廣東省珠海市金海岸中學(xué)高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題講座 構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解數(shù)列綜合題和應(yīng)用性問(wèn)題（通用）

1、廣東省珠海市金海岸中學(xué)高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題講座 構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解數(shù)列綜合題和應(yīng)用性問(wèn)題高考要求 縱觀近幾年的高考，在解答題中，有關(guān)數(shù)列的試題出現(xiàn)的頻率較高，不僅可與函數(shù)、方程、不等式、復(fù)數(shù)相聯(lián)系，而且還與三角、立體幾何密切相關(guān)；數(shù)列作為特殊的函數(shù)，在實(shí)際問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用，如增長(zhǎng)率，減薄率，銀行信貸，濃度匹配，養(yǎng)老保險(xiǎn)，圓鋼堆壘等問(wèn)題 這就要求同學(xué)們除熟練運(yùn)用有關(guān)概念式外，還要善于觀察題設(shè)的特征，聯(lián)想有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，迅速確定解題的方向，以提高解數(shù)列題的速度 重難點(diǎn)歸納 1 解答數(shù)列綜合題和應(yīng)用性問(wèn)題既要有堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí),又要有良好的思維能力和分析、解決問(wèn)題的能力；解答應(yīng)用性問(wèn)題，應(yīng)充分運(yùn)用觀察

2、、歸納、猜想的手段，建立出有關(guān)等差(比)數(shù)列、遞推數(shù)列模型，再綜合其他相關(guān)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題 2 縱觀近幾年高考應(yīng)用題看，解決一個(gè)應(yīng)用題，重點(diǎn)過(guò)三關(guān) (1)事理關(guān) 需要讀懂題意，明確問(wèn)題的實(shí)際背景，即需要一定的閱讀能力 (2)文理關(guān) 需將實(shí)際問(wèn)題的文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)的符號(hào)語(yǔ)言，用數(shù)學(xué)式子表達(dá)數(shù)學(xué)關(guān)系 (3)事理關(guān) 在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過(guò)程中；要求考生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的檢索能力，認(rèn)定或構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，完成用實(shí)際問(wèn)題向數(shù)學(xué)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化 構(gòu)建出數(shù)學(xué)模型后，要正確得到問(wèn)題的解，還需要比較扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)和較強(qiáng)的數(shù)理能力 典型題例示范講解 例1從社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益出發(fā)，某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)，

3、根據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬(wàn)元，以后每年投入將比上年減少，本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計(jì)為400萬(wàn)元，由于該項(xiàng)建設(shè)對(duì)旅游業(yè)的促進(jìn)作用，預(yù)計(jì)今后的旅游業(yè)收入每年會(huì)比上年增加 (1)設(shè)n年內(nèi)(本年度為第一年)總投入為an萬(wàn)元，旅游業(yè)總收入為bn萬(wàn)元，寫(xiě)出an,bn的表達(dá)式；(2)至少經(jīng)過(guò)幾年，旅游業(yè)的總收入才能超過(guò)總投入？命題意圖 本題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)；考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，本題有很強(qiáng)的區(qū)分度，屬于應(yīng)用題型，正是近幾年高考的熱點(diǎn)和重點(diǎn)題型 知識(shí)依托 本題以函數(shù)思想為指導(dǎo)，以數(shù)列知識(shí)為工具，涉及函數(shù)建模、數(shù)列求和、不等式的解法等知識(shí)點(diǎn) 錯(cuò)解分析 (1)問(wèn)

4、an、bn實(shí)際上是兩個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和，易與“通項(xiàng)”混淆；(2)問(wèn)是既解一元二次不等式又解指數(shù)不等式，易出現(xiàn)偏差 技巧與方法 正確審題、深刻挖掘數(shù)量關(guān)系，建立數(shù)量模型是本題的靈魂，(2)問(wèn)中指數(shù)不等式采用了換元法，是解不等式常用的技巧 解 (1)第1年投入為800萬(wàn)元，第2年投入為800(1)萬(wàn)元，第n年投入為800(1)n1萬(wàn)元，所以，n年內(nèi)的總投入為 an=800+800(1)+800(1)n1=800(1)k1=40001()n第1年旅游業(yè)收入為400萬(wàn)元，第2年旅游業(yè)收入為400(1+)，第n年旅游業(yè)收入400(1+)n1萬(wàn)元 所以，n年內(nèi)的旅游業(yè)總收入為bn=400+400(1+)+4

5、00(1+)k1=400()k1=1600()n1(2)設(shè)至少經(jīng)過(guò)n年旅游業(yè)的總收入才能超過(guò)總投入，由此bnan0，即1600()n140001()n0，令x=()n，代入上式得 5x27x+20 解此不等式，得x，或x1(舍去) 即()n，由此得n5 至少經(jīng)過(guò)5年，旅游業(yè)的總收入才能超過(guò)總投入 例2已知Sn=1+,(nN*)，設(shè)f(n)=S2n+1Sn+1,試確定實(shí)數(shù)m的取值范圍，使得對(duì)于一切大于1的自然數(shù)n，不等式 f(n)logm(m1)2log(m1)m2恒成立 命題意圖 本題主要考查應(yīng)用函數(shù)思想解決不等式、數(shù)列等問(wèn)題，需較強(qiáng)的綜合分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力 知識(shí)依托 本題把函數(shù)、不等式

6、恒成立等問(wèn)題組合在一起，構(gòu)思巧妙 錯(cuò)解分析 本題學(xué)生很容易求f(n)的和，但由于無(wú)法求和，故對(duì)不等式難以處理 技巧與方法 解決本題的關(guān)鍵是把f(n)(nN*)看作是n的函數(shù)，此時(shí)不等式的恒成立就轉(zhuǎn)化為 函數(shù)f(n)的最小值大于logm(m1)2log(m1)m2 解 Sn=1+ (nN*)f(n+1)f(n)f(n)是關(guān)于n的增函數(shù)f(n) min=f(2)= 要使一切大于1的自然數(shù)n，不等式f(n)logm(m1)2log(m1)m2恒成立只要logm(m1)2log(m1)m2成立即可由得m1且m2此時(shí)設(shè)logm(m1)2=t 則t0于是解得0t1 由此得0logm(m1)21 解得m且m

7、2 例3已知二次函數(shù)y=f(x)在x=處取得最小值(t0),f(1)=0 (1)求y=f(x)的表達(dá)式；(2)若任意實(shí)數(shù)x都滿足等式f(x)g(x)+anx+bn=xn+1g(x)為多項(xiàng)式，nN*),試用t表示an和bn；(3)設(shè)圓Cn的方程為(xan)2+(ybn)2=rn2，圓Cn與Cn+1外切(n=1,2,3,);rn是各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列，記Sn為前n個(gè)圓的面積之和，求rn、Sn 解 (1)設(shè)f(x)=a(x)2，由f(1)=0得a=1 f(x)=x2(t+2)x+t+1 (2)將f(x)=(x1)x(t+1)代入已知得 (x1)x(t+1)g(x)+anx+bn=xn+1，上式對(duì)任

8、意的xR都成立，取x=1和x=t+1分別代入上式得 且t0，解得an=(t+1)n+11，bn=1(t+1n)(3)由于圓的方程為(xan)2+(ybn)2=rn2，又由(2)知an+bn=1，故圓Cn的圓心On在直線x+y=1上，又圓Cn與圓Cn+1相切，故有rn+rn+1=an+1an= (t+1)n+1設(shè)rn的公比為q，則得q=t+1，代入得rn=Sn=(r12+r22+rn2)=(t+1)2n1 學(xué)生鞏固練習(xí) 1 已知二次函數(shù)y=a(a+1)x2(2a+1)x+1，當(dāng)a=1，2，n，時(shí)，其拋物線在x軸上截得的線段長(zhǎng)依次為d1,d2，,dn,則(d1+d2+dn)的值是( )A 1 B

9、2C 3D 42 在直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，P1(x1，y1)、P2(x2，y2)是第一象限的兩個(gè)點(diǎn)，若1，x1，x2，4依次成等差數(shù)列，而1，y1，y2，8依次成等比數(shù)列，則OP1P2的面積是_ 3 從盛滿a升酒精的容器里倒出b升，然后再用水加滿，再倒出b升，再用水加滿；這樣倒了n次，則容器中有純酒精_升 4 據(jù)2000年3月5日九屆人大五次會(huì)議政府工作報(bào)告 “2001年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值達(dá)到95933億元，比上年增長(zhǎng)7 3%，”如果“十五”期間(2001年2020年)每年的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值都按此年增長(zhǎng)率增長(zhǎng)，那么到“十五”末我國(guó)國(guó)內(nèi)年生產(chǎn)總值約為_(kāi)億元 5 已知數(shù)列an滿足條件 a1=1,a2=

10、r(r0),且anan+1是公比為q(q0)的等比數(shù)列，設(shè)bn=a2n1+a2n(n=1,2,) (1)求出使不等式anan+1+an+1an+2an+2an+3(nN*)成立的q的取值范圍；(2)求bn和，其中Sn=b1+b2+bn；(3)設(shè)r=219 21，q=，求數(shù)列的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的值 6 某公司全年的利潤(rùn)為b元，其中一部分作為獎(jiǎng)金發(fā)給n位職工，獎(jiǎng)金分配方案如下 首先將職工按工作業(yè)績(jī)(工作業(yè)績(jī)均不相同)從大到小，由1到n排序，第1位職工得獎(jiǎng)金元，然后再將余額除以n發(fā)給第2位職工，按此方法將獎(jiǎng)金逐一發(fā)給每位職工，并將最后剩余部分作為公司發(fā)展基金 (1)設(shè)ak(1kn)為第k位職工所得獎(jiǎng)金

11、金額，試求a2,a3，并用k、n和b表示ak(不必證明)；(2)證明akak+1(k=1,2,n1),并解釋此不等式關(guān)于分配原則的實(shí)際意義；(3)發(fā)展基金與n和b有關(guān)，記為Pn(b),對(duì)常數(shù)b，當(dāng)n變化時(shí)，求Pn(b) 7 據(jù)有關(guān)資料，1995年我國(guó)工業(yè)廢棄垃圾達(dá)到7 4108噸，占地562 4平方公里，若環(huán)保部門(mén)每年回收或處理1噸舊物資，則相當(dāng)于處理和減少4噸工業(yè)廢棄垃圾，并可節(jié)約開(kāi)采各種礦石20噸，設(shè)環(huán)保部門(mén)1996年回收10萬(wàn)噸廢舊物資，計(jì)劃以后每年遞增20%的回收量，試問(wèn) (1)2001年回收廢舊物資多少噸？(2)從1996年至2001年可節(jié)約開(kāi)采礦石多少噸(精確到萬(wàn)噸)？(3)從19

12、96年至2001年可節(jié)約多少平方公里土地？8 已知點(diǎn)的序列An(xn，0),nN,其中x1=0,x2=a(a0),A3是線段A1A2的中點(diǎn)，A4是線段A2A3的中點(diǎn)，An是線段An2An1的中點(diǎn)， (1)寫(xiě)出xn與xn1、xn2之間關(guān)系式(n3);(2)設(shè)an=xn+1xn，計(jì)算a1,a2,a3，由此推測(cè)數(shù)列an的通項(xiàng)公式，并加以證明；(3)求xn 參考答案:3 解析 第一次容器中有純酒精ab即a(1)升，第二次有純酒精a(1)，即a(1)2升，故第n次有純酒精a(1)n升 答案 a(1)n4 解析 從2001年到2020年每年的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值構(gòu)成以95933為首項(xiàng)，以7 3%為公比的等比數(shù)列，

13、a5=95933(1+7 3%)4120000(億元) 答案 1200005 解 (1)由題意得rqn1+rqnrqn+1 由題設(shè)r0,q0,故從上式可得 q2q10，解得q,因q0,故0q;(2) b1=1+r0，所以bn是首項(xiàng)為1+r，公比為q的等比數(shù)列，從而bn=(1+r)qn-1 當(dāng)q=1時(shí)，Sn=n(1+r), ,從上式可知，當(dāng)n20 20，即n21(nN*)時(shí)，Cn隨n的增大而減小，故1CnC21=1+=2 25當(dāng)n20 20，即n20(nN*)時(shí)，Cn也隨n的增大而減小，故1CnC20=1+=4綜合兩式知，對(duì)任意的自然數(shù)n有C20CnC21,故Cn的最大項(xiàng)C21=2 25，最小項(xiàng)C20=4 7 解 設(shè)an表示第n年的廢舊物資回收量，Sn表示前n年廢舊物資回收總量，則數(shù)列an是以10為首項(xiàng)，1+20%為公比的等比數(shù)列 (1)a6=10