數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)中的運(yùn)用

1、數(shù)形結(jié)合思想 在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用,四川省德陽(yáng)市第一小學(xué) 張洪明,（一）基本理念的修訂,（二）設(shè)計(jì)思路、具體內(nèi)容和表達(dá)方式的修訂,數(shù)學(xué)的解釋、核心理念、雙基變四基、兩能變四能、教師與生都為主、過(guò)程與結(jié)果同為重,主要是四個(gè)領(lǐng)域的刪、減、增、移， 以及在其中貫徹增加核心概念（比如運(yùn)算能力、幾何直觀、模型思想等）,一、修訂稿與實(shí)驗(yàn)稿的區(qū)別基本理念的修訂,一、修訂稿與實(shí)驗(yàn)稿的區(qū)別基本理念的修訂,實(shí)驗(yàn)稿： 數(shù)學(xué)是人們對(duì)客觀世界定性把握和定量刻畫(huà)、逐漸抽象概括、形成方法和理論，并進(jìn)行廣泛應(yīng)用的過(guò)程。 修改稿：（簡(jiǎn)潔、明了） 數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。,1、關(guān)于數(shù)學(xué)的解釋,2、關(guān)于核心理念中“面

2、向全體學(xué)生”,實(shí)驗(yàn)稿： 人人學(xué)有價(jià)值的數(shù)學(xué)；人人都能獲得必需的數(shù)學(xué)；不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展。 修改稿： 人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展。,一、修訂稿與實(shí)驗(yàn)稿的區(qū)別基本理念的修訂,實(shí)驗(yàn)稿： 雙基：基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能。 修改稿： 四基：基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、 基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。,3、關(guān)于“雙基”教學(xué)變“四基”教學(xué)。,一、修訂稿與實(shí)驗(yàn)稿的區(qū)別基本理念的修訂,基本思想： 史寧中教授特別提到：抽象思想、推理思想、模型思想 核心思想：歸納和演繹（而演繹、化歸、轉(zhuǎn)化、類(lèi)比都屬于推理思想） 常用的小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法：對(duì)應(yīng)思想方法、假設(shè)思想方法、比較思想方法、符號(hào)化思想方法

3、、類(lèi)比思想方法、轉(zhuǎn)化思想方法、分類(lèi)思想方法、集合思想方法、數(shù)形結(jié)合思想方法、統(tǒng)計(jì)思想方法、極限思想方法、代換思想方法、可逆思想方法、化歸思維方法、變中抓不變的思想方法、數(shù)學(xué)模型思想方法、整體思想方法等等。,一、修訂稿與實(shí)驗(yàn)稿的區(qū)別基本理念的修訂,基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)：, ,一 種 方 法 是：1個(gè)5，2個(gè)5，3個(gè)5。 另一種方法是：1個(gè)3，2個(gè)3，3個(gè)3，4個(gè)3，5個(gè) 3。 這一系列數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，就為后邊學(xué)習(xí)53積累了相關(guān)的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。,比如：讓學(xué)生很快數(shù)出有多少顆五星。,一、修訂稿與實(shí)驗(yàn)稿的區(qū)別基本理念的修訂,基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)： 數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，不僅僅是解題經(jīng)驗(yàn)，更多的是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，數(shù)學(xué)思考習(xí)慣

4、的經(jīng)驗(yàn)。不斷積累！,一、修訂稿與實(shí)驗(yàn)稿的區(qū)別基本理念的修訂,實(shí)驗(yàn)稿： 重點(diǎn)是分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力 修改稿： 明確提出： 發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題能力 分析和解決問(wèn)題能力,4、關(guān)于“兩能”到“四能”：,一、修訂稿與實(shí)驗(yàn)稿的區(qū)別基本理念的修訂,修訂稿中十大核心概念： 數(shù) 感、符號(hào)意識(shí)、運(yùn)算能力、 模型思想、空間觀念、幾何直觀、推理能力、數(shù)據(jù)分析觀念、 應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí),一、修訂稿與實(shí)驗(yàn)稿的區(qū)別基本理念的修訂,幾何直觀 （數(shù)形結(jié)合）,十大核心概念之一,一、修訂稿與實(shí)驗(yàn)稿的區(qū)別基本理念的修訂,幾何直觀,修訂稿：幾何直觀利用圖形描述問(wèn)題和分析問(wèn)題。把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問(wèn)題的思路，預(yù)

5、測(cè)結(jié)果。,簡(jiǎn)單地說(shuō)：就是指依托圖形進(jìn)行數(shù)學(xué)思考、想象。,二、幾何直觀（數(shù)形結(jié)合）的基本概念。,數(shù)形本是相倚依，焉能分作兩邊飛？ 數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微， 數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休， 幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系莫分離。,華羅庚,二、幾何直觀（數(shù)形結(jié)合）的基本概念。,如果一個(gè)特定的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)圖形，那么，思想就整體地把握了問(wèn)題，并且能創(chuàng)造性地思索問(wèn)題的解法。 斯蒂恩（美國(guó)數(shù)學(xué)家）,二、幾何直觀（數(shù)形結(jié)合）的基本概念。,要看到圖形，借助數(shù)看圖形！ 要看到數(shù)，借助圖形看數(shù)！ 把數(shù)學(xué)畫(huà)出來(lái)！ 把事物量出來(lái)！ 促進(jìn)了學(xué)生形象思維和抽象思維的協(xié)調(diào)發(fā)展 溝通了數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系, 從復(fù)雜的數(shù)

6、量關(guān)系中凸顯最本質(zhì)的特征,二、幾何直觀（數(shù)形結(jié)合）的基本概念。,運(yùn)用于數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域,幾何直觀運(yùn)用領(lǐng)域,我們不僅在幾何內(nèi)容教學(xué)中要重視幾何直觀，在整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)中都應(yīng)該重視幾何直觀，培養(yǎng)幾何直觀應(yīng)該貫穿于教學(xué)始終。,二、幾何直觀（數(shù)形結(jié)合）的基本概念。,幾何直觀的表現(xiàn)形式,借助圖形 展開(kāi)想象 揭示規(guī)律,幾何圖形、線段圖、數(shù)軸、 方格紙、 坐標(biāo)、方向標(biāo)、 示意圖、 列表、動(dòng)畫(huà)等一系列,圖形,二、幾何直觀（數(shù)形結(jié)合）的基本概念。,三、數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的體現(xiàn),（ 1 ）數(shù)的表示 用直線上的點(diǎn)表示數(shù)，可以明確地表示出數(shù)的性質(zhì)（有始無(wú)終，有序性等等）；,100以?xún)?nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí),4,6,10枝,46

7、,三、數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的體現(xiàn),（ 1 ）數(shù)的表示 用直線上的點(diǎn)表示數(shù)，可以明確地表示出數(shù)的性質(zhì)（有始無(wú)終，有序性等等）；,三、數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的體現(xiàn),（ 1 ）數(shù)的表示 用直線上的點(diǎn)表示數(shù)，可以明確地表示出數(shù)的性質(zhì)（有始無(wú)終，有序性等等）；,把陰影部分分別用分?jǐn)?shù)和小數(shù)表示。,分?jǐn)?shù)（ ） 小數(shù)（ ）,分?jǐn)?shù)（ ） 小數(shù)（ ）,三、數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的體現(xiàn),（ 2 ）計(jì)算中的形 運(yùn)算的實(shí)物化、圖形化和操作化，便于人們直觀理解數(shù)和計(jì)算（擺小棒、畫(huà)圖形等）。,三、數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的體現(xiàn),（ 3 ）解決問(wèn)題中的形 畫(huà)線段圖表示數(shù)量關(guān)系。,甲比乙多1/4。 （鼓

8、勵(lì)學(xué)生畫(huà)）,乙：,甲：,三、數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的體現(xiàn),（ 3 ）解決問(wèn)題中的形 畫(huà)線段圖表示數(shù)量關(guān)系。,甲比乙多 1/4 （鼓勵(lì)學(xué)生畫(huà)）,三、數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的體現(xiàn),（ 3 ）解決問(wèn)題中的形 畫(huà)線段圖表示數(shù)量關(guān)系。,三、數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的體現(xiàn),（ 3 ）解決問(wèn)題中的形 解決問(wèn)題的直觀策略,三、數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的體現(xiàn),（ 3 ）統(tǒng)計(jì)中的圖形 條形統(tǒng)計(jì)圖直觀地反映出數(shù)量的多少。 折線統(tǒng)計(jì)圖形象地表示數(shù)量發(fā)展的趨勢(shì)。 扇形統(tǒng)計(jì)圖鮮明地說(shuō)明部分?jǐn)?shù)量與整體數(shù)量之間的關(guān)系。,三、數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的體現(xiàn),（ 3 ）統(tǒng)計(jì)中的圖形,三、數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)

9、數(shù)學(xué)教材中的體現(xiàn),（ 4 ）函數(shù)的多重表示及坐標(biāo)系,四、數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng),1、在教學(xué)中使學(xué)生逐步養(yǎng)成畫(huà)圖的習(xí)慣 教學(xué)中應(yīng)有這樣的導(dǎo)向：能畫(huà)圖的盡量畫(huà)將相對(duì)抽象的思考對(duì)象“圖形化”,2、重視變換讓圖形動(dòng)起來(lái) 幾何變換或圖形的運(yùn)動(dòng)是幾何，也是整個(gè)教學(xué)中很重要的內(nèi)容，它既是學(xué)習(xí)的對(duì)象，也是認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的思想和方法。 例如：平行四邊形、三角形、梯形、圓形等面積公式的推導(dǎo)，讓學(xué)生經(jīng)歷公式的形成過(guò)程； 圖形的平移和旋轉(zhuǎn)； 圖形的位置和方向變換、圖形的放大與縮??；,四、數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng),3、學(xué)會(huì)從“數(shù)”與“形”兩個(gè)角度認(rèn)識(shí) 數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)的許多教學(xué)內(nèi)容、概念都具有“數(shù)”和“形”兩方面的本質(zhì)特征。數(shù)形結(jié)合是認(rèn)識(shí)數(shù)

10、學(xué)的基本方法，與其說(shuō)是方法，不如說(shuō)這是基本要求。從這一點(diǎn)看，不注重?cái)?shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)教學(xué)中只能讓學(xué)生隔靴搔癢。,四、數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng),4、掌握、運(yùn)用一些基本圖形解決問(wèn)題 利用基本圖形、表格、數(shù)軸、方格紙等。在教學(xué)中要有意識(shí)的強(qiáng)化對(duì)基本圖形的運(yùn)用，不斷地運(yùn)用這些基本圖形去發(fā)現(xiàn)、描述問(wèn)題，理解、記憶結(jié)果，這應(yīng)該成為教學(xué)中關(guān)注的目標(biāo)。,四、數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng),五、數(shù)形結(jié)合思想在解題問(wèn)題中的運(yùn)用舉例,用兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，你能用它們拼出一個(gè)長(zhǎng)方形嗎？你拼的長(zhǎng)方形是什么樣的？還有不同的拼法嗎？,數(shù)形結(jié)合運(yùn)用（一）質(zhì)數(shù)合數(shù),用三個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，你能用它們拼出一個(gè)長(zhǎng)方形嗎？你拼的長(zhǎng)方形是什么樣的？還有不

11、同的拼法嗎？,數(shù)形結(jié)合運(yùn)用（一）質(zhì)數(shù)合數(shù),用四個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，你能用它們拼出一個(gè)長(zhǎng)方形嗎？你拼的長(zhǎng)方形是什么樣的？還有不同的拼法嗎？,數(shù)形結(jié)合運(yùn)用（一）質(zhì)數(shù)合數(shù),用五個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，你能用它們拼出一個(gè)長(zhǎng)方形嗎？你拼的長(zhǎng)方形是什么樣的？還有不同的拼法嗎？,數(shù)形結(jié)合運(yùn)用（一）質(zhì)數(shù)合數(shù),用六個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，你能用它們拼出一個(gè)長(zhǎng)方形嗎？你拼的長(zhǎng)方形是什么樣的？還有不同的拼法嗎？,數(shù)形結(jié)合運(yùn)用（一）質(zhì)數(shù)合數(shù),用七個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，你能用它們拼出一個(gè)長(zhǎng)方形嗎？你拼的長(zhǎng)方形是什么樣的？還有不同的拼法嗎？,數(shù)形結(jié)合運(yùn)用（一）質(zhì)數(shù)合數(shù),用八個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，你能用它們拼出一個(gè)長(zhǎng)方形嗎？你拼的長(zhǎng)方

12、形是什么樣的？還有不同的拼法嗎？,數(shù)形結(jié)合運(yùn)用（一）質(zhì)數(shù)合數(shù),用九個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，你能用它們拼出一個(gè)長(zhǎng)方形嗎？你拼的長(zhǎng)方形是什么樣的？還有不同的拼法嗎？,數(shù)形結(jié)合運(yùn)用（一）質(zhì)數(shù)合數(shù),用十二個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，你能用它們拼出一個(gè)長(zhǎng)方形嗎？你拼的長(zhǎng)方形是什么樣的？還有不同的拼法嗎？,數(shù)形結(jié)合運(yùn)用（一）質(zhì)數(shù)合數(shù),1,1+3,1+3+5,1+3+5+7,1+3+5+7+9,數(shù)形結(jié)合運(yùn)用（二）計(jì)算,1,1+3=22,數(shù)形結(jié)合運(yùn)用（二）計(jì)算,1,1+3,1+3+5,數(shù)形結(jié)合運(yùn)用（二）計(jì)算,1,1+3,1+3+5=33,數(shù)形結(jié)合運(yùn)用（二）計(jì)算,1,1+3,1+3+5,1+3+5+7,數(shù)形結(jié)合運(yùn)用（二）計(jì)

13、算,1,1+3,1+3+5,1+3+5+7=44,數(shù)形結(jié)合運(yùn)用（二）計(jì)算,1,1+3,1+3+5,1+3+5+7,1+3+5+7+9,數(shù)形結(jié)合運(yùn)用（二）計(jì)算,1,1+3,1+3+5,1+3+5+7,1+3+5+7+9=？,數(shù)形結(jié)合運(yùn)用（二）計(jì)算,1+3+5+7+9+11,數(shù)形結(jié)合運(yùn)用（二）計(jì)算,1+3+5+7+9+11,6 5 4 3 2 1,數(shù)形結(jié)合運(yùn)用（二）計(jì)算,計(jì)算 ： ,數(shù)形結(jié)合運(yùn)用（二）分?jǐn)?shù)計(jì)算,計(jì)算 ： ,1 2,1 4,1 8,1 16,1 32,“1”,數(shù)形結(jié)合運(yùn)用（二）分?jǐn)?shù)計(jì)算,問(wèn)題：全班有8個(gè)小組，每組6人。每位同學(xué)向西部?jī)和钑?shū)3本，全班一共捐書(shū)多少本？,數(shù)形結(jié)合運(yùn)用（二

14、）連乘問(wèn)題,每人3本,每人3本,問(wèn)題：全班有8個(gè)小組，每組6人。每位同學(xué)向西部?jī)和钑?shū)3本，全班一共捐書(shū)多少本？,每人3本,每人3本,每人3本,每人3本,每人3本,每人3本,每組 6人,8個(gè)小組,？,用彩色涂出2/51/3=,數(shù)形結(jié)合運(yùn)用（二）分?jǐn)?shù)乘法,用彩色涂出2/51/3=,數(shù)形結(jié)合運(yùn)用（二）分?jǐn)?shù)乘法,三年級(jí)題目：學(xué)校有一段走廊長(zhǎng)6米，寬3米。在走廊地面鋪上邊長(zhǎng)是3分米的正方形地磚，需要鋪多少塊？,339（平方分米）,60301800（平方分米）,18009200（塊）,大面積小面積,？,數(shù)形結(jié)合運(yùn)用（三）鋪地磚,120分米,60分米,120340(塊),60320(行),4020800(

15、塊),每行塊數(shù)行數(shù)總塊數(shù),五年級(jí)題目：在長(zhǎng)寬高分別為40dm、30dm、20dm的長(zhǎng)方體木塊切割成棱長(zhǎng)為8dm的正方體，能切割成多少個(gè)？,“大體積小體積”。,數(shù)形結(jié)合運(yùn)用（三）割長(zhǎng)方體,六年級(jí)題目，如：用長(zhǎng)1.1m，寬0.9m的長(zhǎng)方形紙片剪成幾個(gè)直徑為2dm的圓，可以剪多少個(gè)？,“大面積小面積”,數(shù)形結(jié)合運(yùn)用（三）剪圓,六年級(jí)題目：請(qǐng)用數(shù)學(xué)思維解決問(wèn)題： 三人同時(shí)從工廠乘出租車(chē)回家，事先講好三人分擔(dān)車(chē)費(fèi)，丙最后到達(dá)終點(diǎn)付車(chē)費(fèi)90元，已知甲到了全程的1/3處下了車(chē)，乙在全程的2/3處下了車(chē)。問(wèn)甲乙分別應(yīng)付給丙多少錢(qián)？,數(shù)形結(jié)合運(yùn)用（四）支付租車(chē)費(fèi),第一層次：90元3=30元；,第二層次：1/32

16、/31123，甲：90元1/6=15元； 乙：90元2/6=30元； 丙：90元3/6=45元；,1/3,2/3,“1”,甲：30元3=10元； 乙：30元330元2=25元； 丙：30元330元230元=55元。,30元,第三層次：,長(zhǎng),寬,面積,長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)寬,數(shù)量,總價(jià),總價(jià)=單價(jià)數(shù)量,單價(jià),數(shù)形結(jié)合運(yùn)用（五）矩形運(yùn)用,（二）解決問(wèn)題 問(wèn)題：學(xué)校食堂買(mǎi)來(lái)一些大米。計(jì)劃吃8天，實(shí)際每天比計(jì)劃多吃5千克，結(jié)果提前2天就吃完了。你能算出原計(jì)劃每天吃多少千克嗎？,總千克數(shù) =每天吃的千克數(shù)天數(shù),長(zhǎng)方形的面積= 長(zhǎng) 寬,數(shù)形結(jié)合運(yùn)用（五）矩形運(yùn)用,（二）解決問(wèn)題 問(wèn)題：學(xué)校食堂買(mǎi)來(lái)一些大米。計(jì)

17、劃吃8天，實(shí)際每天比計(jì)劃多吃5千克，結(jié)果提前2天就吃完了。你能算出原計(jì)劃每天吃多少千克嗎？,總千克數(shù) =每天吃的千克數(shù)天數(shù),提前2天吃完,多吃 5千克,計(jì)劃吃8天,A,B,原計(jì)劃每天吃多少千克？,數(shù)形結(jié)合運(yùn)用（五）矩形運(yùn)用,一個(gè)正方形，一條邊減少20%，另一條增加2米，面積保持不變，求原來(lái)正方形的面積是多少平方米,數(shù)形結(jié)合運(yùn)用（五）矩形運(yùn)用,一個(gè)正方形，一條邊減少20%，另一條增加2米，面積保持不變，求原來(lái)正方形的面積是多少平方米,數(shù)形結(jié)合運(yùn)用（五）矩形運(yùn)用,一個(gè)正方形，一條邊減少20%，另一條增加2米，面積保持不變，求原來(lái)正方形的面積是多少平方米,減少20%,2米,數(shù)形結(jié)合運(yùn)用（五）矩形運(yùn)用

18、,一個(gè)正方形，一條邊減少20%，另一條增加2米，面積保持不變，求原來(lái)正方形的面積是多少平方米,減少20%,2米,減少1/5，把正方形的邊長(zhǎng)平均分成五份，減少其中1份，還剩下4份,數(shù)形結(jié)合運(yùn)用（五）矩形運(yùn)用,一個(gè)正方形，一條邊減少20%，另一條增加2米，面積保持不變，求原來(lái)正方形的面積是多少平方米,1份,2米,4份,B,A,C,數(shù)形結(jié)合運(yùn)用（五）矩形運(yùn)用,泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世紀(jì)莫臥兒帝國(guó)皇帝沙杰罕為紀(jì)念其愛(ài)妃所建，她宏偉壯觀，純白大理石砌建而成的主體建筑叫人心醉神迷，成為世界七大奇跡之一。陵寢以寶石鑲飾，圖案之細(xì)致令人叫絕。 傳說(shuō)陵寢中有一個(gè)三角形圖案，以相同大小的圓寶石鑲飾而成，共有100層（見(jiàn)下圖），奢靡之程度，可見(jiàn)一斑。 你知道這個(gè)圖案一共花了多少寶石嗎？,數(shù)形結(jié)合運(yùn)用（六）解決問(wèn)題,問(wèn)題1：圖案中，第1層到第21層一共有多少顆寶石？ 借助幾何圖形之直觀性，引導(dǎo)學(xué)生使用熟悉的幾何方法：把“全等三角形”倒置，與原圖補(bǔ)成平行四邊形。,數(shù)形結(jié)合運(yùn)用（六）解決問(wèn)題,A、B、C、D、E進(jìn)行象棋比賽，每?jī)扇酥g都要賽一盤(pán)。到現(xiàn)在為止，A已經(jīng)賽了4盤(pán)，B賽了3盤(pán)，C賽了2盤(pán)，D賽了1盤(pán)，請(qǐng)問(wèn)E已經(jīng)賽了幾盤(pán)？,數(shù)形結(jié)合運(yùn)用（七）邏輯推理,A、B、C、D、E