2018版高中數(shù)學(xué) 第2章 圓錐曲線與方程 2.2.2 橢圓的幾何性質(zhì)（一）學(xué)案 蘇教版選修2-1

1、2.2.2橢圓的幾何性質(zhì)(一)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.根據(jù)橢圓的方程研究曲線的幾何性質(zhì)，并正確地畫出它的圖形.2.根據(jù)幾何條件求出曲線方程，利用曲線的方程研究它的性質(zhì)，并能畫出圖象知識點一橢圓的簡單幾何性質(zhì)焦點的位置焦點在x軸上焦點在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程1(ab0)1(ab0)范圍axa，bybbxb，aya頂點A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b,0)，B2(b,0)軸長短軸長2b，長軸長2a焦點(，0)(0，)焦距F1F22對稱性對稱軸：x軸、y軸對稱中心：原點離心率e(0,1)知識點二離心率的作用當(dāng)橢圓的離心率越接近1，則橢圓越扁；當(dāng)橢

2、圓離心率越接近0，則橢圓越接近于圓題型一橢圓的簡單幾何性質(zhì)例1求橢圓25x2y225的長軸和短軸的長及焦點和頂點坐標(biāo)解把已知方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程為x21，則a5，b1.所以c2，因此，橢圓的長軸長2a10，短軸長2b2，兩個焦點分別是F1(0，2)，F(xiàn)2(0,2)，橢圓的四個頂點分別是A1(0，5)，A2(0,5)，B1(1,0)，B2(1,0)反思與感悟解決此類問題的方法是先將所給方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，然后根據(jù)方程判斷出橢圓的焦點在哪個坐標(biāo)軸上，再利用a，b，c之間的關(guān)系和定義，就可以得到橢圓相應(yīng)的幾何性質(zhì)跟蹤訓(xùn)練1求橢圓m2x24m2y21 (m0)的長軸長、短軸長、焦點坐標(biāo)、頂點坐標(biāo)和離心率解橢

3、圓的方程m2x24m2y21 (m0)可轉(zhuǎn)化為1.m2，橢圓的焦點在x軸上，并且長半軸長a，短半軸長b，半焦距長c.橢圓的長軸長2a，短軸長2b，焦點坐標(biāo)為(，0)，(，0)，頂點坐標(biāo)為(，0)，(，0)，(0，)，(0，)離心率e.題型二由橢圓的幾何性質(zhì)求方程例2 求滿足下列各條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)已知橢圓的中心在原點，焦點在y軸上，其離心率為，焦距為8；(2)已知橢圓的離心率為e，短軸長為8.解(1)由題意知，2c8，c4，e，a8，從而b2a2c248，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是1.(2)由e得ca，又2b8，a2b2c2，所以a2144，b280，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1或1.反思與感悟在求橢

4、圓方程時，要注意根據(jù)題目條件判斷焦點所在的坐標(biāo)軸，從而確定方程的形式；若不能確定焦點所在的坐標(biāo)軸，則應(yīng)進行討論，然后列方程(組)確定a，b，這就是我們常用的待定系數(shù)法跟蹤訓(xùn)練2橢圓過點(3,0)，離心率e，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解所求橢圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，又橢圓過點(3,0)，點(3,0)為橢圓的一個頂點當(dāng)橢圓的焦點在x軸上時，(3,0)為右頂點，則a3，e，ca3，b2a2c232()2963，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.當(dāng)橢圓的焦點在y軸上時，(3,0)為右頂點，則b3，e，ca，b2a2c2a2a2a2，a23b227，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.綜上可知，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是1或1.題型三求橢圓的離心率例3如圖

5、所示，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左，右焦點，橢圓上的點M的橫坐標(biāo)等于右焦點的橫坐標(biāo)，其縱坐標(biāo)等于短半軸長的，求橢圓的離心率解設(shè)橢圓的長半軸長、短半軸長、半焦距長分別為a，b，c.則焦點為F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)，M點的坐標(biāo)為(c，b)，且MF1F2為直角三角形在RtMF1F2中，F(xiàn)1FMFMF，即4c2b2MF.而MF1MF2 b2a，整理得3c23a22ab.又c2a2b2，所以3b2a.所以.所以e21，所以e.反思與感悟求橢圓離心率的方法：直接求出a和c，再求e，也可利用e 求解若a和c不能直接求出，則看是否可利用條件得到a和c的齊次等式關(guān)系，然后整理成的形式，并將其視為整體，就變成了

6、關(guān)于離心率e的方程，進而求解跟蹤訓(xùn)練3已知橢圓C以坐標(biāo)軸為對稱軸，長軸長是短軸長的5倍，且經(jīng)過點A(5,0)，求橢圓 C的離心率解若焦點在x軸上，得解得c2，e；若焦點在y軸上，得得c10，e.故橢圓C的離心率為.1橢圓以兩條坐標(biāo)軸為對稱軸，一個頂點是(0,13)，另一個頂點是(10,0)，則焦點坐標(biāo)為_答案(0，)解析由題意知橢圓的焦點在y軸上，且a13，b10，則c，故焦點坐標(biāo)為(0，) 2. 如圖，直線l：x2y20過橢圓的左焦點F1和一個頂點B，該橢圓的離心率為_答案解析x2y20，yx1，而，即 ，.3若一個橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是_答案解析由題意有，2a2c2(2b)，即ac2b，又c2a2b2，消去b整理得5c23a22ac，即5e22e30，e或e1(舍去)4若焦點在y軸上的橢圓1的離心率為，則m的值為_答案解析焦點在y軸上，0m2，a，b，c，又e，解得m.5橢圓25x29y2225的長軸長，短軸長，離心率依次為_答案10,6，解析由題意，將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)式為1，由此可得a5，b3，c4，2a10,2b6，e.1.已知橢圓的方程討論性質(zhì)時，若不是標(biāo)準(zhǔn)形式，應(yīng)先化成標(biāo)準(zhǔn)形式2根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，可以求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)