2018版高中數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何 3.2 第3課時(shí) 空間向量與空間角學(xué)案 新人教A版選修2-1

1、會(huì)話3空間矢量和空間角度1.用矢量法求直線、直線、面的角度。(重點(diǎn)，困難)2.準(zhǔn)確區(qū)分矢量角度與所需直線角度和面角度之間的關(guān)系。(錯(cuò)誤的點(diǎn))基礎(chǔ)初探教材整理空間角的矢量句法。閱讀教材P106P110的內(nèi)容，完成以下問(wèn)題。角度分類向量球面法范圍由兩條雙線L1和L2形成的角度如果將L1和L2的方向向量設(shè)定為a，b，則cos=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _=_ _ _ _ _ _ _ _ _線性l和平面的角度如果將l的方向向量設(shè)定為a，將平面的法線向量設(shè)定為n，則sin =_ _ _ _ _ _ _ _ _=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _二面角 l 的平面角度

2、平面，的法線向量為n1，N2時(shí)| cos|=_ _ _ _ _ _ _=0，回答 | cos a，b | | cos a，n | | cos n1，N2 |已知向量m，n分別是線l和平面的方向向量，法線向量，如果cos =-，則l和的角度為()A.30 B.60 C.150 D.120如果將解析 L和的角度設(shè)定為，則必須選取sin =| cos m，n，n |=，=60，b?；卮?b組合作求雙線的角度。如圖3220所示，在金字塔VABC中，頂點(diǎn)c位于空間正交坐標(biāo)系的原點(diǎn)，頂點(diǎn)a、b和v分別位于x、y和z軸上，d是線段AB的中點(diǎn)，AC=BC=2，VDC=.圖3220精彩的電話 AC=BC=2，D

3、是AB的中點(diǎn)所以C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，D(1，1，0)。=為時(shí)，RtVCD上的CD=， v (0，0，)，=(-2，0，0)，=(1，1，-)，cos =-。異質(zhì)直線AC和VD角度的馀弦為：1.在幾何上求雙線的角度時(shí)，需要制作平行線，將雙線的角度轉(zhuǎn)換為平面角度，然后求解三角形的過(guò)程相當(dāng)復(fù)雜。用矢量法求雙線的角度，可以避免復(fù)雜的幾何和論證過(guò)程。只需計(jì)算相應(yīng)的矢量。2.兩個(gè)二面角的范圍是，兩個(gè)矢量角度的范圍是0，因此必須有cos =| cos |，解釋時(shí)要特別注意。再練習(xí)一個(gè)問(wèn)題1.在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，它被稱為DA=DC=4，DD1=3，求出反面線A

4、1B和B1C夾角的馀弦。使用d作為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為X、Y和Z軸設(shè)置空間直角坐標(biāo)系(具有DA、DC和DD1牙齒的直線)。如圖所示，A1(4，0，3)、B (4，4，0)、B(4，4，0)獲得=(0，4，-3)，=(-4，0，-3)。如果的角度設(shè)定為，則cos=、所以?shī)A角的馀弦，也就是說(shuō)，雙面線A1B和B1C的角度的馀弦是。求仙面角如圖3221所示，在金字塔PABC中，PA-平面ABC、AB-AC、PA=AC=AB、N是AB的最后一點(diǎn)，AB=4an、M、S分別是PB、BC的中點(diǎn)圖3221(1)證明書：cmsn；道學(xué)號(hào)：(2)找到SN和平面CMN之間的角度大小。漂亮的撥號(hào) (1)如何設(shè)置坐標(biāo)系？(2

5、)滿足向量和什么關(guān)系時(shí)，CMSN牙齒成立嗎？(3)的坐標(biāo)是多少？如何查找平面CMN的法向矢量？平面CMN與法線向量的角度是SN與平面CMN的角度嗎？自適應(yīng)解 PA=1，A作為原點(diǎn)，光線AB、AC、AP分別設(shè)置X、Y和Z軸設(shè)置正空間直角坐標(biāo)系(如圖所示)。P(0，0，1)、C(0，1，0)、B(2，0，0)、an=ab、m和s分別是PB和BC的中點(diǎn)。n、m、s、(1)證明：=，=，=0，所以cmsn。將(2)=，a=(x，y，z)設(shè)定為平面CMN的法線向量。a=0，a=0。那么采用Y=1，a=(2，1，-2)。Cos a，=-。=。因此，SN和平面CMN的角度為-=。1.在牙齒主題圖中，善意方向

6、向量與平面的法線向量a之間的角度不是所需的線面角度，而是sin =| cos ，a |。2.如果線L和平面的角度為，則使用法向矢量計(jì)算的步驟如下：再練習(xí)一個(gè)問(wèn)題2.在直三角棱鏡ABCA1B1C1中，ab=AC=aa1=2，BAC=90，e，f是C1C，BC的中點(diǎn)。嘗試A1B和平面AEF之間角度的正弦值。道學(xué)號(hào)：圖3222以a為原點(diǎn)設(shè)置空間正交坐標(biāo)系，如圖所示。A(0，0，0)、A1(0，0，2)、B(2，0，0)、E(0，2，1)、f (1，1，賢德如果A=1，則得到n=(1，-1，2)。將A1B和平面AEF之間的角度設(shè)定為。因此，sin =| cos n，|=，即A1B和平面AEF之間角度的

7、正弦值為.共同研究型探索求二面角探討用矢量求二面角大小的方法。提示在輕松創(chuàng)建空間直角坐標(biāo)系(具有特殊的位置關(guān)系)的情況下，用矢量方法求解二面角就不需要二面角了。只要平面的法向矢量，就可以通過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算得到。有時(shí)，兩個(gè)法線向量的角度大小是二面角的大小(相等或互補(bǔ))，但二面角是二面角如圖3223所示，在直三角棱鏡ABCA1B1C1中，D，E分別是AB，BB1的中點(diǎn)，AA1=AC=CB=AB。圖3223(1)證明：BC1平面A1CD；(2)求二面角DA1CE的正弦。精彩的一點(diǎn) (1)你能用平行于線的判定定理解答嗎？(2)如何設(shè)置空間正交坐標(biāo)系，以確定平面DA1C和平面A1CE的法向矢量，并使用公式求

8、出二面角的正弦值？自主回答 (1)證明：AC1連接，如果將A1C交給點(diǎn)F，則F是AC1的中點(diǎn)。另外，D是AB的重點(diǎn)，如果連接DF，則為BC1-DF。Df平面A1CD、BC1平面A1CD、所以BC1平面A1CD。(2) AC=CB=ab，獲得ACBC。設(shè)置空間正交坐標(biāo)系Cxyz，其中c作為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別是x、y和z軸的正方向，如圖所示。設(shè)定ca=2會(huì)設(shè)定D(1，1，0)、E(0，2，1)將N=(x1，y1，Z1)設(shè)定為平面A1CD的法線向量。也就是說(shuō)所需的n=(1，-1，-1)。同樣，將m=(x2，y2，z2)設(shè)定為平面A1CE的法線向量。也就是說(shuō)所需的m=(2，1，-2)。所以cos =

9、，所以sin =。也就是說(shuō)，二面角DA1CE的正弦值是。利用矢量方法求出二面角的大小，可以避免二面角的平面二面角的困難，通過(guò)以下解決步驟轉(zhuǎn)換為計(jì)算二面角的平面法線向量的角度問(wèn)題。(1)建立空間直角座標(biāo)系統(tǒng)。(2)分別獲得具有二面角的兩個(gè)半平面的平面的法線矢量。(3)尋找兩個(gè)法線向量的角度。(4)判斷二面角的平面角度是預(yù)壓印還是鈍壓印。(5)確定二面角的大小。再練習(xí)一個(gè)問(wèn)題在圖3224中，空間直角坐標(biāo)系Cxyz中，AB求出半圓O的直徑，AC=BC=2，DC=EB，DC=EB，Tan=EAB=，二面角DCEB的馀弦。道學(xué)號(hào)：圖3224解釋問(wèn)題表明：ab=4，tan eab=，CD=EB=1，d(0

10、，0，1)，e (0，2，1)，E(0將平面DAE的法線向量設(shè)定為n1=(x1，y1，Z1)。也就是說(shuō)y1=0，x1=1時(shí)，Z1=2，平面DAE的一個(gè)法線向量為n1=(1，0，2)。將平面ABE的法線向量設(shè)定為N2=(x2，y2，z2)。也就是說(shuō)z2=0，x2=1，y2=1，平面ABE的法線向量之一是N2=(1，1，0)。cos =。在圖中，可以通過(guò)鈍角確定二面角DAEB。二面角DAEB的馀弦為-。1.在立方體ABCDA1B1C1D1上，e是C1C的中點(diǎn)，線BE和平面B1BD角度的正弦值為()A.-b.c.-D .設(shè)定空間直角座標(biāo)系統(tǒng)，將正方形的邊設(shè)定為2、D(0，0，0)、B(2，2，0)、

11、B1(2，2，2)、e (0)，如圖所示=(-2，-2，0)，=(0，0，2)，=(-2，0，1)。將平面B1BD的法線向量設(shè)定為n=(x，y，z)。n、n、如果Y=1，則n=(-1，1，0)。cos =，如果將線BE和平面B1BD的角度設(shè)定為，則sin =| cos |=?；卮?b2.在圖3225中，如果正方形柱ABCDA1B1C1D1上的AA1=2AB，則反面線A1B和AD1的角度的馀弦為()道學(xué)號(hào)：圖3225A.b.c.d .將d設(shè)定為座標(biāo)原點(diǎn)，將DA，DC，DD1牙齒的線設(shè)定為X、Y和Z軸，設(shè)定空間直角座標(biāo)系統(tǒng)Dxyz(插圖)，將AB=1設(shè)定為。B(1，1，0)、A1(1，0，2)、A

12、(1，0，0)、D1(0，0，2)、=(0，1)Cos =-，雙面線A1B和AD1牙齒的角度的馀弦為。回答 d3.二面角的兩個(gè)面都與二面角垂直的兩個(gè)向量分別為(0，-1，3)、(2，2，4)，二面角的馀弦為_ _ _ _ _ _ _。求解 a=(0，-1，3)，b=(2，2，4)，cos =，并且兩個(gè)向量的角度等于或互補(bǔ)于二面角的馀弦回答4.在圖3226中，在金字塔PABQ中，Pb平面ABQ，ba=BP=BQ，d，c，e，f分別是AQ，BQ，AP，BP的中點(diǎn)，AQ=；圖3226(1)認(rèn)證：abGH；(2)找到二面角DGHE的馀弦。解釋 (1)證明：D、C、E和F分別是AQ、BQ、AP和BP的重點(diǎn)，因此EF-AB、DC-AB和EF-DC。Ef平面PCD、DC平面PCD、所以ef平面PCD。EF平面EFQ，平面EFQ平面PCD=GH所以ef-GH。另外，因?yàn)閑f-ab，ab-GH。(2)在ABQ中，AQ=2bd，ad=dq，所以ABQ=90。因?yàn)镻B平面ABQ所以BA，BQ，BP是兩個(gè)垂直的。設(shè)置空間正交坐標(biāo)系，將B點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)，將BA、BQ和BP所在的直線作為X、Y和Z軸，如圖所示。設(shè)定Ba=BP