個零點，,解得或，故錯誤；，若“”，則不一定成等比數(shù)列，例如，但“成等比數(shù)列”則有，所以“”成立，“”是“成等比數(shù)列”的必要不充分條件，故正確；,由圖可知,單位圓O中，設(shè),又，所以，故正確；,為增函數(shù),均為減函數(shù)，故正確；故答案為.三、解答題（本大題共6小題，共70分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟請在答題卷的相應(yīng)區(qū)域答題.）17. 已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是公比大于零的等比數(shù)列，且, . （1）求數(shù)列和的通項公式;（2）記，求數(shù)列 的前項和.【答案】（1）；（

13、2）.【解析】試題分析：（1）設(shè)出等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q，且q0由已知列式求得等差數(shù)列的公差和等比數(shù)列的公比，代入等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式得答案；（2）由cn=abn結(jié)合數(shù)列an和bn的通項公式得到數(shù)列cn的通項公式，結(jié)合等比數(shù)列的前n項和求得數(shù)列cn的前n項和Sn試題解析：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，且由，得，解得所以由，得，又，解得所以（2）因為，所以18. 如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形， ,且,平面.（1）求與平面所成角的正弦值;（2）棱上是否存在一點,滿足？若存在，求的長；若不存在，說明理由.【答案】（1）；（2）見解析.【解析】試題分析

14、：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)形式進行求解；（2）依據(jù)題設(shè)條件，運用向量的坐標(biāo)形式建立方程，即判定方程是否有解：解：（1）依題意，以為坐標(biāo)原點，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，從而.設(shè)平面的法向量為,則，且，即，且，不妨取，則，所以平面的一個法向量,此時，所以與平面所成角的正弦值為；（2）設(shè)，則則，由得，化簡得，該方程無解，所以，棱上不存在一點滿足.19. 心理學(xué)家分析發(fā)現(xiàn)視覺和空間能力與性別有關(guān)，某數(shù)學(xué)興趣小組為了驗證這個結(jié)論，從興趣小組中按分層抽樣的方法抽取名同學(xué)（男人，女人），給所有同學(xué)幾何題和代數(shù)題各一題，讓各位同學(xué)只能自由選擇其中一道題進行解答.選題情況如下表

15、（單位：人）：幾何題代數(shù)題總計男同學(xué)22830女同學(xué)81220總計302050幾何題代數(shù)題總計男同學(xué)22830女同學(xué)81220總計302050（1）能否據(jù)此判斷有的把握認為視覺和空間能力與性別有關(guān)？（2）現(xiàn)從選擇做幾何題的名女生中，任意抽取兩人,對她們的答題情況進行全程研究，記甲、乙兩位女生被抽到的人數(shù)為，求的分布列和. 附表及公式：【答案】（1）見解析；（2）見解析.【解析】試題分析：（1）計算K2，對照附表做結(jié)論；（2）使用組合數(shù)公式和古典概型的概率計算公式分別計算X取不同值時的概率，得到X的分布列，求出數(shù)學(xué)期望試題解析：（1）由表中數(shù)據(jù)得的觀測值：， 所以根據(jù)統(tǒng)計有的把握認為視覺和空間能

16、力與性別有關(guān). （2）可能取值為，的分布列為： .點睛：求解離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟為：第一步是“判斷取值”，即判斷隨機變量的所有可能取值，以及取每個值所表示的意義；第二步是“探求概率”，即利用排列組合，枚舉法，概率公式（常見的有古典概型公式、幾何概率公式、互斥事件的概率和公式、獨立事件的概率積，以及對立事件的概率公式等），求出隨機變量取每個值時的概率；第三步是“寫分布列”，即按規(guī)范形式寫出分布列，并注意用分布列的性質(zhì)檢驗所求的分布列或某事件的概率是否正確；第四步是“求期望值”，一般利用離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望的定義求期望的值，對于有些實際問題中的隨機變量，如果能夠斷定它服從某常見的

17、典型分布(如二項分布，則此隨機變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式()求得.因此，應(yīng)熟記常見的典型分布的期望公式，可加快解題速度.20. 已知橢圓 的左、右焦點分別為、，短軸兩個端點為、，且四邊形是邊長為的正方形.（1）求橢圓的方程；（2）若、分別是橢圓的左、右端點，動點滿足，連接，交橢圓于與點.證明：為定值.【答案】（1）；（2）見解析.【解析】試題分析：（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，關(guān)鍵是求出，為此要列出關(guān)于的兩個等式，由橢圓的性質(zhì)及，四邊形是邊長為2的正方形，知；（2）本小題采用解析幾何的基本方法，設(shè)，寫出直線方程，再代入橢圓方程求得點坐標(biāo)，然后直接計算，可得定值試題解析：（1），橢圓方程

18、為（2），設(shè)，則，直線，即，代入橢圓得，（定值）考點：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的綜合應(yīng)用【名師點晴】1確定一個橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，必須要有一個定位條件（即確定焦點的位置）和兩個定形條件（即確定a，b的大?。┊?dāng)焦點的位置不確定時，應(yīng)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1 （ab0）或1 （ab0），或者不必考慮焦點位置，直接設(shè)橢圓的方程為mx2ny21 （m0，n0，且mn）2解析幾何中的定值問題，可根據(jù)已知條件設(shè)出一個參數(shù)，用這個參數(shù)表示出相應(yīng)點的坐標(biāo)，直線斜率、直線方程或曲線方程等等，再求出結(jié)論，如本題求出，它的最終結(jié)果與參數(shù)無關(guān)，是定值21. 已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個極值點，證明：.【答案】（1）見解析；（2）見解析.【解析】試題分析：（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，確定導(dǎo)函數(shù)的符號，從而判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）表示出，設(shè)令,通過求導(dǎo)進行證明試題解析：（1）函數(shù)的定義域為. ，方程的判別式.當(dāng)時，故函數(shù)在上遞減；當(dāng)時，由可得，. 函數(shù)的減區(qū)間為；增區(qū)間為. 所以，當(dāng)時，在上遞減；當(dāng)時，在上遞增，在，上遞減. （2）由 （1）知當(dāng)時，函數(shù)有兩個極值點，且. 設(shè)，則，所以在上遞增，所以.考生注意：請在第22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一個題目計分.作答時，請用2B鉛筆在答題卡上將所選題目后的方框涂黑22. 選修