應(yīng)力狀態(tài)和強度理論14692.ppt

1、1,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,2,7-1概述,在第二章和第三章中曾講述過桿受拉壓時和圓截面桿受扭時桿件內(nèi)一點處不同方位截面上的應(yīng)力不同。,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,3,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,.應(yīng)力狀態(tài)的概念,一點處不同方位截面上應(yīng)力的集合(總體)稱之為一點處的應(yīng)力狀態(tài)。,.一點應(yīng)力狀態(tài)的表示方法應(yīng)力單元體,由于一點處任何方位截面上的應(yīng)力均可根據(jù)從該點處取出的微小正六面體單元體的三對相互垂直面上的應(yīng)力來確定，故受力物體內(nèi)一點處的應(yīng)力狀態(tài)(stateofstress)可用一個單元體(element)及其上的應(yīng)力來表示。,4,受軸向拉(壓)桿,單向應(yīng)力狀態(tài),第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,受扭桿件,1

2、,純剪切應(yīng)力狀態(tài),5,橫力彎曲桿件,平面應(yīng)力狀態(tài),第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,6,.應(yīng)力狀態(tài)的分類,一點處切應(yīng)力等于零的截面稱為主平面(principalplane)，主平面上的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力(principalstress)。,在彈性力學(xué)中可以證明，受力物體內(nèi)一點處無論是什么應(yīng)力狀態(tài)必定存在三個相互垂直的主平面和相應(yīng)的三個主應(yīng)力。對于一點處三個相互垂直的主應(yīng)力，根據(jù)慣例按它們的代數(shù)值由大到小的次序記作s1，s2，s3。,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,7,鋼軌在輪軌觸點處就處于空間應(yīng)力狀態(tài)(圖a)。,當三個主應(yīng)力中只有一個主應(yīng)力不等于零時為單向應(yīng)力狀態(tài)；,當三個主應(yīng)力中有二個主應(yīng)力不等于零時為平面

3、應(yīng)力狀態(tài)；,當一點處的三個主應(yīng)力都不等于零時，稱該點處的應(yīng)力狀態(tài)為空間應(yīng)力狀態(tài)(三向應(yīng)力狀態(tài))；,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,8,平面應(yīng)力狀態(tài)下等于零的那個主應(yīng)力如下圖所示，可能是s1，也可能是s2或s3，這需要確定不等于零的兩個主應(yīng)力的代數(shù)值后才能明確。,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,9,研究桿件受力后各點處，特別是危險點處的應(yīng)力狀態(tài)可以：,1.了解材料發(fā)生破壞的力學(xué)上的原因，例如低碳鋼拉伸時的屈服(yield)現(xiàn)象是由于在切應(yīng)力最大的45斜截面上材料發(fā)生滑移所致；又如鑄鐵圓截面桿的扭轉(zhuǎn)破壞是由于在45方向拉應(yīng)力最大從而使材料發(fā)生斷裂(fracture)所致。,2.在不可能總是通過實驗測定材料極限

4、應(yīng)力的復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，如圖所示,應(yīng)力狀態(tài)分析是建立關(guān)于材料破壞規(guī)律的假設(shè)(稱為強度理論)(theoryofstrength,failurecriterion)的基礎(chǔ)。,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,10,本章將研究.平面應(yīng)力狀態(tài)下不同方位截面上的應(yīng)力和關(guān)于三向應(yīng)力狀態(tài)(空間應(yīng)力狀態(tài))的概念；.平面應(yīng)力狀態(tài)和三向應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系廣義胡克定律(generalizedHookeslaw)，以及這類應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度(strainenergydensity)；.強度理論。,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,11,7-2平面應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力分析主應(yīng)力,等直圓截面桿扭轉(zhuǎn)時的純剪切應(yīng)力狀態(tài)就屬于平面應(yīng)力狀態(tài)。

5、,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,12,對于圖a所示受橫力彎曲的梁，從其中A點處以包含與梁的橫截面重合的面在內(nèi)的三對相互垂直的面取出的單元體如圖b(立體圖)和圖c(平面圖)，本節(jié)中的分析結(jié)果將表明A點也處于平面應(yīng)力狀態(tài)。,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,13,平面應(yīng)力狀態(tài)最一般的表現(xiàn)形式如圖a所示，現(xiàn)先分析與已知應(yīng)力所在平面xy垂直的任意斜截面(圖b)上的應(yīng)力。,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,14,.斜截面上的應(yīng)力,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,圖b中所示垂直于xy平面的任意斜截面ef以它的外法線n與x軸的夾角a定義，且a角以自x軸逆時針轉(zhuǎn)至外法線n為正；斜截面上圖中所示的正應(yīng)力sa和切應(yīng)力ta均為正值，即sa以

6、拉應(yīng)力為正，ta以使其所作用的體元有順時針轉(zhuǎn)動趨勢者為正。,15,由圖c知，如果斜截面ef的面積為dA，則體元左側(cè)面eb的面積為dAcosa，而底面bf的面積為dAsina。圖d示出了作用于體元ebf諸面上的力。,體元的平衡方程為,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,16,需要注意的是，圖中所示單元體頂,底面上的切應(yīng)力ty按規(guī)定為負值，但在根據(jù)圖d中的體元列出上述平衡方程時已考慮了它的實際指向，故方程中的ty僅指其值。也正因為如此，此處切應(yīng)力互等定理的形式應(yīng)是tx=ty。,由以上兩個平衡方程并利用切應(yīng)力互等定理可得到以2a為參變量的求a斜截面上應(yīng)力sa，ta的公式：,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,17,主平

7、面的方位角,主應(yīng)力的大小,討論：,1)、的極值主應(yīng)力以及主平面方位,可以確定出兩個相互垂直的平面分別為最大正應(yīng)力和最小正應(yīng)力所在平面。,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,正應(yīng)力有極值。,-主平面,18,主平面的位置,將畫在原單元體上。,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,19,2)、切應(yīng)力ta的極值及所在截面,最大切應(yīng)力所在的位置,xy面內(nèi)的最大切應(yīng)力,由,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,最大正應(yīng)力與最大剪應(yīng)力所在平面成450,20,例：如圖所示單元體，求圖示斜截面的應(yīng)力及主應(yīng)力、主平面。,（單位：MPa）,300,40,50,60,解：1、求斜截面的應(yīng)力,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,21,2、求主應(yīng)力、主平面,主應(yīng)力

8、：,主平面位置：,（單位：MPa）,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,22,.應(yīng)力圓,為便于求得sa，ta，也為了便于直觀地了解平面應(yīng)力狀態(tài)的一些特征，可使上述計算公式以圖形即所稱的應(yīng)力圓(莫爾圓)(Mohrscircleforstresses)來表示。,先將上述兩個計算公式中的第一式內(nèi)等號右邊第一項移至等號左邊，再將兩式各自平方然后相加即得：,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,.應(yīng)力圓方程,23,而這就是如圖a所示的一個圓應(yīng)力圓，它表明代表a斜截面上應(yīng)力的點必落在應(yīng)力圓的圓周上。,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,24,.應(yīng)力圓的畫法,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,應(yīng)力圓上任一點的橫、縱坐標分別對應(yīng)該點某一截面上正應(yīng)力

9、和切應(yīng)力。,即應(yīng)力圓上的點對應(yīng)著單元體的面。,25,繪制步驟：,1、取直角坐標系,2、取比例尺（嚴格按比例做圖）。,3、找點，.,4、連交s軸于C點，以C為圓心，CD為半徑畫圓應(yīng)力圓。,D,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,26,點面對應(yīng)；二倍角；轉(zhuǎn)向同。,結(jié)論,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,在應(yīng)力圓圓周上代表單元體兩個相互垂直的x截面和y截面上應(yīng)力的點A和B所夾圓心角為180，它是單元體上相應(yīng)兩個面之間夾角的兩倍。,27,.證明,證得圓心位置：,證得半徑為：,s,t,o,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,圓心坐標及半徑,28,s,t,o,主平面：=0,應(yīng)力圓上和橫軸交點對應(yīng)的面,主應(yīng)力與主平面,第七章應(yīng)力狀態(tài)和

10、強度理論,主應(yīng)力排序：按其代數(shù)值排序記作s1，s2，s3的。,證明得：,29,s,t,o,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,基準法線為x軸的正方向截面。,主平面的方位角,另一角度（）逆時針正值。,測量出兩個角度，,以D為基點，轉(zhuǎn)向，順時針負值。,證明得：,30,s,t,o,斜截面上的應(yīng)力,E,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,利用應(yīng)力圓求a斜截面上的應(yīng)力sa，ta時，只需將應(yīng)力圓圓周上表示x截面上的應(yīng)力的點D所對應(yīng)的半徑按方位角a的轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)動2a角，得到半徑，那么圓周上E點的坐標即代表了單元體a斜截面上的應(yīng)力?，F(xiàn)證明如下：,F,31,s,t,o,斜截面上的應(yīng)力,證畢,E,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,32,切應(yīng)力的

11、極值及所在位置,以D為基點，轉(zhuǎn)到G1點，其圓心角為2a1。,由應(yīng)力圓可證明最大正應(yīng)力與最大剪應(yīng)力所在平面相差450,s,t,o,C,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,需要指出：所求只是xy面內(nèi)的最大切應(yīng)力,33,主應(yīng)力排序：,主應(yīng)力是按其代數(shù)值排序記作s1，s2，s3的。,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,34,例：如圖所示單元體，求圖示斜截面的應(yīng)力及主應(yīng)力、主平面。,（單位：MPa）,300,40,50,60,解：,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,35,主應(yīng)力：,主平面位置：,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,36,D,D,c,（1）對基本變形的應(yīng)力分析,單向拉伸,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,45方向面既有正應(yīng)力又切應(yīng)力，

12、但正應(yīng)力不是最大值，切應(yīng)力最大。,37,B,E,純剪切,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,38,討論:1.表達圖示各單元體a斜截面上應(yīng)力隨a角變化的應(yīng)力圓是怎樣的？這三個單元體所表示的都是平面應(yīng)力狀態(tài)嗎？,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,39,2.對于圖示各單元體，表示與紙面垂直的斜截面上應(yīng)力隨a角變化的應(yīng)力圓有什么特點？a=45兩個斜截面上的sa,ta分別是多少？,二向等值壓縮,二向等值拉伸,純剪切,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,40,7-3空間應(yīng)力狀態(tài)的概念,當一點處的三個主應(yīng)力都不等于零時，稱該點處的應(yīng)力狀態(tài)為空間應(yīng)力狀態(tài)(三向應(yīng)力狀態(tài))；鋼軌在輪軌觸點處就處于空間應(yīng)力狀態(tài)(圖a)。,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度

13、理論,41,空間應(yīng)力狀態(tài)最一般的表現(xiàn)形式如圖b所示；正應(yīng)力sx，sy，sz的下角標表示其作用面，切應(yīng)力txy，txz，tyx，tyz，tzx，tzy的第一個下角標表示其作用面，第二個下角標表示切應(yīng)力的方向。,(b),第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,圖中所示的正應(yīng)力和切應(yīng)力均為正的，即正應(yīng)力以拉應(yīng)力為正，切應(yīng)力則如果其作用面的外法線指向某一坐標軸的正向而該面上的切應(yīng)力指向另一座標軸的正向時為正。,42,最一般表現(xiàn)形式的空間應(yīng)力狀態(tài)中有9個應(yīng)力分量，但根據(jù)切應(yīng)力互等定理有txytyx，tyztzy，txztzx，因而獨立的應(yīng)力分量為6個，即sx，sy，sz，tyx，tzy，tzx。,當空間應(yīng)力狀態(tài)的三個

14、主應(yīng)力s1，s2，s3已知時(圖a)，與任何一個主平面垂直的那些斜截面(即平行于該主平面上主應(yīng)力的斜截面)上的應(yīng)力均可用應(yīng)力圓顯示。,(a),第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,43,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,例如圖a中所示平行于主應(yīng)力s3的斜截面，其上的應(yīng)力由圖b所示分離體可知，它們與s3無關(guān)，因而顯示這類斜截面上應(yīng)力的點必落在以s1和s2作出的應(yīng)力圓上(參見圖c)。,44,進一步的研究證明*，表示與三個主平面均斜交的任意斜截面(圖a中的abc截面)上應(yīng)力的點D必位于如圖c所示以主應(yīng)力作出的三個應(yīng)力圓所圍成的陰影范圍內(nèi)。,(a),第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,同理，顯示平行于主應(yīng)力s2(或s1)的那類斜截

15、面上應(yīng)力的點必落在以s1和s3(或s2和s3)作出的應(yīng)力圓上。,(c),45,據(jù)此可知，受力物體內(nèi)一點處代數(shù)值最大的正應(yīng)力smax就是主應(yīng)力s1，即。,(c),第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,最大切應(yīng)力為,46,它的作用面根據(jù)應(yīng)力圓點B的位置可知，系與主應(yīng)力s2作用面垂直而與s1作用面成45，即下面圖a中的截面abcd。,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,47,200,300,50,tmax,平面應(yīng)力狀態(tài)作為三向應(yīng)力狀態(tài)的特例,48,200,50,300,50,49,50,例題7-1試根據(jù)圖a所示單元體各面上的應(yīng)力，求出主應(yīng)力和最大切應(yīng)力的值及它們的作用面方位。,(a),第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,51,解:

16、1.圖a所示單元體上正應(yīng)力sz=20MPa的作用面(z截面)上無切應(yīng)力，因而該正應(yīng)力為主應(yīng)力。,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,(a),按代數(shù)值大小排序為s146MPa，s220MPa，s3-26MPa。,2.解析法計算主應(yīng)力值,52,(a),3.根據(jù)表達式，得,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,4.依據(jù)三個主應(yīng)力值作出的三個應(yīng)力圓如圖b所示。,53,s1的作用面垂直于z截面(sz作用面)，其方位角a0根據(jù)通過點D1和D2的應(yīng)力圓上由代表x截面上應(yīng)力的點D1逆時針至代表a1的點A的圓心角2a034可知為a017且由x截面逆時針轉(zhuǎn)動，如圖c中所示。,(c),第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,(b),最大切應(yīng)力tmax

17、作用在由s1作用面繞s2逆時針45的面上(圖c)。,54,7-4應(yīng)力與應(yīng)變間的關(guān)系,前已講到，最一般表現(xiàn)形式的空間應(yīng)力狀態(tài)有6個獨立的應(yīng)力分量：sx,sy,sz,txy,tyz,tzx；與之相應(yīng)的有6個獨立的應(yīng)變分量：ex,ey,ez,gxy,gyz,gzx。,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,規(guī)定：線應(yīng)變ex,ey,ez以伸長變形為正，切應(yīng)變gxy,gyz,gzx以使單元體的直角xoy,yoz,zox減小為正。,55,本節(jié)討論在線彈性范圍內(nèi)，且為小變形的條件下，空間應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力分量與應(yīng)變分量之間的關(guān)系，即廣義胡克定律。,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,.各向同性材料的廣義胡克定律,對于各向同性材料，它在

18、任何方向上的彈性性質(zhì)相同，也就是它在各個方向上應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系相同。,在線彈性范圍內(nèi)，且為小變形的條件下，正應(yīng)力只引起線應(yīng)變，而切應(yīng)力只引起同一平面內(nèi)的切應(yīng)變。,56,(1)在正應(yīng)力作用下，沿正應(yīng)力方向及與之垂直的方向產(chǎn)生線應(yīng)變，而在包含正應(yīng)力作用面在內(nèi)的三個相互垂直的平面內(nèi)不會發(fā)生切應(yīng)變；,(2)在切應(yīng)力作用下只會在切應(yīng)力構(gòu)成的平面內(nèi)產(chǎn)生切應(yīng)變，而在與之垂直的平面內(nèi)不會產(chǎn)生切應(yīng)變；也不會在切應(yīng)力方向和與它們垂直的方向產(chǎn)生線應(yīng)變。,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,57,現(xiàn)在來導(dǎo)出一般空間應(yīng)力狀態(tài)(圖a)下的廣義胡克定律。因為在線彈性,小變形條件下可以應(yīng)用疊加原理，故知x方向的線應(yīng)變與正應(yīng)力之間的

19、關(guān)系為,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,同理有,58,至于切應(yīng)變與切應(yīng)力的關(guān)系，則根據(jù)前面所述可知，切應(yīng)變只與切應(yīng)變平面內(nèi)的切應(yīng)力相關(guān)，因而有,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,59,對于圖b所示的那種平面應(yīng)力狀態(tài)(sz0，txz=zx=0，tyz=tzy=0)，則胡克定律為,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,各向同性材料的三個彈性常數(shù)E，G，n之間存在如下關(guān)系：,60,當空間應(yīng)力狀態(tài)如下圖所示以主應(yīng)力表示時，廣義胡克定律為,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,。,對于各向同性材料由于主應(yīng)力作用下，在任何兩個主應(yīng)力構(gòu)成的平面內(nèi)不發(fā)生切應(yīng)變。因而沿主應(yīng)力s1，s2，s3方向的線應(yīng)變e1，e2，e3即為主應(yīng)變。,61,第七章應(yīng)力

20、狀態(tài)和強度理論,在平面應(yīng)力狀態(tài)下，若s30，則以主應(yīng)力表示的胡克定律為,對于各向同性材料由于主應(yīng)力作用下，在任何兩個主應(yīng)力構(gòu)成的平面內(nèi)不發(fā)生切應(yīng)變，因而主應(yīng)力方向的線應(yīng)變就是主應(yīng)變一點處兩個相互垂直方向間不發(fā)生切應(yīng)變時該兩個方向的線應(yīng)變。,62,.各向同性材料的體應(yīng)變,材料受力而變形時其體積的相對變化稱為體應(yīng)變q。,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,取三個邊長分別為a1，a2，a3的單元體，它在受力而變形后邊長分別為a1(1+e1)，a2(1+e2)，a3(1+e3)，故體應(yīng)變?yōu)?63,將上式展開并略去高階微量e1e2，e2e3，e3e1，e1e2e3，再利用各向同性材料的廣義胡克定律得,第七章應(yīng)力狀

21、態(tài)和強度理論,64,對于以最一般形式表達的空間應(yīng)力狀態(tài)，由于單元體每一個平面內(nèi)的切應(yīng)力引起的純剪切相當于這個平面內(nèi)的二向等值拉壓(s1t，s3t，s20），從而從上列體應(yīng)變公式中可見，它們引起的體應(yīng)變?yōu)榱恪?可見，對于各向同性材料，在一般空間應(yīng)力狀態(tài)下的體應(yīng)變也只與三個線應(yīng)變之和有關(guān)，即,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,65,例題7-2邊長a=0.1m的銅質(zhì)立方體置于剛性很大的鋼塊中的凹坑內(nèi)(圖a)，鋼塊與凹坑之間無間隙。試求當銅塊受均勻分布于頂面的豎向外加荷載F=300kN時，銅塊內(nèi)的主應(yīng)力，最大切應(yīng)力，以及銅塊的體應(yīng)變。已知銅的彈性模量E=100GPa，泊松比n0.34。銅塊與鋼塊上凹坑之間的摩

22、擦忽略不計。,(a),第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,66,解：1.銅塊水平截面上的壓應(yīng)力為,2.銅塊在sy作用下不能橫向膨脹，即ex=0，ez0，可見銅塊的x截面和z截面上必有sx和sz存在(圖b)。,(b),第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,67,按照廣義胡克定律及ex0和ey0的條件有方程：,從以上二個方程可見，當它們都得到滿足時顯然sxsz。于是解得,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,68,由于忽略銅塊與鋼塊上凹坑之間的摩擦，所以sx，sy，sz都是主應(yīng)力，且,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,3.銅塊內(nèi)的最大切應(yīng)力為,(b),69,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,4.銅塊的體應(yīng)變?yōu)?(b),70,思考:各向同性材料制成

23、的構(gòu)件內(nèi)一點處，三個主應(yīng)力為s130MPa，s210MPa，s3-40MPa?，F(xiàn)從該點處以平行于主應(yīng)力的截面取出邊長均為a的單元體，試問：(1)變形后該單元體的體積有無變化？(2)變形后該單元體的三個邊長之比有無變化？,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,71,7-5空間應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度,在第二章“軸向拉伸和壓縮”中已講到，應(yīng)變能密度(strainenergydensity)是指物體產(chǎn)生彈性變形時單位體積內(nèi)積蓄的應(yīng)變能，并導(dǎo)出了單向拉伸或壓縮應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度計算公式：,在第三章“扭轉(zhuǎn)”中講到了純剪切這種平面應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度：,在此基礎(chǔ)上，本章講述空間應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度。,第七章應(yīng)力

24、狀態(tài)和強度理論,72,空間應(yīng)力狀態(tài)下，受力物體內(nèi)一點處的三個主應(yīng)力有可能并非按同一比例由零增至各自的最后值，例如s1先由零增至最后的值，然后s2由零增至最后的值，而s3最后才由零增至最后的值。,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,但從能量守恒定律可知，彈性體內(nèi)的應(yīng)變能和應(yīng)變能密度不應(yīng)與應(yīng)力施加順序有關(guān)而只取決于應(yīng)力的最終值，因為否則按不同的加載和卸載順序會在彈性體內(nèi)累積應(yīng)變能，而這就違反了能量守恒定律。,73,把由主應(yīng)力和主應(yīng)變表達的廣義胡克定律代入上式，經(jīng)整理簡化后得,為了便于分析，這里按一點處三個主應(yīng)力按同一比例由零增至最后的值這種情況，即通常所稱的比例加載或簡單加載情形，來分析以主應(yīng)力顯示的空間應(yīng)

25、力狀態(tài)下，各向同性材料在線彈性且小變形條件下的應(yīng)變能密度。此時：,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,74,體積改變能密度和形狀改變能密度,圖a所示單元體在主應(yīng)力作用下不僅其體積會發(fā)生改變，而且其形狀(指單元體三個邊長之比)也會發(fā)生改變。這就表明，單元體內(nèi)的應(yīng)變能密度ve包含了體積改變能密度vv和形狀改變能密度vd兩部分，即vevvvd。,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,75,如果將圖a所示應(yīng)力狀態(tài)分解為圖b和圖c所示兩種應(yīng)力狀態(tài)，則可見：,.圖b所示三個主應(yīng)力都等于平均應(yīng)力sm(s1+s2+s3)/3的情況下，單元體只有體積改變而無形狀改變，其應(yīng)變能密度即是體積改變能密度，而形狀改變能密度為零。,第七章應(yīng)力

26、狀態(tài)和強度理論,76,.圖c所示三個主應(yīng)力分別為s1-sm，s2-sm，s3-sm的情況下，三個主應(yīng)力之和為零，單元體沒有體積改變而只有形狀改變，故該單元體的應(yīng)變能密度就是形狀改變能密度，而體積改變能密度為零。,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,77,由以上分析可知：,(1)圖a所示單元體的體積改變能密度就等于圖b所示單元體的應(yīng)變能密度，故對圖a所示單元體有,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,78,在下一節(jié)所講的強度理論中要運用形狀改變能密度。,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,(2)圖a所示單元體的形狀改變能密度就等于圖c所示單元體的應(yīng)變能密度，故對圖a所示單元體有,79,.基本變形下強度條件的建立,（拉壓）,（彎

27、曲）,（剪切）,（扭轉(zhuǎn)）,（正應(yīng)力強度條件）,（剪應(yīng)力強度條件）,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,式中,為極限應(yīng)力,為極限應(yīng)力,（通過試驗測定）,單向應(yīng)力狀態(tài),純剪應(yīng)力狀態(tài),7-6強度理論及其相當應(yīng)力,80,材料在單向應(yīng)力狀態(tài)下的強度(塑性材料的屈服極限，脆性材料的強度極限)總可通過拉伸試驗和壓縮試驗加以測定；材料在純剪切這種特定平面應(yīng)力狀態(tài)下的強度(剪切強度)可以通過例如圓筒的扭轉(zhuǎn)試驗來測定。,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,但是對于材料在一般平面應(yīng)力狀態(tài)下以及三向應(yīng)力狀態(tài)下的強度，則由于不等于零的主應(yīng)力可以有多種多樣的組合，所以不可能總是由試驗加以測定。因而需要通過對材料破壞現(xiàn)象的觀察和分析尋求材料強

28、度破壞的規(guī)律，提出關(guān)于材料發(fā)生強度破壞的力學(xué)因素的假設(shè)強度理論，以便利用單向拉伸、壓縮以及圓筒扭轉(zhuǎn)等試驗測得的強度來推斷復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下材料的強度。,.復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下強度條件的建立,81,材料的強度破壞有兩種類型；.在沒有明顯塑性變形情況下的脆性斷裂；.產(chǎn)生顯著塑性變形而喪失工作能力的塑性屈服。,工程中常用的強度理論按上述兩種破壞類型分為,.研究脆性斷裂力學(xué)因素的第一類強度理論，其中包括最大拉應(yīng)力理論和最大伸長線應(yīng)變理論；,.研究塑性屈服力學(xué)因素的第二類強度理論，其中包括最大切應(yīng)力理論和形狀改變能密度理論。,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,82,(1)最大拉應(yīng)力理論(第一強度理論)受鑄鐵等材料單向拉伸

29、時斷口為最大拉應(yīng)力作用面等現(xiàn)象的啟迪，第一強度理論認為，在任何應(yīng)力狀態(tài)下，當一點處三個主應(yīng)力中的拉伸主應(yīng)力s1達到該材料在單軸拉伸試驗或其它使材料發(fā)生脆性斷裂的試驗中測定的極限應(yīng)力su時就發(fā)生斷裂。,可見，第一強度理論關(guān)于脆性斷裂的判據(jù)為,而相應(yīng)的強度條件則是,其中，s為對應(yīng)于脆性斷裂的許用拉應(yīng)力，ssu/n，而n為安全因數(shù)。,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,83,局限性：,1、未考慮另外二個主應(yīng)力影響，,2、對沒有拉應(yīng)力的應(yīng)力狀態(tài)無法應(yīng)用，（單向壓縮、二向、三向壓縮）,實驗表明：此理論對于大部分脆性材料受拉應(yīng)力作用，結(jié)果與實驗相符合，如鑄鐵受拉、扭。,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,84,(2)最大伸長

30、線應(yīng)變理論(第二強度理論)從大理石等材料單軸壓縮時在伸長線應(yīng)變最大的橫向發(fā)生斷裂(斷裂面沿施加壓應(yīng)力的方向，即所謂縱向)來判斷，第二強度理論認為，在任何應(yīng)力狀態(tài)下，當一點處的最大伸長線應(yīng)變e1達到該材料在單軸拉伸試驗、單軸壓縮試驗或其它試驗中發(fā)生脆性斷裂時與斷裂面垂直的極限伸長應(yīng)變eu時就會發(fā)生斷裂。,可見，第二強度理論關(guān)于脆性斷裂的判據(jù)為,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,85,對應(yīng)于式中材料脆性斷裂的極限伸長線應(yīng)變eu，如果是由單軸拉伸試驗測定的(例如對鑄鐵等脆性金屬材料)，那么eusu/E；如果eu是由單軸壓縮試驗測定的(例如對石料和混凝土等非金屬材料)，那么eunsu/E；如果eu是在復(fù)雜應(yīng)力

31、狀態(tài)的試驗中測定的(低碳鋼在三軸拉伸應(yīng)力狀態(tài)下才會未經(jīng)屈服而發(fā)生脆性斷裂)，則eu與試驗中發(fā)生脆性斷裂時的三個主應(yīng)力均有聯(lián)系。,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,86,亦即,而相應(yīng)的強度條件為,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,如果eu是在單軸拉伸而發(fā)生脆性斷裂情況下測定的，則第二強度理論關(guān)于脆性斷裂的判據(jù)也可以便于運用的如下應(yīng)力形式表達：,實驗表明：此理論對于一拉一壓的二向應(yīng)力狀態(tài)的脆性材料的斷裂較符合，如鑄鐵受拉壓比第一強度理論更接近實際情況。,87,局限性：,1、第一強度理論不能解釋的問題，未能解決。,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,2、按照這一理論，似乎材料在二軸拉伸或三軸拉伸應(yīng)力狀態(tài)下反而比單軸拉伸應(yīng)力狀

32、態(tài)下不易斷裂，而這與實際情況往往不符，故工程上應(yīng)用較少。,88,(3)最大切應(yīng)力理論(第三強度理論)低碳鋼在單軸拉伸而屈服時出現(xiàn)滑移等現(xiàn)象，而滑移面又基本上是最大切應(yīng)力的作用面(45斜截面)。據(jù)此，第三強度理論認為，在任何應(yīng)力狀態(tài)下當一點處的最大切應(yīng)力tmax達到該材料在試驗中屈服時最大切應(yīng)力的極限值tu時就發(fā)生屈服。,第三強度理論的屈服判據(jù)為,對于由單軸拉伸試驗可測定屈服極限ss，從而有tuss/2的材料（例如低碳鋼），上列屈服判據(jù)可寫為,即,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,89,而相應(yīng)的強度條件則為,從上列屈服判據(jù)和強度條件可見，這一強度理論沒有考慮復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的中間主應(yīng)力s2對材料發(fā)生屈服的

33、影響；因此它與試驗結(jié)果會有一定誤差(但偏于安全)。,(4)形狀改變能密度理論(第四強度理論)注意到三向等值壓縮時材料不發(fā)生或很難發(fā)生屈服，第四強度理論認為，在任何應(yīng)力狀態(tài)下材料發(fā)生屈服是由于一點處的形狀改變能密度vd達到極限值vdu所致。,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,90,于是，第四強度理論的屈服判據(jù)為,對于由單軸拉伸試驗可測定屈服極限ss的材料，注意到試驗中s1ss，s2s30，而相應(yīng)的形狀改變能密度的極限值為,故屈服判據(jù)可寫為,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,91,此式中，s1，s2，s3是構(gòu)成危險點處的三個主應(yīng)力，相應(yīng)的強度條件則為,這個理論比第三強度理論更符合已有的一些平面應(yīng)力狀態(tài)下的試驗結(jié)果

34、，但在工程實踐中多半采用計算較為簡便的第三強度理論。,亦即,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,92,(5)強度理論的相當應(yīng)力,上述四個強度理論所建立的強度條件可統(tǒng)一寫作如下形式：,式中，sr是根據(jù)不同強度理論以危險點處主應(yīng)力表達的一個值，它相當于單軸拉伸應(yīng)力狀態(tài)下強度條件ss中的拉應(yīng)力s，通常稱sr為相當應(yīng)力。表7-1示出了前述四個強度理論的相當應(yīng)力表達式。,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,93,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,94,圖中所示的那種平面應(yīng)力狀態(tài)在工程上是常遇的，且相應(yīng)的材料多為塑性材料；為避免在校核強度時需先求主應(yīng)力的值等的麻煩，可如下得出可直接利用圖示應(yīng)力狀態(tài)下的s和t直接求sr3和sr4的公式

35、。,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,95,代入相當應(yīng)力表達式：,即得,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,將主應(yīng)力計算公式：,96,7-8各種強度理論的應(yīng)用,前述各種強度理論是根據(jù)下列條件下材料強度破壞的情況作出的假設(shè)，它們也是應(yīng)用這些強度理論的條件：常溫(室溫)，靜荷載(徐加荷載)，材料接近于均勻,連續(xù)和各向同性。,需要注意同一種材料其強度破壞的類型與應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)。,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,97,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,帶尖銳環(huán)形深切槽的低碳鋼試樣，由于切槽根部附近材料處于接近三向等值拉伸的應(yīng)力狀態(tài)而發(fā)生脆性斷裂。對于像低碳鋼一類的塑性材料，除了處于三向拉伸應(yīng)力狀態(tài)外，不會發(fā)生脆性斷裂。,98,圓柱形大

36、理石試樣，在軸向壓縮并利用液體徑向施壓時會產(chǎn)生顯著的塑性變形而失效。,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,99,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,三向等拉應(yīng)力狀態(tài)下（脆、塑）均發(fā)生脆性斷裂，故采用第一或第二強度理論。,三向等壓應(yīng)力狀態(tài)下（脆、塑）均發(fā)生塑性屈服，故采用第三或第四強度理論。,100,純剪切平面應(yīng)力狀態(tài)下許用應(yīng)力的推算,純剪切平面應(yīng)力狀態(tài)下,低碳鋼一類的塑性材料，純剪切和單軸拉伸應(yīng)力狀態(tài)下均發(fā)生塑性的屈服，故可用單軸拉伸許用應(yīng)力s按第三或第四強度理論推算許用切應(yīng)力t。按第三強度理論，純剪切應(yīng)力狀態(tài)下的強度條件為,可見,亦即,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,101,按第四強度理論，純剪切應(yīng)力狀態(tài)下的強度條件

37、為,可見,在大部分鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范中就是按t=0.577s然后取整數(shù)來確定低碳鋼的許用切應(yīng)力的。例如規(guī)定s170MPa，而t100MPa。,亦即,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,102,鑄鐵一類的脆性材料，純剪切(圓桿扭轉(zhuǎn))和單向拉伸應(yīng)力狀態(tài)下均發(fā)生脆性斷裂，故可用單軸拉伸許用應(yīng)力st按第一或第二強度理論推算許用切應(yīng)力t。按第一強度理論，純剪切應(yīng)力狀態(tài)下的強度條件為,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,可見,三向等拉應(yīng)力狀態(tài)下（脆、塑）均發(fā)生脆性斷裂，故采用第一或第二強度理論。,三向等壓應(yīng)力狀態(tài)下（脆、塑）均發(fā)生塑性屈服，故采用第三或第四強度理論。,103,按第二強度理論，純剪切應(yīng)力狀態(tài)下的強度條件為,因鑄鐵的

38、泊松比n0.25，于是有,可見,亦即,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,104,思考:試按第四強度理論分析比較某塑性材料在圖(a)和圖(b)兩種應(yīng)力狀態(tài)下的危險程度。已知s和t的數(shù)值相等。如果按第三強度理論分析，那么比較的結(jié)果又如何？,答案：按第四強度理論，(a),(b)兩種情況下同等危險。按第三強度理論則(a)較(b)危險。,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,105,例題試全面校核圖a,b,c所示焊接工字梁的強度，梁的自重不計。已知：梁的橫截面對于中性軸的慣性矩為Iz=88106mm4；半個橫截面對于中性軸的靜矩為S*z,max=338103mm3；梁的材料Q235鋼的許用應(yīng)力為s170MPa，t100MP

39、a。,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,106,解:1.按正應(yīng)力強度條件校核,此梁的彎矩圖如圖d，最大彎矩為Mmax80kNm。,梁的所有橫截面上正應(yīng)力的最大值在C截面上,下邊緣處：,它小于許用正應(yīng)力s，滿足正應(yīng)力強度條件。,(d),第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,107,2.按切應(yīng)力強度條件校核,此梁的剪力圖如圖e，最大剪力為FS,max=200kN。,梁的所有橫截面上切應(yīng)力的最大值在AC段各橫截面上的中性軸處：,它小于許用切應(yīng)力t,滿足切應(yīng)力強度條件。,(e),第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,108,3.按強度理論校核Mmax和FS,max同時所在橫截面上腹板與翼緣交界處的強度,在Mmax和FS,max同時存在的橫截面C稍稍偏左的橫截面上，該工字形截面腹板與翼緣交界點a處，正應(yīng)力和切應(yīng)力分別比較接近前面求得的smax和tmax，且該點處于平面應(yīng)力狀態(tài)，故需利用強度理論對該點進行強度校核。,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,109,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,110,點a處的主應(yīng)力為,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論,由于梁的材料Q235鋼為塑性材料，故用第三或第四強度理論校核a點的強度。,可見，按第三強度理論所得的相當應(yīng)力sr3178.1MPa已略超過許用正應(yīng)力s=170MPa，但超過不到5%，在工程計算中允許的范圍內(nèi)。按第四強度理論所得相當應(yīng)力sr4則小于許用正應(yīng)力s，滿足強度要求。,111,第七章應(yīng)力狀態(tài)和強