幾個(gè)初等函數(shù)的麥克勞林公式

1、,二、幾個(gè)初等函數(shù)的麥克勞林公式,第三節(jié),一、泰勒公式的建立,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,三、泰勒公式的應(yīng)用, 應(yīng)用,用多項(xiàng)式近似表示函數(shù),理論分析,近似計(jì)算,泰勒 ( Taylor )公式,第三章,特點(diǎn):,一、泰勒公式的建立,以直代曲,在微分應(yīng)用中已知近似公式 :,需要解決的問題,如何提高精度 ?,如何估計(jì)誤差 ?,x 的一次多項(xiàng)式,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,1. 求 n 次近似多項(xiàng)式,要求:,故,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,令,則,2. 余項(xiàng)估計(jì),令,(稱為余項(xiàng)) ,則有,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,公式 稱為 的 n

2、階泰勒公式 .,公式 稱為n 階泰勒公式的拉格朗日余項(xiàng) .,泰勒中值定理 :,階的導(dǎo)數(shù) ,時(shí), 有,其中,則當(dāng),泰勒 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,公式 稱為n 階泰勒公式的佩亞諾(Peano) 余項(xiàng) .,在不需要余項(xiàng)的精確表達(dá)式時(shí) , 泰勒公式可寫為,注意到,* 可以證明:, 式成立,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,特例:,(1) 當(dāng) n = 0 時(shí), 泰勒公式變?yōu)?(2) 當(dāng) n = 1 時(shí), 泰勒公式變?yōu)?給出拉格朗日中值定理,可見,誤差,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,稱為麥克勞林（ Maclaurin ）公式 .,則有,在泰勒公式中若取,則有誤差估計(jì)式,若在公式成立的區(qū)間上,

3、麥克勞林 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,由此得近似公式,二、幾個(gè)初等函數(shù)的麥克勞林公式,其中,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,其中,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,類似可得,其中,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,其中,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,已知,其中,類似可得,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,三、泰勒公式的應(yīng)用,1. 在近似計(jì)算中的應(yīng)用,誤差,M 為,在包含 0 , x 的某區(qū)間上的上界.,需解問題的類型:,1) 已知 x 和誤差限 , 要求確定項(xiàng)數(shù) n ;,2) 已知項(xiàng)數(shù) n 和 x , 計(jì)算近似值并估計(jì)誤差;,3) 已知項(xiàng)數(shù) n 和誤差限 , 確定公式中 x

4、的適用范圍.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,已知,例1. 計(jì)算無理數(shù) e 的近似值 , 使誤差不超過,解:,令 x = 1 , 得,由于,欲使,由計(jì)算可知當(dāng) n = 9 時(shí)上式成立 ,因此,的麥克勞林公式為,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,說明: 注意舍入誤差對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響.,本例,若每項(xiàng)四舍五入到小數(shù)點(diǎn)后 6 位,則,各項(xiàng)舍入誤差之和不超過,總誤差為,這時(shí)得到的近似值不能保證誤差不超過,因此計(jì)算時(shí)中間結(jié)果應(yīng)比精度要求多取一位 .,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例2. 用近似公式,計(jì)算 cos x 的近似值,使其精確到 0.005 , 試確定 x 的適用范圍.,解:,近似公式

5、的誤差,令,解得,即當(dāng),時(shí), 由給定的近似公式計(jì)算的結(jié)果,能準(zhǔn)確到 0.005 .,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,2. 利用泰勒公式求極限,例3. 求,解:,由于,用洛必塔法則不方便 !,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,3. 利用泰勒公式證明不等式,例4. 證明,證:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,內(nèi)容小結(jié),1. 泰勒公式,其中余項(xiàng),當(dāng),時(shí)為麥克勞林公式 .,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,2. 常用函數(shù)的麥克勞林公式 ( P140 P142 ),3. 泰勒公式的應(yīng)用,(1) 近似計(jì)算,(3) 其他應(yīng)用,求極限 , 證明不等式 等.,(2) 利用多項(xiàng)式逼近函數(shù) ,例如 目錄

6、 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,泰勒多項(xiàng)式逼近,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,泰勒多項(xiàng)式逼近,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,思考與練習(xí),計(jì)算,解:,原式,第四節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,作業(yè) P143 1 ; 4 ; 5 ; 7 ; 8; 10(1),(2),泰勒 (1685 1731),英國(guó)數(shù)學(xué)家,他早期是牛頓學(xué)派最,優(yōu)秀的代表人物之一 ,重要著作有:,正的和反的增量方法(1715),線性透視論(1719),他在1712 年就得到了現(xiàn)代形式的泰勒公式 .,他是有限差分理論的奠基人 .,麥克勞林 (1698 1746),英國(guó)數(shù)學(xué)家,著作有:,流數(shù)論(1742),有機(jī)幾何學(xué)(1720),代數(shù)論(1742),在第一本著作中給出了后人以他的名字命名的,麥克勞林級(jí)數(shù) .,由題設(shè)對(duì),證:,備用題 1.,有,且,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,下式減上式 , 得,令,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,兩邊同乘 n !,= 整數(shù) +,假設(shè)