2018版高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 2.2.2 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和 第1課時(shí) 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和學(xué)案 新人教B版必修5

1、第1課時(shí)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和1.了解等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程.(難點(diǎn)),2.掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及其應(yīng)用.(重點(diǎn)),3.能靈活應(yīng)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)解題.(難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn))基礎(chǔ)初探教材整理等差數(shù)列的前n項(xiàng)和閱讀教材P39第二自然段P39例1，完成下列問題.1.數(shù)列的前n項(xiàng)和的概念一般地，稱a1a2an為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，用Sn表示，即Sna1a2an.2.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式已知量首項(xiàng)、末項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)首項(xiàng)、公差與項(xiàng)數(shù)求和公式SnSnna1d1.設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知a23，a611，則S7等于()A.13B.35C.49D.63【解析】a2a6a1a714，S749.【

2、答案】C2.等差數(shù)列an中，a11，d1，則Sn_.【解析】因?yàn)閍11，d1，所以Snn1.【答案】3.在等差數(shù)列an中，S10120，那么a1a10_.【解析】由S10120，得a1a1024.【答案】244.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn22n，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式an_.【解析】當(dāng)n1時(shí)，a1S13.當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1n22n(n1)22(n1)2n1.因?yàn)閚1時(shí)，a13，也滿足an2n1，所以an2n1. 【答案】2n1小組合作型有關(guān)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的基本運(yùn)算已知等差數(shù)列an中，(1)a1，S420，求S6；(2)a1，d，Sn15，求n及an；(3)a11，an512，Sn1

3、022，求d.【精彩點(diǎn)撥】利用等差數(shù)列求和公式的兩種形式求解.【自主解答】(1)S44a1d4a16d26d20，d3.故S66a1d6a115d315d48.(2)Snn15，整理得n27n600，解得n12或n5(舍去)，a12(121)4.(3)由Sn1 022，解得n4.又由ana1(n1)d，即5121(41)d，解得d171.a1，n，d為等差數(shù)列的三個(gè)基本量，an和Sn都可以用這三個(gè)基本量來表示，五個(gè)量a1，n，d，an，Sn中可知三求二.一般是通過通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式聯(lián)立方程(組)求解，這種方法是解決數(shù)列問題的基本方法.在具體求解過程中，應(yīng)注意已知與未知的聯(lián)系及整體思想的運(yùn)用

4、.再練一題1.已知a610，S55，求a8和S10.【解】解得a15，d3.a8a62d102316，S1010a1d10(5)59385.等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的實(shí)際應(yīng)用某抗洪指揮部接到預(yù)報(bào)，24小時(shí)后有一洪峰到達(dá)，為確保安全，指揮部決定在洪峰到來之前臨時(shí)筑一道堤壩作為第二道防線.經(jīng)計(jì)算，除現(xiàn)有的參戰(zhàn)軍民連續(xù)奮戰(zhàn)外，還需調(diào)用20臺(tái)同型號(hào)翻斗車，平均每輛車工作24小時(shí).從各地緊急抽調(diào)的同型號(hào)翻斗車目前只有一輛投入使用，每隔20分鐘能有一輛翻斗車到達(dá)，一共可調(diào)集25輛，那么在24小時(shí)內(nèi)能否構(gòu)筑成第二道防線？【精彩點(diǎn)撥】因?yàn)槊扛?0分鐘到達(dá)一輛車，所以每輛車的工作量構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列.工作量的總和若大

5、于欲完成的工作量，則說明24小時(shí)內(nèi)可完成第二道防線工程.【自主解答】從第一輛車投入工作算起各車工作時(shí)間(單位：小時(shí))依次設(shè)為a1，a2，a25.由題意可知，此數(shù)列為等差數(shù)列，且a124，公差d.25輛翻斗車完成的工作量為：a1a2a2525242512500，而需要完成的工作量為2420480.500480，在24小時(shí)內(nèi)能構(gòu)筑成第二道防線.1.本題屬于與等差數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)的應(yīng)用題，其關(guān)鍵在于構(gòu)造合適的等差數(shù)列.2.遇到與正整數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題時(shí)，可以考慮與數(shù)列知識(shí)聯(lián)系，建立數(shù)列模型，具體解決要注意以下兩點(diǎn)：(1)抓住實(shí)際問題的特征，明確是什么類型的數(shù)列模型.(2)深入分析題意，確定是求通項(xiàng)公式a

6、n，或是求前n項(xiàng)和Sn，還是求項(xiàng)數(shù)n.再練一題2.植樹節(jié)某班20名同學(xué)在一段直線公路一側(cè)植樹，每人植樹一棵，相鄰兩棵樹相距10米，開始時(shí)需將樹苗集中放置在某一棵樹坑旁邊，使每位同學(xué)從各自樹坑出發(fā)前來領(lǐng)取樹苗往返所走的路程總和最小，此最小值為_米. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：】【解析】假設(shè)20位同學(xué)是1號(hào)到20號(hào)依次排列，使每位同學(xué)從各自樹坑出發(fā)前來領(lǐng)取樹苗往返所走的路程總和最小，則樹苗需放在第10或第11號(hào)樹坑旁，此時(shí)兩側(cè)的同學(xué)所走的路程分別組成以20為首項(xiàng)，20為公差的等差數(shù)列，故所有同學(xué)往返的總路程為S920201020202 000(米).【答案】2 000探究共研型等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)探究1如圖

7、222，某倉(cāng)庫(kù)堆放的一堆鋼管，最上面的一層有4根鋼管，下面的每一層都比上一層多一根，最下面的一層有9根.假設(shè)在這堆鋼管旁邊再倒放上同樣一堆鋼管，如圖所示，則這樣共有多少鋼管？原來有多少根鋼管？圖222【提示】在原來放置的鋼管中，從最上面一層開始，往下每一層的鋼管數(shù)分別記為a1，a2，a6，則數(shù)列an構(gòu)成一個(gè)以a14為首項(xiàng)，以d1為公差的等差數(shù)列，設(shè)此時(shí)鋼管總數(shù)為S6，現(xiàn)再倒放上同樣一堆鋼管，則這堆鋼管每層有a1a6a2a5a3a4a6a113(根)，此時(shí)鋼管總數(shù)為2S6(a1a6)613678(根)，原來鋼管總數(shù)為S6639(根).探究2通過探究1，你能推導(dǎo)出等差數(shù)列an的求和公式嗎？【提示】

8、Sna1a2an，把數(shù)列an各項(xiàng)順序倒過來相加得Snanan1a2a1，得2Sn(a1an)(a2an1)(ana1)n(a1an)，則Sn.探究3你能用a1，d，n表示探究2中的公式嗎？該結(jié)果與Sn有什么區(qū)別與聯(lián)系.【提示】Sna1n，即Sna1n.該公式是由探究2中的公式推導(dǎo)得出，都是用來求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，在求解時(shí)都可以“知三求一”，求Sn時(shí)，都需知a1，n，不同在于前者還需知an，后者還需知d.(1)已知等差數(shù)列an中，若a1 0091，求S2 017；(2)已知an，bn均為等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，且，求.【精彩點(diǎn)撥】由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及通項(xiàng)公式列方程組求解，或

9、結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)求解.【自主解答】(1)法一：a1009a11008d1，S20172017a1d2 017(a11 008d)2017.法二：a1009，S20172 0172017a10092017.(2)法一：.法二：，設(shè)Sn2n22n，Tnn23n，a5S5S420，b5T5T412，.1.若an是等差數(shù)列，則Snnna中(a中為a1與an的等差中項(xiàng)).2.若an，bn均為等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，則.再練一題3.在等差數(shù)列an中.已知a3a1540，求S17.【解】法一：a1a17a3a15，S17340.法二：a3a152a116d40，a18d20，S1717a1d

10、17(a18d)1720340.法三：a3a152a940，a920，S1717a9340.1.等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a12，S312，則a6等于()A.8 B.10 C.12 D.14【解析】由題意知a12，由S33a1d12，解得d2，所以a6a15d25212，故選C.【答案】C2.設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若a1a3a53，則S5()A.5 B.7 C.9 D.11【解析】法一：a1a52a3，a1a3a53a33，a31，S55a35，故選A.法二：a1a3a5a1(a12d)(a14d)3a16d3，a12d1，S55a1d5(a12d)5，故選A.【答案】A3.在一個(gè)等差數(shù)列中，已知a1010，則S19_.【解析】S1919a10190.【答案】1904.記等差數(shù)列前n項(xiàng)和為Sn，若S24，S420，則該數(shù)列的公差d_