河北省沙城中學補習班高三數(shù)學第一輪復習第23講教案：數(shù)列極限（通用）

1、沙城中學補習班數(shù)學第一輪復習教案第二十四講 111 數(shù)列極限一、知識網(wǎng)絡1數(shù)列極限的定義：一般地，如果當項數(shù)n無限增大時，無窮數(shù)列an的項an無限地趨近于某個常數(shù)a（即|ana|無限地接近于0），那么就說數(shù)列an以a為極限注：a不一定是an中的項2幾個常用的極限：C=C（C為常數(shù)）; =0; qn=0（|q|1）無窮等比數(shù)列an,當公比q滿足|q|1時,前n項和的極限稱之為“各項和”或“所有項的和”3數(shù)列極限的四則運算法則：設數(shù)列an、bn，當an=a, bn=b時， （anbn）=ab; （anbn）=ab; =（b0）說明: 極限的四則運算法則,只適合于有限次的四則運算對于數(shù)列前n項和的極

2、限,必須先求和,再取極限二、經(jīng)典例題【例1】 求下列極限：（1）; （2） （n）;（3）（+）分析:（1）因為分子分母都無極限，故不能直接運用商的極限運算法則，可通過變形分子分母同除以n2后再求極限；（2）因與n都沒有極限，可先分子有理化再求極限；（3）因為極限的運算法則只適用于有限個數(shù)列，需先求和再求極限解:（1）=（2） （n）= =（3）原式=（1+）=1特別提示:對于（1）要避免下面兩種錯誤：原式=1,（2n 2+n+7）, （5n2+7）不存在，原式無極限對于（2）要避免出現(xiàn)下面兩種錯誤： （n）= n=0;原式=n=不存在對于（3）要避免出現(xiàn)原式=+=0+0+0=0這樣的錯誤【例

3、2】 已知數(shù)列an是由正數(shù)構成的數(shù)列，a13，且滿足lganlgan1lgc，其中n是大于1的整數(shù)，c是正數(shù)（1）求數(shù)列an的通項公式及前n和Sn；（2）求的值解:（1）由已知得anan1,an是以a13，公比為c的等比數(shù)列，則an3n1Sn（2） 當c=2時，原式;當2時，原式;當02時，原式=評述:求數(shù)列極限時要注意分類討論思想的應用【例3】 已知直線l:xny=0（nN *）,圓M:（x+1）2+（y+1）2=1,拋物線:y=（x1）2,又l與M交于點A、B，l與交于點C、D，求分析:要求的值，必須先求它與n的關系解:設圓心M（1,1）到直線l的距離為d,則d2=又r=1,|AB|2=4

4、（1d2）=設點C（x1,y1）, D（x2,y2），由nx2（2n+1）x+n=0,x1+x2=, x1x2=1（x1x2）2=（x1+x2）24x1x2=,（y1y2）2=（）2=,|CD|2=（x1x2）2+（y1y2）2=（4n+1）（n2+1）=2評述:本題屬于解析幾何與數(shù)列極限的綜合題要求極限，需先求,這就要求掌握求弦長的方法【例4】若數(shù)列an的首項為a1=1,且對任意nN*,an與an+1恰為方程x2bnx+cn=0的兩根,其中0|c|1,當（b1+b2+bn）3時,求c的取值范圍解:首先,由題意對任意nN*,anan+1=cn恒成立=c又a1a2=a2=ca1,a3,a5,a2

5、n1,是首項為1,公比為c的等比數(shù)列,a2,a4,a6,a2n,是首項為c,公比為c的等比數(shù)列其次,由于對任意nN*,an+an+1=bn恒成立=c又b1=a1+a2=1+c,b2=a2+a3=2c,b1,b3,b5,b2n1,是首項為1+c,公比為c的等比數(shù)列,b2,b4,b6,b2n,是首項為2c,公比為c的等比數(shù)列, （b1+b2+b3+bn）= （b1+b3+b5+）+ （b2+b4+）=+3解得c或c10|c|1,0c或1c0故c的取值范圍是（1,0）（0,提煉方法: 本題的解題目標是將題設中的極限不等式轉化為關于c的不等式,即將bn的各項和表示為關于c的解析式;關鍵是對數(shù)列特點的分

6、析和運用;顯然“起點”應是一元二次方程根與系數(shù)的關系【研討欣賞】在大沙漠上進行勘測工作時,先選定一點作為坐標原點,然后采用如下方法進行:從原點出發(fā),在x軸上向正方向前進a（a0）個單位后,向左轉90,前進a r （0r1個單位,再向左轉90,又前進a r2個單位,如此連續(xù)下去（1）若有一小分隊出發(fā)后與設在原點處的大本營失去聯(lián)系,且可以斷定此小分隊的行動與原定方案相同,則大本營在何處尋找小分隊?（2）若其中的r為變量,且0r1,則行動的最終目的地在怎樣的一條曲線上?剖析：（1）小分隊按原方案走,小分隊最終應在運動的極限位置（2）可先求最終目的地關于r的參數(shù)形式的方程解:（1）由已知可知即求這樣運

7、動的極限點,設運動的極限位置為Q（x,y）,則x=aar2+ar4=, y=arar3+ar5=,大本營應在點（,）附近去尋找小分隊（2）由消去r得（x）2+y2=（其中x,y0）,即行動的最終目的地在以（,0）為圓心,為半徑的圓上三、雙基題目1下列極限正確的個數(shù)是=0（0） qn=0 =1 C=C（C為常數(shù)）A2 B 3 C4 D都不正確2 等于( ) A 1 B C D 03 已知a、b、c是實常數(shù)，且=2, =3,則的值是A2 B3 C D64 。5 將無限循環(huán)小數(shù)化為分數(shù)是_6 =_簡答:1-3BBD；3由=2,得a=2b由=3,得b=3c,c=b=6= =6 4 分子先求和,再求極限5 =012+00012+=012/(1001) =4/33 6 1四提煉總結以為師1 極限的四則運算法則只用于有限次的運算,對于n項和的極限,要先求和再求極