拉普拉斯變換及反變換

1、補充：拉普拉斯變換及反變換,拉氏變換對是求解常系數(shù)線性微分方程的工具。 把線性時不變系統(tǒng)的時域模型簡便地進行變換，經(jīng)求解再還原為時間函數(shù)。,概述,一、 拉普拉斯變換,（2）常用函數(shù)的拉普拉斯變換,（3）拉普拉斯變換的基本性質,二、 拉普拉斯反變換,內容,（1）定義,定義,拉氏變換積分上限說明：,一、拉普拉斯變換,F(s)=f(t),f(t)= -1F(s),表示為：,0,f(t) ，t 0,)稱為原函數(shù)，屬時域。 原函數(shù) 用小寫字母表示，如 f(t) ，i(t)，u(t),F(s) 稱為象函數(shù)，屬復頻域 。 象函數(shù)F(s) 用大寫字母表示 ,如F(s) ，I(s)，U(s)。,稱為復頻率 。,

2、f(t),F(S),L,L_,拉普拉斯變換對，記為：,2.2 常用函數(shù)的拉普拉斯變換,（單位階躍函數(shù)）,F(s)=,(指數(shù)函數(shù)),F(s)=,= 1,（單位脈沖函數(shù)）,（單位斜坡函數(shù)）,F(s)=Lf(t)=,（冪函數(shù)）,常用函數(shù)的拉普拉斯變換表,t,tn,e-at,te-at,tne-at,e-jwt,u(t),(t),n(t),1,sn,1/s,1/s2,例題 求圖示兩個函數(shù)的拉氏變換式,解 由于定義的拉氏變換積分上限是0，兩個函數(shù)的拉氏變換式相同,當取上式的反變換時，只能表示出,區(qū)間的函數(shù)式, -1,2.3 拉普拉斯變換的基本性質,一、線性性質,二、微分定理,初態(tài)為r(0-)及r/(0-

3、)，原始值為e(0-)=0，求r(t)的象函數(shù)。 解：設r(t)，e(t)均可進行拉氏變換即有E(S)=Le(t) , R(S)=Lr(t) 對方程兩端進行拉氏變換，應用線性組合與微分定理可得 S2R(s)-Sr(0-)-r/(0-)+a1SR(s)-r(0-)+a0R(s)=b1SE(s)-e(0-)+b0E(s) 整理合并得 （S2+a1S+a0）R(S)-(S+a1)r(0-)-r/(0-)=(Sb1+b0)E(s)-b10,例3 某動態(tài)電路的輸入輸出方程為,三、積分定理,例,四、時域平移,f(t),f(t-t0),平移,例1,例2,五、 復頻域平移,例3,六、初值定理和終值定理,初值定

4、理 若 f(t)=F(s)，且 f(t)在t = 0處無沖激， 則,終值定理 f(t)及其導數(shù)f (t)可進行拉氏變換，且,例1,例2,例3,例4：已知F(s)=,解：由初值定理得,，求f(0)和f(),由終值定理得,例 右圖所示電路中，電壓源為 ， 試用時域卷積定理求零狀態(tài)響應電流i(t)。,七、時域卷積性,i(t),R,L,解（1）寫出系統(tǒng)動力學方程,（2）作Laplace變換得,系統(tǒng)方框圖,零狀態(tài)響應電流,I(s)=Ui(s)H(s)= ui(t) H(s),=,（4）應用時域卷積定理,（3）求系統(tǒng)傳遞函數(shù),（5）作Laplace反變換得,八、S域卷積性,九、尺度變換性,拉普拉斯變換的基

5、本性質表,拉普拉斯變換的基本性質表,拉普拉斯變換的基本性質表,本講小結：,拉普拉斯變換定義,常用函數(shù)的拉普拉斯變換,拉普拉斯變換的基本性質,(1),利用,作業(yè),1、,寫出拉普拉斯變換定義式,2、,二、拉普拉斯反變換,1、由象函數(shù)求原函數(shù),（2）經(jīng)數(shù)學處理后查拉普拉斯變換表,f(t)=L-1F(s),象函數(shù)的一般形式：,2、將F(s)進行部分分式展開,等式兩邊同乘(s-s1),例1,解：,F(S),例2,（m = n，用長除法）,解：,F(S),（k1 , k2也是一對共軛復數(shù)）,假設只有兩個根,設,解：,則,歐拉公式,例1,法一：,部分分式法展開，求系數(shù)。,法二：,將F2(s)改寫為(s )2 + 2,F(S) =,等式兩邊同乘,例1,等式兩邊乘,得,例2,等式兩邊乘,（4）一般多重根情況,練習1:,求其原函數(shù),s,練習2:,因為mn，,故采用,同理可求,練習3:,（t0）,練習4:,2.5 用拉氏變換法求解常微分方程,n,作Laplace變換,例1:,1 (t0),0 (t0),例 如圖所示電路中，電壓源為 ， 求零狀態(tài)響應電流i(t)。,i(t),R,L,（1）寫出系統(tǒng)動力學方程,（2）作Laplace變換