2019屆高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 9.9 圓錐曲線的綜合問題 第2課時學(xué)案

1、第2課時定點、定值、探索性問題題型一定點問題典例 (2017全國)已知橢圓C：1(ab0)，四點P1(1,1)，P2(0,1)，P3，P4中恰有三點在橢圓C上(1)求C的方程；(2)設(shè)直線l不經(jīng)過P2點且與C相交于A，B兩點若直線P2A與直線P2B的斜率的和為1，證明：l過定點(1)解由于P3，P4兩點關(guān)于y軸對稱，故由題設(shè)知橢圓C經(jīng)過P3，P4兩點又由知，橢圓C不經(jīng)過點P1，所以點P2在橢圓C上因此解得故橢圓C的方程為y21.(2)證明設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2.如果l與x軸垂直，設(shè)l：xt，由題設(shè)知t0，且|t|0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1

2、x2.而k1k2.由題設(shè)知k1k21，故(2k1)x1x2(m1)(x1x2)0.即(2k1)(m1)0，解得k.當且僅當m1時，0，于是l：yxm，即y1(x2)，所以l過定點(2，1)思維升華 圓錐曲線中定點問題的兩種解法(1)引進參數(shù)法：引進動點的坐標或動線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時沒有關(guān)系，找到定點(2)特殊到一般法：根據(jù)動點或動線的特殊情況探索出定點，再證明該定點與變量無關(guān)跟蹤訓(xùn)練 (2017長沙聯(lián)考)已知橢圓1(a0，b0)過點(0,1)，其長軸、焦距和短軸的長的平方依次成等差數(shù)列直線l與x軸正半軸和y軸分別交于點Q，P，與橢圓分別交于點M，N，各點均不重合且

3、滿足1，2.(1)求橢圓的標準方程；(2)若123，試證明：直線l過定點并求此定點(1)解設(shè)橢圓的焦距為2c，由題意知b1，且(2a)2(2b)22(2c)2，又a2b2c2，a23.橢圓的方程為y21.(2)證明由題意設(shè)P(0，m)，Q(x0,0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，設(shè)l方程為xt(ym)，由1知(x1，y1m)1(x0x1，y1)，y1my11，由題意y10，11.同理由2知21.123，y1y2m(y1y2)0，聯(lián)立得(t23)y22mt2yt2m230，由題意知4m2t44(t23)(t2m23)0，且有y1y2，y1y2，代入得t2m232m2t20，(mt)21，

4、由題意mtb0)的離心率為，且過點A(2,1)(1)求橢圓C的方程；(2)若P，Q是橢圓C上的兩個動點，且使PAQ的角平分線總垂直于x軸，試判斷直線PQ的斜率是否為定值？若是，求出該值；若不是，請說明理由解(1)因為橢圓C的離心率為，且過點A(2,1)，所以1，又a2b2c2，所以a28，b22，所以橢圓C的方程為1.(2)方法一因為PAQ的角平分線總垂直于x軸，所以PA與AQ所在的直線關(guān)于直線x2對稱設(shè)直線PA的斜率為k，則直線AQ的斜率為k.所以直線PA的方程為y1k(x2)，直線AQ的方程為y1k(x2)設(shè)點P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，由得(14k2)x2(16k28k)x16k

5、216k40.因為點A(2,1)在橢圓C上，所以x2是方程的一個根，則2xP，所以xP.同理xQ.所以xPxQ，xPxQ.又yPyQk(xPxQ4)，所以直線PQ的斜率kPQ，所以直線PQ的斜率為定值，該值為.方法二設(shè)直線PQ的方程為ykxb，點P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則y1kx1b，y2kx2b，直線PA的斜率kPA，直線QA的斜率kQA.因為PAQ的角平分線總垂直于x軸，所以PA與AQ所在的直線關(guān)于直線x2對稱，所以kPAkQA，即，化簡得x1y2x2y1(x1x2)2(y1y2)40.把y1kx1b，y2kx2b代入上式，化簡得2kx1x2(b12k)(x1x2)4b40.由

6、得(4k21)x28kbx4b280，則x1x2，x1x2，代入，得4b40，整理得(2k1)(b2k1)0，所以k或b12k.若b12k，可得方程的一個根為2，不符合題意所以直線PQ的斜率為定值，該值為.思維升華 圓錐曲線中的定值問題的常見類型及解題策略(1)求代數(shù)式為定值依題意設(shè)條件，得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式，代入代數(shù)式、化簡即可得出定值(2)求點到直線的距離為定值利用點到直線的距離公式得出距離的解析式，再利用題設(shè)條件化簡、變形求得(3)求某線段長度為定值利用長度公式求得解析式，再依據(jù)條件對解析式進行化簡、變形即可求得跟蹤訓(xùn)練 如圖，在平面直角坐標系xOy中，點F，直線l：x，點P在直線

7、l上移動，R是線段PF與y軸的交點，RQFP，PQl.(1)求動點Q的軌跡C的方程；(2)設(shè)圓M過A(1,0)，且圓心M在曲線C上，TS是圓M在y軸上截得的弦，當M運動時，弦長|TS|是否為定值？請說明理由解(1)依題意知，點R是線段FP的中點，且RQFP，RQ是線段FP的垂直平分線點Q在線段FP的垂直平分線上，|PQ|QF|，又|PQ|是點Q到直線l的距離，故動點Q的軌跡是以F為焦點，l為準線的拋物線，其方程為y22x(x0)(2)弦長|TS|為定值理由如下：取曲線C上點M(x0，y0)，M到y(tǒng)軸的距離為d|x0|x0，圓的半徑r|MA|，則|TS|22，點M在曲線C上，x0，|TS|22，

8、是定值題型三探索性問題典例 在平面直角坐標系xOy中，曲線C：y與直線l：ykxa(a0)交于M，N兩點，(1)當k0時，分別求C在點M和N處的切線方程；(2)y軸上是否存在點P，使得當k變動時，總有OPMOPN？說明理由解(1)由題設(shè)可得M(2，a)，N(2，a)，或M(2，a)，N(2，a)又y，故y在x2處的導(dǎo)數(shù)值為，C在點(2，a)處的切線方程為ya(x2)，即xya0.y在x2處的導(dǎo)數(shù)值為，C在點(2，a)處的切線方程為ya(x2)，即xya0.故所求切線方程為xya0和xya0.(2)存在符合題意的點，證明如下：設(shè)P(0，b)為符合題意的點，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直線

9、PM，PN的斜率分別為k1，k2.將ykxa代入C的方程得x24kx4a0.故x1x24k，x1x24a.從而k1k2.當ba時，有k1k20，則直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補，故OPMOPN，所以點p(0，a)符合題意思維升華 解決探索性問題的注意事項探索性問題，先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確則存在，若結(jié)論不正確則不存在(1)當條件和結(jié)論不唯一時要分類討論；(2)當給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時，先假設(shè)成立，再推出條件；(3)當條件和結(jié)論都不知，按常規(guī)方法解題很難時，要開放思維，采取另外合適的方法跟蹤訓(xùn)練 (2018唐山模擬)已知橢圓E：1的右焦點為F(c,0)且abc0

10、，設(shè)短軸的一個端點為D，原點O到直線DF的距離為，過原點和x軸不重合的直線與橢圓E相交于C，G兩點，且|4.(1)求橢圓E的方程；(2)是否存在過點P(2,1)的直線l與橢圓E相交于不同的兩點A，B且使得24成立？若存在，試求出直線l的方程；若不存在，請說明理由解(1)由橢圓的對稱性知|2a4，a2.又原點O到直線DF的距離為，bc，又a2b2c24，abc0，b，c1.故橢圓E的方程為1.(2)當直線l與x軸垂直時不滿足條件故可設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線l的方程為yk(x2)1，代入橢圓方程得(34k2)x28k(2k1)x16k216k80，x1x2，x1x2，32(6k3

11、)0，k.24，即4(x12)(x22)(y11)(y21)5，4(x12)(x22)(1k2)5，即4x1x22(x1x2)4(1k2)5，4(1k2)45，解得k，k不符合題意，舍去存在滿足條件的直線l，其方程為yx.設(shè)而不求，整體代換典例 (12分)橢圓C：1(ab0)的左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2，離心率為，過F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1.(1)求橢圓C的方程；(2)點P是橢圓C上除長軸端點外的任一點，連接PF1，PF2，設(shè)F1PF2的角平分線PM交C的長軸于點M(m,0)，求m的取值范圍；(3)在(2)的條件下，過點P作斜率為k的直線l，使得l與橢圓C有且只有一個公共

12、點，設(shè)直線PF1，PF2的斜率分別為k1，k2，若k20，證明為定值，并求出這個定值思想方法指導(dǎo) 對題目涉及的變量巧妙地引進參數(shù)(如設(shè)動點坐標、動直線方程等)，利用題目的條件和圓錐曲線方程組成二元二次方程組，再化為一元二次方程，從而利用根與系數(shù)的關(guān)系進行整體代換，達到“設(shè)而不求，減少計算”的效果，直接得定值規(guī)范解答解(1)由于c2a2b2，將xc代入橢圓方程1，得y.由題意知1，即a2b2.又e，所以a2，b1.所以橢圓C的方程為y21.2分(2)設(shè)P(x0，y0)(y00)，又F1(，0)，F(xiàn)2(，0)，所以直線PF1，PF2的方程分別為lPF1：y0x(x0)yy00，lPF2：y0x(x

13、0)yy00.由題意知 .由于點P在橢圓上，所以y1.所以.4分因為m，2x02，可得，所以mx0，因此m0)，其準線方程為x，P(4，m)到焦點的距離等于P到其準線的距離，45，p2.拋物線C的方程為y24x.(2)由(1)可得點M(4,4)，可得直線DE的斜率不為0，設(shè)直線DE的方程為xmyt，聯(lián)立得y24my4t0，則16m216t0.(*)設(shè)D(x1，y1)，E(x2，y2)，則y1y24m，y1y24t.(x14，y14)(x24，y24)x1x24(x1x2)16y1y24(y1y2)16416y1y24(y1y2)16(y1y2)23y1y24(y1y2)32t216m212t3

14、216m0，即t212t3216m216m，得(t6)24(2m1)2，t62(2m1)，即t4m8或t4m4，代入(*)式檢驗知t4m8滿足0，直線DE的方程為xmy4m8m(y4)8.直線過定點(8，4)2(2016北京)已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，A(a,0)，B(0，b)，O(0,0)，OAB的面積為1.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)P是橢圓C上一點，直線PA與y軸交于點M，直線PB與x軸交于點N.求證：|AN|BM|為定值(1)解由已知，ab1.又a2b2c2，解得a2，b1，c.橢圓方程為y21.(2)證明由(1)知，A(2,0)，B(0,1)設(shè)橢圓上一點P(x0，y0)，

15、則y1.當x00時，直線PA的方程為y(x2)，令x0得yM.從而|BM|1yM|.直線PB的方程為yx1.令y0得xN.|AN|2xN|.|AN|BM|4.當x00時，y01，|BM|2，|AN|2，|AN|BM|4.故|AN|BM|為定值3(2017湘中名校聯(lián)考)如圖，曲線C由上半橢圓C1：1(ab0，y0)和部分拋物線C2：yx21(y0)連接而成，C1與C2的公共點為A，B，其中C1的離心率為.(1)求a，b的值；(2)過點B的直線l與C1，C2分別交于點P，Q(均異于點A，B)，是否存在直線l，使得以PQ為直徑的圓恰好過點A？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由解(1)在C

16、1，C2的方程中，令y0，可得b1，且A(1,0)，B(1,0)是上半橢圓C1的左、右頂點設(shè)C1的半焦距為c，由及a2c2b21，得a2，a2，b1.(2)存在由(1)知，上半橢圓C1的方程為x21(y0)易知，直線l與x軸不重合也不垂直，設(shè)其方程為yk(x1)(k0)，代入C1的方程，整理得(k24)x22k2xk240.(*)設(shè)點P的坐標為(xP，yP)，直線l過點B，x1是方程(*)的一個根由根與系數(shù)的關(guān)系，得xp，從而yp，點P的坐標為.同理，由得點Q的坐標為(k1，k22k)(k，4)，k(1，k2)以PQ為直徑的圓恰好過點A，APAQ，0，即k4(k2)0.k0，k4(k2)0，解

17、得k.經(jīng)檢驗，k符合題意故直線l的方程為8x3y80.4.已知半橢圓1(x0)與半橢圓1(xbc0.如圖，設(shè)點F0，F(xiàn)1，F(xiàn)2是相應(yīng)橢圓的焦點，A1，A2和B1，B2是“果圓”與x，y軸的交點(1)若F0F1F2是邊長為1的等邊三角形，求“果圓”的方程；(2)若|A1A2|B1B2|，求的取值范圍；(3)一條直線與果圓交于兩點，兩點的連線段稱為果圓的弦是否存在實數(shù)k，使得斜率為k的直線交果圓于兩點，得到的弦的中點M的軌跡方程落在某個橢圓上？若存在，求出所有k的值；若不存在，說明理由解(1)F0(c,0)，F(xiàn)1(0，)，F(xiàn)2(0，)，|F0F2|b1，|F1F2|21，c2，a2b2c2，所求“

18、果圓”的方程為(2)由題意，得ac2b，即2ba，a2b2(2ba)2，得c2a2b2，.(3)設(shè)“果圓”C的方程為記平行弦的斜率為k，當k0時，直線yt(btb)與半橢圓1(x0)的交點是P，與半橢圓1(x0)的交點是Q.P，Q的中點M(x，y)滿足x，yt，得1.a2b2c22b24b2，a2b，2b20時，過B1的直線l與半橢圓1(x0)的交點是.因此，在直線l右側(cè)，以k為斜率的平行弦的中點為，軌跡在直線yx上，即不在某一橢圓上當kb0)的離心率e，左頂點M到直線1的距離d，O為坐標原點(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)直線l與橢圓C相交于A，B兩點，若以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標原點，證明：點O到直線AB的距離為定值(1)解由e，得ca，又b2a2c2，所以ba，即a2b.由左頂點M(a,0)到直線1，即到直線bxayab0的距離d，得，即，把a2b代入上式，得，解得b1.所以a2b2，c.所以橢圓C的方程為y21.(2)證明設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，當直線AB的斜率不存在時，由橢圓的對稱性，可知x1x2，y1y2.因為以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標原點，故0，即x1x2y1