高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十二章 統(tǒng)計(jì) 第74課 數(shù)字特征與總體估計(jì)學(xué)案 文（通用）

1、第74課 數(shù)字特征與總體估計(jì)1樣本的數(shù)字特征數(shù)字特征定義眾數(shù)在一組數(shù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)中位數(shù)將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在中間位置的數(shù)，或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)平均數(shù) 方差 標(biāo)準(zhǔn)差 2.利用頻率分布直方圖估計(jì)眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)(1)最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù)；(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長(zhǎng)方形的面積和相等，且等于 ；(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積乘以小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和【例1】（2020房山一模）甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次，兩人成績(jī)的統(tǒng)計(jì)表如下表所示，則（ ）甲 乙環(huán)數(shù)45678頻數(shù)11111環(huán)數(shù)569頻數(shù)31

2、1A甲成績(jī)的平均數(shù)小于乙成績(jī)的平均數(shù) B甲成績(jī)的中位數(shù)等于乙成績(jī)的中位數(shù)C甲成績(jī)的方差小于乙成績(jī)的方差 D甲成績(jī)的極差小于乙成績(jī)的極差【答案】C【解析】，選項(xiàng)A錯(cuò)誤甲成績(jī)的中位數(shù)為，乙成績(jī)的中位數(shù)為5，選項(xiàng)B錯(cuò)誤甲成績(jī)的極差和乙成績(jī)的極差都是4，選項(xiàng)D錯(cuò)誤【例2】（2020四川高考）某學(xué)校隨機(jī)抽取個(gè)班，調(diào)查各班中有網(wǎng)上購(gòu)物經(jīng)歷的人數(shù)，所得數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示以組距為將數(shù)據(jù)分組成，時(shí)，所作的頻率分布直方圖是（ ） 【答案】A【解析】有1個(gè)，有1個(gè)，有4個(gè)，有2個(gè)，有2個(gè)，分別求出頻率，并觀察各直方圖知，選A【變式】（2020山東高考）將某選手的9個(gè)得分去掉1個(gè)最高分，去掉1個(gè)最低分，7個(gè)剩余分?jǐn)?shù)

3、的平均分為91，現(xiàn)場(chǎng)做的9個(gè)分?jǐn)?shù)的莖葉圖后來(lái)有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊，無(wú)法辨認(rèn)，在圖中以表示，則7個(gè)剩余分?jǐn)?shù)的方差為（）A B C D【答案】B【解析】去掉的最低分87，去掉的最高分為99，7個(gè)剩余分?jǐn)?shù)的平均分為91，解得，【例3】2020年“雙節(jié)”期間，高速公路車(chē)輛較多某調(diào)查公司在一服務(wù)區(qū)從七座以下小型汽車(chē)中按進(jìn)服務(wù)區(qū)的先后每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進(jìn)行詢(xún)問(wèn)調(diào)查，將他們?cè)谀扯胃咚俟返能?chē)速（）分成六段：后得到如圖的頻率分布直方圖（1）某調(diào)查公司在采樣中，用到的是什么抽樣方法？（2）求這40輛小型車(chē)輛車(chē)速的眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)的估計(jì)值；(3)若從車(chē)速在的車(chē)輛中任抽取2輛，求車(chē)速在的

4、車(chē)輛至少有一輛的概率【解析】（1）系統(tǒng)抽樣（2）眾數(shù)的估計(jì)值為最高的矩形的中點(diǎn)，即 設(shè)圖中虛線(xiàn)所對(duì)應(yīng)的車(chē)速為，則中位數(shù)的估計(jì)值為：，解得即中位數(shù)的估計(jì)值為平均數(shù)的估計(jì)值為： （3）車(chē)速在的車(chē)輛數(shù)為： （數(shù)）車(chē)速在的車(chē)輛數(shù)為： （數(shù)）設(shè)車(chē)速在的車(chē)輛為與 ，車(chē)速在的車(chē)輛為， ，則基本事件有：，共15種，其中，車(chē)速在的車(chē)輛至少有一輛的事件有：，共14種所以車(chē)速在的車(chē)輛至少有一輛的概率為 【例4】（2020全國(guó)高考）為了比較兩種治療失眠癥的藥(分別稱(chēng)為藥，藥)的療效，隨機(jī)地選取位患者服用藥，位患者服用藥，這位患者服用一段時(shí)間后，記錄他們?nèi)掌骄黾拥乃邥r(shí)間(單位:)，試驗(yàn)的觀測(cè)結(jié)果如下:服用藥的位患者

5、日平均增加的睡眠時(shí)間:服用藥的位患者日平均增加的睡眠時(shí)間:(1)分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，從計(jì)算結(jié)果看，哪種藥的療效更好?(2)根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成下面莖葉圖，從莖葉圖看，哪種藥的療效更好?【解析】（1）設(shè)藥觀測(cè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，藥觀測(cè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則， ， 由以上計(jì)算結(jié)果可得，因此可看出藥的療效更好 (2)由觀測(cè)結(jié)果可繪制如下莖葉圖:從以上莖葉圖可以看出， 藥療效的試驗(yàn)結(jié)果有的葉集中在莖上，而藥療效的試驗(yàn)結(jié)果有的葉集中在莖上，由此可看出藥的療效更好 第74課 數(shù)字特征與總體估計(jì)的后作業(yè)1(2020惠州一模）甲、乙、丙、丁四人參加國(guó)際奧林匹克數(shù)學(xué)競(jìng)賽選拔賽，四人的平均成績(jī)和方差如下表：甲乙丙丁平均

6、成績(jī)86898985方差從這四人中選擇一人參加國(guó)際奧林匹克數(shù)學(xué)競(jìng)賽，最佳人選是（ ）A 甲 B乙 C丙 D丁【答案】C【解析】乙，丙的平均成績(jī)最好，且丙的方差小于乙的方差，丙的發(fā)揮較穩(wěn)定，故選C2（2020重慶高考）下圖是某公司10個(gè)銷(xiāo)售店某月銷(xiāo)售某產(chǎn)品數(shù)量(單位:臺(tái))的莖葉圖，則數(shù)據(jù)落在區(qū)間內(nèi)的概率為（）ABCD【答案】C【解析】數(shù)據(jù)在的有5個(gè)，對(duì)應(yīng)的頻率為3某中學(xué)為了了解學(xué)生的課外閱讀情況，隨機(jī)調(diào)查了50名學(xué)生，得到他們?cè)谀骋惶旄髯哉n外閱讀所用時(shí)間的數(shù)據(jù)，結(jié)果用下圖的條形圖表示根據(jù)條形圖可得這50名學(xué)生這一天平均每人的課外閱讀時(shí)間為（ ） （小時(shí)） （小時(shí)） （小時(shí)） （小時(shí)）【答案】B【

7、解析】（小時(shí)）4（2020東莞一模）甲、乙兩名同學(xué)在次體育測(cè)試中的成績(jī)統(tǒng)計(jì)如莖葉圖所示，若甲、乙兩人的平均成績(jī)分別為，則下列結(jié)論正確的是（ ）A ；乙比甲成績(jī)穩(wěn)定 B ；甲比乙成績(jī)穩(wěn)定 C ；甲比乙成績(jī)穩(wěn)定 D ；乙比甲成績(jī)穩(wěn)定【答案】D【解析】，故選D5.（2020安徽高考）某班級(jí)有50名學(xué)生,其中有30名男生和20名女生,隨機(jī)詢(xún)問(wèn)了該班五名男生和五名女生在某次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中的成績(jī),五名男生的成績(jī)分別為86,94,88,92,90,五名女生的成績(jī)分別為88,93,93,88,93.下列說(shuō)法一定正確的是（）A這種抽樣方法是一種分層抽樣B這種抽樣方法是一種系統(tǒng)抽樣C這五名男生成績(jī)的方差大于這五名女生

8、成績(jī)的方差D該班級(jí)男生成績(jī)的平均數(shù)大于該班女生成績(jī)的平均數(shù)【答案】C【解析】，方差，方差故選C6.某校100名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績(jī)分組區(qū)間是：50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100，則圖中的值為()A0.006B0.005 C0.004 5 D0.002 5【答案】B【解析】由題意，知7. 如圖是依據(jù)某城市年齡在20歲到45歲的居民上網(wǎng)情況調(diào)查而繪制的頻率分布直方圖，現(xiàn)已知年齡在30,35)，35,40)，40,45的上網(wǎng)人數(shù)呈遞減的等差數(shù)列分布，則網(wǎng)民年齡在35,40)的頻率為()A0.04 B0.06C0.2 D0.3【答案】

9、C【解析】由已知得網(wǎng)民年齡在20,25)的頻率為，在25,30)的頻率為.因?yàn)槟挲g在30,35)，35,40)，40,45的上網(wǎng)人數(shù)呈遞減的等差數(shù)列分布，所以其頻率也呈遞減的等差數(shù)列分布，又年齡在30,45的頻率為，所以年齡在35,40)的頻率為0.2.故選C.8.一組數(shù)據(jù) 的平均數(shù)為 ，方差為 ，則數(shù)據(jù)的平均數(shù)為 ，方差為 【答案】， 【解析】由已知，得，則的平均數(shù)為的方差為9.下圖莖葉圖是甲、乙兩人在5次綜合測(cè)評(píng)中的成績(jī)，其中一個(gè)數(shù)字被污損，則甲的平均成績(jī)超過(guò)乙的平均成績(jī)的概率為_(kāi)甲乙98210893379【答案】【解析】由圖可知，甲的5次成績(jī)分別是 ，易知甲的平均分為90.乙的成績(jī)分別是

10、，其中被污損的成績(jī)?yōu)?到99中的某一個(gè)設(shè)被污損的那次成績(jī)?yōu)?，由甲的平均成?jī)超過(guò)乙的平均成績(jī)，得.所以.又 是90到99的十個(gè)整數(shù)中的其中一個(gè)，其中有8個(gè)整數(shù)小于98，所以的概率為.10(2020南昌一模)在一次演講比賽中，6位評(píng)委對(duì)一名選手打分的莖葉圖如圖所示，若去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分，得到一組數(shù)據(jù)，在如圖所示的程序框圖中，是這4個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，則輸出的的值為_(kāi)789780241【答案】【解析】根據(jù)題意得到的數(shù)據(jù)為 ，則.該程序框圖的功能是求以上數(shù)據(jù)的方差，故輸出的的值為 11.( 2020屆惠州高三第一次調(diào)研)某中學(xué)高三年級(jí)從甲、乙兩個(gè)班級(jí)各選出7名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，他們?nèi)〉玫某煽?jī)（滿(mǎn)分

11、100分）的莖葉圖如圖，其中甲班學(xué)生的平均分是85（1）計(jì)算甲班7位學(xué)生成績(jī)的方差； （2）從成績(jī)?cè)?0分以上的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生，求甲班至少有一名學(xué)生的概率甲乙8976811391160x526參考公式：方差，其中【解析】（1）甲班學(xué)生的平均分是85， 則甲班7位學(xué)生成績(jī)的方差為 （2）甲班成績(jī)?cè)?0分以上的學(xué)生有兩名，分別記為， 乙班成績(jī)?cè)?0分以上的學(xué)生有三名，分別記為 從這五名學(xué)生任意抽取兩名學(xué)生共有10種情況： 其中甲班至少有一名學(xué)生共有7種情況： 記“甲班至少有一名學(xué)生”為事件，則， 即從成績(jī)?cè)?0分以上的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生，甲校至少有一名學(xué)生的概率為 年齡頻率/組距304

12、050600.01 c0.040.03012.（2020屆廣州二模）某市為了宣傳環(huán)保知識(shí)，舉辦了一次“環(huán)保知識(shí)知多少”的問(wèn)卷調(diào)查活動(dòng)（一人答一份）現(xiàn)從回收的年齡在2060歲的問(wèn)卷中隨機(jī)抽取了100份，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下面的圖表所示年齡分組抽取份數(shù)答對(duì)全卷的人數(shù)答對(duì)全卷的人數(shù)占本組的概率20,30)40280.730,40)270.940,50)10450,60200.1（1）分別求出，的值；（2）從年齡在答對(duì)全卷的人中隨機(jī)抽取2人授予“環(huán)保之星”，求年齡在的人中至少有1人被授予“環(huán)保之星”的概率解：（1）因?yàn)槌槿】倖?wèn)卷為100份，所以 年齡在中，抽取份數(shù)為10份，答對(duì)全卷人數(shù)為4人，所以年齡在中，抽

13、取份數(shù)為20份，答對(duì)全卷的人數(shù)占本組的概率為，所以，解得 根據(jù)頻率直方分布圖，得，解得 （2）因?yàn)槟挲g在與中答對(duì)全卷的人數(shù)分別為4人與2人年齡在中答對(duì)全卷的4人記為，年齡在中答對(duì)全卷的2人記為，則從這6人中隨機(jī)抽取2人授予“環(huán)保之星”獎(jiǎng)的所有可能的情況是：， ， 共15種 其中所抽取年齡在的人中至少有1人被授予“環(huán)保之星”的情況是：，共9種. 故所求的概率為. 組別候車(chē)時(shí)間人數(shù)一0,5)2二5,10)6三10,15)4四15,20)2五20,25113.城市公交車(chē)的數(shù)量太多容易造成資源的浪費(fèi)，太少又難以滿(mǎn)足乘客需求，為此，某市公交公司在某站臺(tái)60名候車(chē)乘客中隨機(jī)抽取15人，將他們的候車(chē)時(shí)間作為樣本分成5組，如下表所示(單位：min)：(1)求這15名乘客的平均候車(chē)時(shí)間；(2)估計(jì)這60名乘客中候車(chē)時(shí)間少于10 min的人數(shù)；(3)若從上表第三、四組的6人中選2人作進(jìn)一步問(wèn)卷調(diào)查，求抽到的2人恰好來(lái)自不同組的概率【解析】(1)(2.527.5612.5417.5222.51)157.510.5，故這15名乘客的平均候車(chē)時(shí)間為10.5 min.(2)由圖表可得，候車(chē)時(shí)間少于10分鐘的概率為，所以候車(chē)時(shí)間少于10 mi